辽宁省锦州市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省锦州市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A.集合的子集有7个 B.C.中的元素个数为7 D.【答案】D【解析】对于A，集合的子集有个，故A错误；对于B，，故，故，不是中的元素，故不成立，故B错误；对于C，由B的分析可得中的元素个数为，故C错误；对于D，由B的分析可得，故D正确.故选：D.2.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】已知，，若，则，解得或，因为“”不一定能得出“”，但“”一定能得出“”，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：C.4.某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛.两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论正确的是（）A.甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差大B.甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数高C.甲班参赛同学得分的平均数为84D.乙班参赛同学得分的75%分位数为89【答案】C【解析】对A，甲班参赛同学得分的极差为，乙班参赛同学得分的极差为，故A错误；对B，甲班参赛同学得分的中位数是，乙班参赛同学得分的中位数是，故错误；对C，甲班参赛同学得分的平均数为，故正确；对D，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，，取第6个与第7个数的平均数为第75百分位数，即为，故错误.故选：C.5.三个数，，的大小顺序是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，而，故，而，故，即，故.故选：B.6.某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（）办理业务所需要的时间（分）12345频率0.10.20.40.20.1A.0.04 B.0.08 C.0.12 D.0.16【答案】C【解析】若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟，则概率为；若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟，则概率为；若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟，则概率为；故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为.故选：C.7.若函数在区间上的最大值为1，则实数（）A.0 B.1 C.2 D.0或1【答案】A【解析】函数，当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，所以最大值为，不符合题意；当时，函数在区间上单调递增，所以最大值为，解得；综上所述，实数.故选：A.8.若不等式对恒成立，则的最大值为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】设，若，则，而对恒成立，故对恒成立即对恒成立，而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍；若，则当时，，故在上恒成立；当时，，故在上恒成立；而为开口向上的抛物线，故，故，即，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（）A.B.C.D.的最小值为【答案】ABC【解析】对于A，由题意得，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由A知，，由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确；对于D，由C知，，且，，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为，故D错误.故选：ABC.10.已知实数满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，可得，设，可知该函数为增函数，所以，因而，A错误；，B正确；又，所以，C正确；由可得，与已知矛盾，D错误.故选：BC．11.已知，函数则（）A.的值域为B.是奇函数C.存在，使得在定义域上单调递增D.当时，方程有两个实根【答案】BCD【解析】对于A，因，当时，单调递增，且，当时，单调递增，且，所以的值域为，若，则，此时的值域不包含0，故A错误；对于B，当时，，当时，，所以是奇函数，故B正确；对于C，当时，由上可知，在和上都是增函数，且，所以在定义域上单调递增，C正确；对于D，当时，若，由，可得，即方程在上有1个实根；若，由，可得，即方程在上也有1个实根，故当时，方程有两个实根，即D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是______.【答案】1【解析】因为幂函数在上是减函数，故，故，而，故，当时，，此时幂函数的图象关于轴对称，符合题意；当时，，此时幂函数的图象不关于轴对称，舍；故答案为：.13.在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个【答案】；14【解析】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球，所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为，设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球，则摸到白球的概率为，解得.故答案为：；14.14.已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最大值为______.【答案】【解析】当时，若，则在上单调递减，值域为；若，则在上单调递增，值域是；当时，在上单调递增，值域为，作出函数的图象如下：“”的充要条件是“”（），即若，则；若，则，即是的最小解，且在上满足，在上满足.为此，需要找到最大的负数，使得“”是“”的充要条件，核心是找到在时的临界值点.因，由图知，当时，；当时，；当时，；当时，.因此的充要条件是，结合条件，可知的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.（1）若是所在平面内任意一点，试用，表示；（2）若，，求的值.解：（1）因为所以，所以，整理得；（2）设，则，又，由平面向量基本定理得所以，解得16.已知函数，.（1）当的图象位于图象下方时，求满足条件的取值集合.（2）已知集合，设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）由题意，转化为求的解集，故即，即，由恒成立，所以原不等式等价于，即，解得：或，所以满足条件的取值集合为或；（2）因为，解不等式，可得，即，所以，又因为是成立的必要不充分条件，所以为的真子集，则有或，解得或，所以实数的取值范围是.17.某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成五组，并整理得到如下频率分布直方图；已知成绩的中位数为75.（1）求的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替)；（2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一，求抽出的两人恰好来自同一组的概率.解：（1）中位数为75，，，又，，则平均数为：.（2）第四组与第五组人数的比为，从第四组抽选4人，记为1,2,3,4，从第五组抽选2人，记为，所有基本事件为：，共15种，来自同一组的有:，共7种情况，故恰好来自同一组的概率.18.近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的函数关系为（，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）.（1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值.（3）要使不超过140万元，求的取值范围.解：（1）的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为时的用电费用，即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；由题意可得，，则；所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为，，；（2）由（1），当且仅当，即时，等号成立,即该合作社应修建容积为立方米的沼气发电池时，可使最小，且最小值为万元；（3）为使不超过140万元，只需，整理得，则，解得，即的取值范围是19.已知函数，，函数.（1）若在上单调递增，在上单调递减，记，求的值；（2）若方程有4个不等实根，，，（），记，求的解析式，并指