2026年江苏省淮安市第四开明中学自主招生数学试卷 含解析

2026年江苏省淮安市第四开明中学自主招生数学试卷一、选择，将正确答案的序号填在括号内。（每题2分，共20分）1．（2分）下列图形中，对称轴最多的是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．圆2．（2分）一项工程，甲队独做16天完成，乙队独做12天完成，甲、乙两队的工作效率最简比是（）A．16：12 B．12：16 C．4：3 D．3：43．（2分）新趋势数学文化古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，6＝1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（）A．40 B．36 C．28 D．124．（2分）生产一批零件，革新技术后，时间少用20%，而产量却增长60%，革新前的工作效率是革新后的（）A．33.3% B．50% C．80% D．100%5．（2分）三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变。下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（）A． B． C． D．6．（2分）快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（）只玻璃杯。A．10 B．11 C．12 D．137．（2分）有酒精含量为36%的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为30%的溶液，如果再稀释到24%，那么还需要加水的数量是上次加的水的（）倍。A．1.5 B．2 C．3 D．2.58．（2分）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的79。已知图2中阴影部分的面积和为30A．52 B．54 C．60 D．589．（2分）如图，有一段山路，从A到B是2千米的上坡路，从B到C是4千米的平路，从C到D是2.4千米的上坡路．欢欢和笑笑分别从A、D同时出发，相向而行，他们下坡的速度都是每小时6千米，平路的速度都是每小时4千米，上坡的速度都是每小时2千米，他们经过_______小时相遇．（）A．0.2 B．0.3 C．1.2 D．1.310．（2分）有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是6：5。如果将甲钉子的23钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是5：4A．30：25：26 B．6：5：4 C．30：25：16 D．6：5：7二、填空。（每空1分，共22分）11．（4分）7()=14÷＝：30＝70%＝12．（1分）一根6米长的绳子，先减去它的16，再减去16米，还剩13．（1分）已知a：b＝c：d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的12，c不变，d应14．（1分）甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第层．15．（1分）著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置。他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系。例如，如图中蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B（）的位置。16．（1分）在圆形切拼成的近似长方形上，第一只小蚂蚁从A点出发，第二只小蚂蚁同时从B点出发，它们都爬向C点，已知第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，第只小蚂蚁先到达C。17．（1分）在一个盒子中有10个红球、8个绿球和一些黑球。每次从里面拿出1个球，结果拿出绿球的可能性小于13，那么至少有18．（1分）如图，是苏超的赛事标识，东东要使用这个图案。他将这个图案放在一个边长为5厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大）。已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了平方厘米。19．（1分）奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第9排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第9排至少已经被选中了个座位。20．（1分）一盘草莓约20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘草莓有个．21．（1分）一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为立方厘米。22．（1分）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去运赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，分钟能追上。23．（2分）甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发。