苏科版数学八年级下册 10.1 分式的概念（题型专练） 同步练习 含答案

10.1分式的概念题型一分式无意义的条件1．当x取哪个数时，分式11-xA．x>1 B．x=0 C．x<1 D．x=12．已知分式M满足下列表格中的信息，则分式M有可能是（

）a的值0123M的值n0无意义4nA．a-2a-1 B．a-1a-2 C．a+1a-13．当x取值时，分式x-22x-34．如果分式2xx+5无意义，那么x的取值范围是题型二分式有意义的条件1．若分式4x3x+2有意义，则该分式中的字母x应满足的条件是（

A．x≠1 B．x≠0 C．x≠-23 D2．使分式12x-1有意义的x的取值范围为（

A．x≥12 B．x>12 C．3．使分式xx-2026有意义的x的取值范围是4．如果分式x+2x2-4有意义，那么x题型三分式值为0的条件1．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（

）x…-2-1012…y…0无意义***…A．x-2x+1 B．x+2x+1 C．x+2x-12．若分式m2-4-m+2的值为0，则m3．已知分式m-1m2-m的值为0，则4．若分式x-3x-3的值为0，则x的值为题型四根据实际问题列分式1．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（A．p+q2% B．mp+nq% C．mp+nq2．某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐n人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（

）A．m+1n辆 B．m-1n辆 C．mn+1辆3．打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2h，打字速度为w字/min，第二天打字速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了min4．某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为（1）设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为km/h（2）乘甲车到科技馆的时间为h，乘乙车到科技馆的时间为h．（3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为．题型一根据分式的值的正、负确定字母的取值范围1．已知3x+2x2的值为正数，则x的取值范围为2．已知关于x的不等式组3x≥2x+1x-k-14<1有且仅有2个整数解，且分式2k-14k3．已知分式2x+bx-a（a，bx的取值1-2c分式的值无意义01(1)a=，b=；(2)求出c的值；(3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围．4．（1）当x取什么值时，分式3x-62x+1的值为0（2）当x取什么值时，分式2x+1x（3）当x取什么值时，分式x-2x题型二根据分式的值为整数求字母的值1．能使分式2x2-4x+2x-13的值为整数的整数x的值有A．5 B．4 C．3 D．22．若分式42x+1的值为整数，则符合条件的所有整数x的和为3．若x为整数，且使分式62x+1的值是整数，则x的值是4．填空：（1）当x时，分式1-x+5（2）当x为时，分式-4x（3）当x为时，分式2x-1题型三探究分式的变化规律1．观察下列式子：2x2，4xA．12x6 B．20x7 C．2．按一定规律排列的代数式：-2，4x2，-8x4，16x6，-32A．-1n2nx2n-2 B．-1n-13．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：25=13+115，27=4．观察下列各式：1(1)求11×2(2)化简11×2+12×3+1．当整数x取何值时，分式x22．已知a、b、c为实数，且aba+b=13，bcb+c3．已知分式M=x（1）若x＝6且分式M的值等于4，求y的值；（2）若y＝4，当x取哪些整数时，M的值是整数？（3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值．4．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2则x+1x-1和a（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：（填序号）；①x+1x；②2+x2；③x+2x+1（2）将“和谐分式x2x2+6x-3x-1=（3）应用：已知方程组x+my=11x+3m=2y有正整数解，求整数m

10.1分式的概念题型一分式无意义的条件1．当x取哪个数时，分式11-xA．x>1 B．x=0 C．x<1 D．x=1【答案】D【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到1-x=0，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵分式11-x∴1-x=0，∴x=1，故选：D．2．已知分式M满足下列表格中的信息，则分式M有可能是（

