湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知集合分别表示函数的定义域与值域，所以，，所以.2.已知复数，则（）A. B.5 C.3 D.【答案】B【解析】由复数，可得，则.3.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，故.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.5.在平行四边形中，是上靠近点D的三等分点，分别是，的中点，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在平行四边形中，，，因此.已知是上靠近的三等分点，因此；是中点，是中点，则..，其中方向与相反，长度为的一半，则，所以.6.在中，内角的对边分别为，且，则一定是（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形C.等边三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】，化简得.根据正弦定理得，.因为在中，进而，故.因为，所以，进而，解得.所以为直角三角形.7.湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（）A.秒 B.秒 C.秒 D.秒【答案】A【解析】设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点：根据速度和路程关系，可得：球员从出发走的路程，足球从向运动后剩余的路程.在中，已知，，由余弦定理：，可得则，解得或，所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒.8.若直线与函数的图象从左至右交于点A，B，直线与的图象从左至右交于点M，N，则当t变化时，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，所以A，B分别与M，N重合，因此，所以式子没有意义，因此不符合题意，，当时，函数图象如下图所示：当时，函数图象如下图所示：因此，由直线与函数的图象从左至右交于点A，B，设，显然有，于是有，即，且，因为直线与的图象从左至右交于点M，N，所以设，显然有，于是有，即，且，因为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.不等式对一切实数x恒成立的充要条件是C.函数在区间上存在零点D.若，，，则的最小值为4【答案】ACD【解析】对于A，由函数的定义域为，令，得，则函数的定义域为，故A正确；对于B，由对一切实数x恒成立，则，解得，所以不等式对一切实数x恒成立的充要条件是，故B错误；对于C，因为函数在上连续，且，则，根据零点存在性定理，函数在区间上存在零点，故C正确；对于D，由，，，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故D正确.10.函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（）A.B.C.函数的图象关于直线对称D.若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为【答案】AD【解析】由图可得，解得，且有，则，即，则，解得，又，则，故；对A：由上知，，故A正确；对B：令，则，则或，即或，则或，故B错误；对C：当时，，由不是函数的对称轴，故不是函数的对称轴，故C错误；对D：当时，，令，由B得，或，由函数在区间上至少有10个零点，则，解得，故实数t的最小值为，故D正确.11.已知点O为所在平面内一点，满足（其中），则（）A.当时，直线过边的中点B.当，时，与的面积之比为C.若，且，则D.若，且，则，满足【答案】AC【解析】对于A，设的中点为，当时，，即三点共线，直线过边的中点，A正确；对于B，如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，设线段的中点为，连接并延长至点，使，连接，则四边形是平行四边形，所以，又时，，所以，即三点共线，且，根据同底等高三角形面积相等，则，即与的面积之比为，B错误；对于C，由于，且时，，故点为的外心和重心，故为等边三角形，则，由可得，故，C正确；对于D，因为，且，由，得，所以，即，D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：____________．【答案】【解析】．13.已知两个非零向量和，若，则实数______．【答案】【解析】由，得，则，而向量和均为非零向量，因此，所以.14.在中，，，则实数的最小值为____________．【答案】【解析】在中，，可得.两边平方得：，又.所以，即.所以，所以.由，根据正弦定理可得，所以，所以，当且仅当时等号成立.故实数的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数k的值．解：（1）由，得，即，则，所以，则，又，则.（2）由，得，则，即，解得.16.如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点．（1）设和交于点G，求的值；（2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围．解：（1）在直角梯形中，，，，，连接，则，四边形为平行四边形，，，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，令，则，，由在上，得，因此，解得，即，则，所以的值为2.（2）由（1）得，由点F在边上，设，则，，而，因此，所以的取值范围为.17.在中，内角所对的边分别是，且，．（1）求角；（2）若，平分交于点，求的长；（3）在第（2）问的条件下，若点为边的中点，求的值．解：（1）因为，所以，又，所以，即，因为，所以，即，因为，所以（2）因为，，所以，由余弦定理得，即因为，所以，解得，因为平分交于点，所以，即所以，即.（3）因为点为边的中点，所以，所以，由（2）知，，，所以，所以，即.18.已知函数，定义域为．（1）求函数的最小正周期；（2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．解：（1）由，从而函数的最小正周期.（2）由，即，则，令，，则，则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图：，解得，即实数a的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位长度，得，函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得.当，则，可得，从而；当，则，可得，从而，当，，当，，由对任意的，总存在，使得成立，则或，解得或，实数m的取值范围为．19.我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量．（1）若