结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中发、乙命中发。24．（1分）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形且成的图形。线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为。25．（4分）如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形ABCD的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点。在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化。图2的统计图记录了点P移动时间和三角形PAB面积的变化情况。根据图中信息回答下列问题：（1）图2中的a是平方厘米，c是平方厘米。（2）图1中梯形ABCD的面积是平方厘米。（3）移动秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。三、计算。（共29分）26．（8分）直接写出得数。1﹣0.47＝5﹣5÷4＝1694米：8厘米＝4÷25%＝7.12×0.1＝4512×27．（12分）怎样简便怎样算。122025÷(4166128．（9分）求未知数x。x：7.5＝25：101-15﹣3（2x﹣4）＝3四、图形与操作。（共11分）29．（3分）如图，边长是3厘米的等边三角形ABC沿一条直线翻滚30次．求A点经过的总路程．30．（8分）探索题．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形．1．仔细观察，你能发现图中铺瓷砖的规律吗？请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数．．2．按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1+2+3+…+n），请算出第20个图形中黑瓷砖的块数是多少？3．第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？五、解决问题。（共38分）31．（8分）只列式不计算。（1）一种电视机，现价2000元，比原价降低了500元，降价百分之几？（2）一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一条裤子）（3）一天，五（1）班24个女生中，3个人请事假，26个男生中，1个人请病假，求这一天五（1）班的出勤率。（4）甲、乙两车从A、B两地相对开出，甲车到达B地要5小时，乙车到达A地要6小时，已知相遇时，甲车行了240千米，求乙车相遇时走了多少千米？32．（4分）一件工作，甲独做要12小时完成，乙独做要18小时完成。如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作，那么完成这件工作任务共用了几小时？33．（4分）圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？34．（4分）某商店购进一批鞋子，每双售出价比购进价多15%．如果全部卖出，则可获利120元；如果只卖80双，还差64元才够成本．鞋子的购进价每双多少元？35．（4分）如图，在垂直交叉的两条路上，甲在交叉点南1120米处由南向北行走，乙在交叉点处由西向东行走。同时出发4分钟后，甲乙两人第一次距交叉点的距离相等。又走了52分钟，两人第二次距交叉点的距离相等。甲乙两人的速度分别是多少？36．（4分）如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，乐乐（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。乐乐（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。（1）求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？（2）连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为3：5时，P点的运动时间为多少秒？37．（10分）阅读下列材料，并解决后面的问题．★阅读材料：我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．请运用“勾股定理”解决以下问题：（1）如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中s1＝400，s2＝225，则s3＝．（2）如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径＝8，高＝15，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是．注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计．（3）如图三，所示的直角三角形中，AB＝6．则s1+s2的值＝．注π值取3．（4）如图四的圆柱，高＝5厘米，底面半径＝4厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？小聪是这样思考的：①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接AB．②小聪认为线段AB的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是厘米．注：π值取3．（5）如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是厘米．