）a的值0123M的值n0无意义4nA．a-2a-1 B．a-1a-2 C．a+1a-1【答案】B【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当a=2时分式无意义，可知当a=2时，分母为0．【详解】解：A选项：分式a-2a-1的分母为a-1，∴当a=2时，分式有意义，故AB选项：分式a-1a-2的分母为a-2，∴当a=2当a=1时，M=a-1当a=0时，M=a-1当a=3时，M=a-1故B选项符合题意；C选项：分式a+1a-1的分母为a-1，∴当a=2时，分式有意义，故CD选项：分式a-1a+1的分母为a+1，∴当a=2时，分式有意义，故D故选：B．3．当x取值时，分式x-22x-3【答案】3【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可．【详解】解：当分母2x-3=0时，分式x-22x-3即2x-3=0，解得x=3故答案为：324．如果分式2xx+5无意义，那么x的取值范围是【答案】x=-5【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，分母为零．根据分式无意义的条件是分母为零可得x+5=0，求解即可．【详解】解：根据分式无意义的条件，可得分母x+5=0，解得x=-5，故答案为：x=-5．题型二分式有意义的条件1．若分式4x3x+2有意义，则该分式中的字母x应满足的条件是（

A．x≠1 B．x≠0 C．x≠-23 D【答案】C【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，进行解答即可．【详解】解：∵分式4x3x+2∴分母3x+2≠0，∴3x≠-2，∴x≠-2故选：C．2．使分式12x-1有意义的x的取值范围为（

A．x≥12 B．x>12 C．【答案】C【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，解答即可.【详解】解：∵分式12x-1有意义当且仅当分母2x-1≠0∴2x≠1，∴x≠1因此，取值范围是x≠1故选：C.3．使分式xx-2026有意义的x的取值范围是【答案】x≠2026【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．【详解】解：要使分式xx-2026有意义，需满足分母x-2026≠0解得x≠2026．故答案为：x≠2026．4．如果分式x+2x2-4有意义，那么x【答案】x≠2且x≠-2【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，可得x2-4≠0，从而确定【详解】解：∵分式x+2x2∴x2解得：x≠2且x≠-2．故答案为：x≠2且x≠-2题型三分式值为0的条件1．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（

）x…-2-1012…y…0无意义***…A．x-2x+1 B．x+2x+1 C．x+2x-1【答案】B【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件．根据分式有意义的条件排除C、D，根据分式值为0的条件排除A即可．【详解】解：∵当x=-1时，y无意义，∴分母在x=-1时为0，C、D：分母x-1，当x=-1时，-1-1=-2≠0，不符合；当x=-2时，y=0，A：分子x-2，当x=-2时，-2-2=-4≠0，不符合；B：分子x+2，当x=-2时，-2+2=0，且分母x+1=-2+1=-1≠0，符合；故选：B．2．若分式m2-4-m+2的值为0，则m【答案】-2【分析】本题主要考查了分式为0的条件，掌握分式为零的条件为分子为0、分母不为0是解题的关键．分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，据此求解即可．【详解】解：∵分式m2-4-m+2∴m2-4=0且∴m=2或m=-2，且m≠2，∴m=-2.故答案为：-2．3．已知分式m-1m2-m的值为0，则【答案】-1【分析】本题考查分式值为0的条件，绝对值的运算，因式分解，掌握“分式值为0的条件”是解题关键．分式的值为0，则分子为0且分母不为0，求解分子方程并验证分母是否不为0．【详解】解：由分式的值为0，得分子|m|-1=0，即|m|=1，解得m=1或m=-1，当m=1时，分母m2当m=-1时，分母m2故答案为：-1．4．若分式x-3x-3的值为0，则x的值为【答案】-3【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分子为零且分母不为零可得答案．【详解】解：∵分式x-3x-3的值为∴|x|-3=0且x-3≠0．解|x|-3=0，得x=±3，解x-3≠0，得x≠3，∴x=-3，故答案为：-3．题型四根据实际问题列分式1．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（A．p+q2% B．mp+nq% C．mp+nq【答案】D【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度=两种浓度的盐水中的盐的总质量÷两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可．【详解】解：∵浓度为p%的盐水m公斤中含盐p%m，浓度为q%的盐水n公斤中含盐∴混合后溶液的浓度为p%故选：D．2．某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐n人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（

