黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江绥化市哈尔滨师范大学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（）．A.①② B.①③ C.② D.②③【答案】D2.某射手射击所得环数的分布列如下：78910已知的数学期望，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B3.某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A4.设随机变量服从二项分布，则等于（）A. B. C. D.【答案】C5.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（）A.0.67 B.0.58 C.0.51 D.0.37【答案】C6.已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A7.自然对数的底数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码个数为（）A.720 B.180 C.60 D.30【答案】C8.已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（）A.课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种B.课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种C.课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种D.课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种【答案】ABD10.已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（）A. B.展开式中含的项的系数是60C.展开式的各二项式系数和为128 D.展开式的各项系数和为729【答案】ACD11.已知函数的定义域为，是函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.当时，有三个极值点B.若，则的极大值点为C.若，则D.若，则【答案】AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设随机变量，，则________．【答案】13.一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则__________.【答案】14.在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为，则数列的通项公式为_______________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，则由，可得，因，代入解得，则，因此.（2）由，得.16.已知双曲线：的左右顶点分别为、．（1）求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；（2）直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；解：（1）由题意可得，，，则，又，，所以椭圆的标准方程为.（2）设，点恰为弦的中点，则，，又因为两点在双曲线上，可得，两式相减得，化简整理得，即，所以直线的方程为，即，经检验，满足题意.17.如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一个法向量．因为，所以．又平面，所以平面．（2）解：因为，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，则．故：直线与平面所成角的正弦值为．18.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为．（1）求甲连续打前四局比赛的概率；（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望．解：（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为，第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为，第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为，所以甲连续打前四局比赛的概率为：.（2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，对于前四局中第二局乙获胜：即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为，第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为，所以，在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为，第四局：乙、丙对打，概率为，所以，根据条件概率知：.（3）由题意知得分的可能值为：，，，，，所以的分布列为：6所以得分的数学期望为：.19.已知函数．（1）若函数，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且．①求a的取值范围；②已知，若不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意得的定义域为，，当时，，则在区间内单调递增；当时，由，得，（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）①依题意，函数的定义域为，所以函数有两个不同的零点，可得方程在有两个不同根，得到函数与函数的图象在上有两个不同交点，又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以．又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，，如图，的图象如下：可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需．②由①可知分别为方程的两个根，即，，所以原式等价于．因为，，所以原式等价于．又