2026年江苏省淮安市第四开明中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择，将正确答案的序号填在括号内。（每题2分，共20分）1．【解答】解：等腰三角形有1条对称轴；等边三角形有3条对称轴；长方形有2条对称轴；圆有无数条对称轴。故选：D。2．【解答】解：116：＝（116×48）：（1＝3：4答：甲、乙两队的工作效率最简比是3：4。故选：D。3．【解答】解：逐项分析每个选项，找出符合题意的即可。A选项：40所有的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，除40以外，还有1、2、4、5、8、10、20七个因数，1+2+4+5+8+10+20＝50≠40，所以40不是“完全数”；B选项：36所有的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，1+2+3+4+6+9+12+18＝55≠36，所以36不是“完全数”；C选项：28所有的因数有1、2、4、7、14、28，除28以外，还有1、2、4、7、14五个因数，1+2+4+7+14＝28，所以28是“完全数”；D选项：12所有的因数有1、2、3、4、6、12，除12以外，还有1、2、3、4、6五个因数，1+2+3+4+6＝16≠12，所以12不是“完全数”。故选：C。4．【解答】解：（1÷1）÷[（1+60%）÷（1﹣20%）]＝1÷[160%÷80%]＝1÷2＝50%答：革新前的工作效率是革新后的50%。故选：B。5．【解答】解：A.梯形面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意；B.平行四边形的底和长方形的长相同，平行四边形的高小于长方形的宽，不符合题意；C.圆面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意；D.三角形面积经过“出入相补”原理后和长方形面积相等，符合题意。综上，只有B选项不符合“出入相补”原理。故选：B。6．【解答】解：2角＝0.2元8角＝0.8元假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：500×0.2＝100（元）100−87＝13（元）每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：0.2+0.8＝1（元）损坏的玻璃杯数量：13÷1＝13（只）答：快递公司至少损坏13只玻璃杯。故选：D。7．【解答】解：设有100克含量为36%的盐水，第一次加了x克的水后稀释成浓度为30%的盐水，（100+x）×30%＝100×36%30+0.3x＝3630+0.3x﹣30＝36﹣300.3x＝6x＝20设有100克含量为36%的盐水，第二次加了y克的水后稀释成浓度为24%的盐水，（100+20+y）×24%＝100×36%28.8+0.24y＝3628.8+0.24y﹣28.8＝36﹣28.80.24y＝7.2y＝3030÷20＝1.5答：还需要加的水量是上次加的水的1.5倍。故选：A。8．【解答】解：重叠部分的面积为原三角形面积的：1-30÷（1-2＝30÷＝54（平方厘米）故选：B。9．【解答】解：①欢欢上坡用的时间是：2÷2＝1（小时），②笑笑下坡用的时间是：2.4÷6＝0.4（小时）；③笑笑先走了平路的路程：（1﹣0.4）×4＝2.4（千米）；④还剩下的路程（最后欢欢和笑笑共同走的平路）：4﹣2.4＝1.6（千米）；⑤剩下路程需要的时间：1.6÷（4×2）＝0.2（小时）；⑥相遇共用时间：1+0.2＝1.2（小时）；答：两人1.2小时后相遇．故选：C．10．【解答】解：设甲的长度为“1”。则乙的长度为1×甲入墙的长度为1-丙入墙的长度为2乙的长度为11：56：＝（1×30）：（56×30）：（13＝30：25：26答：甲、乙、丙的长度比是30：25：26。故选：A。二、填空。（每空1分，共22分）11．【解答】解：710=14÷20＝21：30＝70%故答案为：10；20；21；0.7。12．【解答】解：6﹣（6×1＝6﹣（1+1＝6﹣11＝456答：还剩456故答案为：45613．【解答】解：2a：12b＝4a：由a：b＝c：d，ad＝bc，则4a×14d＝已知a：b＝c：d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的12，c不变，d应缩小到原来的1故答案为：缩小到原来的1414．【解答】解：根据分析可得，（4﹣1）：（3﹣1），＝3：2，15÷3×2+1，＝10+1，＝11（层）；答：乙应跑到第11层．故答案为：11．15．【解答】解：观察图形，点B在x轴方向对应的刻度为2，在y轴方向对应的刻度为3，在z轴方向对应的刻度为3，所以点B的位置为（2，3，3）。综上，蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B（2，3，3）的位置。答：蜘蛛现在爬到了点B（2，3，3）的位置。故答案为：2，3，3。16．【解答】解：圆周长的一半是半径的π倍，第一只蚂蚁爬行的路程是πr，第二蚂蚁爬行的路程是r，第一只蚂蚁的速度是第二只蚂蚁速度的3.2倍。3.2＞π答：第一只蚂蚁先到达C。故答案为：一。17．【解答】解：8÷1324﹣10﹣8＝6（个）6+1＝7（个）即，要使拿出绿球的可能性小于13，那么至少有7故答案为：7。