）A．m+1n辆 B．m-1n辆 C．mn+1辆【答案】B【分析】根据题意，总人数为m，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为m-1，每辆车可坐n人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为m-1n本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键．【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为m-1，每辆车可坐n人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为m-1n故选：B．3．打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2h，打字速度为w字/min，第二天打字速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了min【答案】12000-120w【分析】本题主要考查了列分式，利用第二天打字用的时间=（总字数-第一天打的字数）÷第二天的速度，求解即可．【详解】解：1h12000-2×60ww+10∴第二天她打字用了12000-120ww+10故答案为：12000-120ww+104．某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为（1）设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为km/h（2）乘甲车到科技馆的时间为h，乘乙车到科技馆的时间为h．（3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为．【答案】1.2x20x201.2x【分析】本题考查了列代数式，按要求构造分式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．（1）根据题意，乙车速度是甲车速度的1.2倍；（2）根据时间等于路程除以速度求解；（3）由（2）求得的两个式子相减即可表示出时间差．【详解】（1）解：设甲车的速度为xkm/h∵乙车速度是甲车速度的1.2倍，∴故乙车速度为1.2xkmh故答案为：1.2x；（2）∵该校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车∴乘甲车时间=路程/速度=20xh∵5min∴乘乙车时间=201.2xh故答案为：20x，20（3）乘甲车时间比乘乙车时间多用的时间为两者之差，即20x故答案为：20x题型一根据分式的值的正、负确定字母的取值范围1．已知3x+2x2的值为正数，则x的取值范围为【答案】x>-23且【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分式的值为正数，分母x2恒为正（且x≠0），因此分子3x+2【详解】解：∵3x+2x∴分子与分母同号，又∵对于任意实数x，x2≥0，且作为分母∴x2∴3x+2>0x≠0即x>-23且故答案为：x>-23且2．已知关于x的不等式组3x≥2x+1x-k-14<1有且仅有2个整数解，且分式2k-14k【答案】24【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定k的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到k的另一取值范围，求交集后得到整数k的值，最后求和．【详解】解：3x≥2x+1∴不等式组的解集为1≤x<k+3∵有且仅有2个整数解，即整数解为1和2，∴2<k+3解得5<k≤9，∴整数k可为6，7，8，9，又∵分式2k-14k2+1≥0∴2k-14≥0，得k≥7，∴满足条件的整数k为7,8,9，∴7+8+9=24，故答案为：24．3．已知分式2x+bx-a（a，bx的取值1-2c分式的值无意义01(1)a=，b=；(2)求出c的值；(3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围．【答案】(1)a=1，b=4(2)c=-5(3)x>1或x<-2【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到a值，再根据x=-2，根据方程求解即可；（2）先把（1）中算出来a，b的值代入式子，再根据分式的值为1，求出c的值，即可得出答案；（3）根据分式不等式解方程即可求解．本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键．【详解】（1）解：∵x=1时，分式无意义，∴1-a=0∴a=1，当x=-2时，得-2∴b=4，故答案为：a=1，b=4．（2）解：将（1）中求的a,b代入分式得2x+4由题可得：当x=c时候，2c+4c-1解得c=-5,经检验，当c=-5时，原方程有解，则c=-5，故答案为：-5．（3）解：2x+4x-1∴2x+4>0x-1>0或解得：x>1或x<-2．故答案为：x>1或x<-2．4．（1）当x取什么值时，分式3x-62x+1的值为0（2）当x取什么值时，分式2x+1x（3）当x取什么值时，分式x-2x【答案】（1）x=2；（2）x>-12；（3【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义．