内蒙古包头市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古包头市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若为虚数单位，则（）A.2 B.0 C. D.2.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.3.若，为非零向量，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.充要条件4.记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（）A.4 B. C.1 D.25.边长为2的等边三角形的外心为，则（）A. B.2C. D.6.已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（）A. B. C. D.7.已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的最小值为168.袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.B.的最小正周期为C.图象的对称中心为D.不等式的解集为10.设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（）A.B.当时，取最大值C.D.数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性11.在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（）A.平面B.四棱锥的外接球的表面积为C.平面平面D.若，则点的运动轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________.13.某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______.14.已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.数列的前n项和，数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．16.随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.（1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；（2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？

17.如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）记为正四面体内切球的球心.（ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）；（ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值.18.已知平面直角坐标系上一动点满足，，．（1）求点的轨迹曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点．①求直线，的斜率之和；②的外接圆圆