18．【解答】解：62：52＝36：2510÷25×36﹣10＝14.4﹣10＝4.4（平方厘米）答：拉伸后图案面积增加了4.4平方厘米。故答案为：4.4。19．【解答】解：一共19个座位，按每3个一组排布：19÷3＝6（组）……1（个）余下最后1个座位还要再选1个：6+1＝7（个）答：至少已经被选中7个座位。故答案为：7。20．【解答】解：（2+3）÷（4﹣3）＝5（人）3×5+2＝17（个）答：这盘草莓有17个．21．【解答】解：12×5÷13=6013×3.14×（6013）2×答：所得图形的体积为376813故答案为：37681322．【解答】解：设小明每小时走x千米，可得：15×3﹣3x＝35×1﹣x45﹣3x＝35﹣x2x＝10x＝5追及距离：15×3﹣5×3＝45﹣15＝30（千米）汽车去追的话需要：30÷（45﹣5）＝30÷40＝0.75（小时）＝45（分钟）答：若开汽车，每小时行45千米，45分钟能追上。故答案为：45。23．【解答】解：设甲命中x发，则乙命中（14﹣x）发。4x﹣2（10﹣x）﹣10＝5（14﹣x）﹣3[10﹣（14﹣x）]4x﹣20+2x﹣10＝70﹣5x﹣3x+1214x＝112x＝814﹣x＝14﹣8＝6答：甲中8发，乙中6发。故答案为：8；6。24．【解答】解：小长方形的长为x。（12﹣x）×2+（12﹣10）×10＝（12﹣8）×824﹣2x+2×10＝4×824﹣2x+20＝3044﹣2x＝3012÷2＝2x÷2x＝6答：小长方形的长是6。故答案为：6。25．【解答】解：（1）AB的长：2×4＝8（厘米）BC的长：（10﹣4）×2＝6×2＝12（厘米）a的面积：（8﹣4）×2＝4×2＝8（厘米）8×8÷2＝32（平方厘米）AD的长：（18﹣15）×2＝3×2＝6（厘米）c的面积：6×8÷2＝24（平方厘米）答：图2中的a是32平方厘米，c是24平方厘米。（2）（6+12）×8÷2＝18×8÷2＝72（平方厘米）答：图1中梯形ABCD的面积是72平方厘米。（3）16×2÷8＝32÷8＝4（厘米）4÷2＝2（秒）4+2＝6（秒）18﹣2＝16（秒）答：移动6或16秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。故答案为：32，24；72；6或16。三、计算。（共29分）26．【解答】解：1﹣0.47＝0.535﹣5÷4＝3.751694米：8厘米＝50：14÷25%＝167.12×0.1＝0.7124512×27．【解答】解：（1）1＝（1-12）+（1-16）+（1-112）+（1-＝（1+1+1+1+1）﹣（12＝5﹣（1-1＝5-＝41（2）2025＝2025÷＝2025×=2026＝1（3）(＝（47×1＝（47×72）×（＝2×1=4（4）166＝（164+2120）÷＝（164+4120＝164÷41+41＝4+＝4128．【解答】解：（1）x：7.5＝25：1010x＝7.5×2510x÷10＝7.5×25÷10x＝18.75（2）114411x＝1（3）15﹣3（2x﹣4）＝315﹣3（2x﹣4）+3（2x﹣4）＝3+3（2x﹣4）3+3（2x﹣4）＝156x﹣9＝156x﹣9+9＝15+96x＝246x÷6＝24÷6x＝4四、图形与操作。（共11分）29．【解答】解：（30÷3）×2×120°＝10×2×120°＝2400°2400°÷360°＝623.14×3×2×62＝3.14×40＝125.6（厘米）答：A点所经过的总路程是125.6厘米．30．【解答】解：（1）根据题干得出图中三角形瓷砖的个数分别是4＝22；9＝32；16＝42；…则第n个图形铺瓷砖的正总块数为（n+1）2块；答：则第n个图形铺瓷砖的正总块数为（n+1）2块．（2）第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1+2+3+…+n），当n＝20时，1+2+3+…+20＝210（块），答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块．（3）由上述推理可得：第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为：（n+1）2﹣（1+2+3+…+n）＝（n+1）×（n+2）÷2，当n＝55时，（n+1）×（n+2）÷2，＝（55+1）×（55+2）÷2，＝56×57÷2，＝1596（块），答：第n个图形中白瓷砖的块数可以用式子：（n+1）（n+2）÷2表示，算出第55个图形中共有1596块白瓷砖．故答案为：（1）（n+1）2块．五、解决问题。（共38分）31．【解答】解：（1）500÷（2000+500）×100%＝500÷2500×100%＝0.2×100%＝20%答：降价20%。（2）1÷（120＝1÷＝12（套）答：这批布可做12套衣服。（3）（24﹣3+26﹣1）÷（24+26）×100%＝46÷50×100%＝92%答：一天五（1）班的出勤率为92%。（4）240÷6＝440﹣240＝200（千米）答：乙车相遇时走了200千米。32．【解答】解：甲乙合做所需的时间：1÷（112＝1÷＝712各干7小时后，还剩：1﹣（112+＝1-5＝1-=1甲来完成136136总共用的时间为：7×2+＝14+＝1413答：需要141333．【解答】解：π×52×10＝250π（立方厘米）π×52﹣π×32＝25π−9π＝16π（平方厘米）250π÷16π＝15.625（厘米）答：这时水深是15.625厘米。34．【解答】解：鞋子的购进价是：120÷15%＝800（元），80双鞋子的售价是：800﹣64＝736（元），每双鞋子的售价是：736÷