（1）根据分式值为0的条件解答即可；（2）分式的值为正即分子分母同号，由x≠0，得x2>0，从而得出（3）分式的值为负即分子分母异号，由x≠0，得x2>0，从而得出【详解】解：（1）由3x-6=0，得x=2，当x=2时，2x+1≠0；∴当x=2时，分式3x-62x+1的值为0（2）由分式2x+1x2的值为正，得2x+1与∵x≠0，∴x2∴2x+1>0，解得：x>-（3）由分式x-2x2的值为负，得x-2与∵x≠0，∴x2∴x-2<0，解得：x<2，题型二根据分式的值为整数求字母的值1．能使分式2x2-4x+2x-13的值为整数的整数x的值有A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数x的个数．需要注意原分式在x=1时无定义，需排除该情况．【详解】解：整理得：2(x-1)2(x-1)3设2x-1=k（k则x-1=2∵x为整数，∴x-1为整数，故2k∴k为2的约数，即k=±1,±2.当k=1时，x-1=2，x=3;当k=-1时，x-1=-2，x=-1;当k=2时，x-1=1，x=2;当k=-2时，x-1=-1，x=0.所有x均满足x≠1，∴整数x的值有4个.2．若分式42x+1的值为整数，则符合条件的所有整数x的和为【答案】-1【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母2x+1必须是分子4的约数，即2x+1=±1，±2，±4，分别求解x【详解】解：∵分式42x+1∴2x+1是4的约数，即2x+1=±1，±2，±4，当2x+1=1时，x=0；当2x+1=-1时，x=-1；当2x+1=2时，x=1当2x+1=-2时，x=-32当2x+1=4时，x=32当2x+1=-4时，x=-5∴符合条件的整数x为0和-1，∴它们的和为0+-1故答案为：-1．3．若x为整数，且使分式62x+1的值是整数，则x的值是【答案】-2，-1，0，1【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式62x+1的值为整数，则分母2x+1必须为6的约数，即2x+1的值为±1，±2，±3，±6，再结合x【详解】解：因为分式62x+1的值为整数，且x为整数，所以2x+1是6∴2x+1=±1或2x+1=±2或2x+1=±3或2x+1=±6，当2x+1=1时，解得x=0，当2x+1=-1时，解得x=-1；当2x+1=2时，解得x=0.5（不符合整数条件，舍去），当2x+1=-2时，解得x=-1.5（不符合整数条件，舍去）；当2x+1=3时，解得x=1，当2x+1=-3时，解得x=-2；当2x+1=6时，解得x=2.5（不符合整数条件，舍去），当2x+1=-6时，解得x=-3.5（不符合整数条件，舍去）；因此，x的值为-2，-1，0，1；故答案为-2，-1，0，1．4．填空：（1）当x时，分式1-x+5（2）当x为时，分式-4x（3）当x为时，分式2x-1【答案】<5任意实数3或2【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键．（1）由分式的值为正，得到-x+5>0，解不等式即可；（2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解；（3）由分式的值为正整数，得到x-1=1或x-1=2，即可求解．【详解】解：（1）∵分式1-x+5∴-x+5>0，∴x<5，故答案为：<5（2）∵x∴x∴-4∴x的取值为任意实数，故答案为：任意实数；（3）∵分式2x-1∴x-1=1或x-1=2，∴x=3或2，故答案为：3或2．题型三探究分式的变化规律1．观察下列式子：2x2，4xA．12x6 B．20x7 C．【答案】D【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键．观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是x的幂次递增．【详解】解：分子依次为2，4，6，8，…，；分母依次为x2，x3，x4，x因此第n个式子为2nx当n=8时，2nx故选：D．2．按一定规律排列的代数式：-2，4x2，-8x4，16x6，-32A．-1n2nx2n-2 B．-1n-1【答案】A【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为-121x2-2，第2个代数式为-12【详解】解：第1个代数式为-12第2个代数式为-12第3个代数式为-13...第n个代数式为-1n故选：A．3．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：25=13+115，27=【答案】211=【分析】本题考查分式的规律性问题．通过观察给定例子25=13+115和27=14+128，发现对于分母为奇数的分数2n，可拆分为两个单位分数之和，其中第一个分母为n+1【详解】解：对于211，分母n=11，则第一个单位分数的分母为11+12=6，第二个单位分数的分母为11×6=66，故对于任意正整数k，设分母n=2k+1，则第一个单位分数的分母为2k+1+12=k+1，第二个单位分数的分母为2k+1k+1，故故答案为：211=14．观察下列各式：1(1)求11×2(2)化简11×2+12×3+【答案】(1)2023(2)n【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键．（1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解；（2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解；【详解】（1）解：1=1-=1-=（2）解：1=1-=1-==1．当整数x取何值时，分式x2【答案】当整数x取﹣4，0，2，3，5，6，8，12时，分式x2【分析】把