2027届山东省新泰市实验中学九年级数学第一学期期末达标测试试题含解析

2027届山东省新泰市实验中学九年级数学第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（）A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．正方形2．如图，点，，都在上，，则等于（）A． B． C． D．3．如图，在中，，，，点在边上，且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（）A．3.2 B．2 C．1.2 D．14．如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板饶点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（）A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断5．一元二次方程的两个根为，则的值是（）A．10 B．9 C．8 D．76．方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（）A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数7．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（）A． B． C． D．8．已知3x＝4y（x≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠ABB′的度数是()A．35° B．40° C．45° D．55°10．下列事件中是必然事件的是（）A．打开电视正在播新闻B．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上C．在等式两边同时除以同一个数（或式子），结果仍相等D．平移后的图形与原图形中的对应线段相等11．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．如图，在中，，垂足为，，若，则的长为（）A． B． C．5 D．二、填空题（每题4分，共24分）13．对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：，，，，…，则ab=．14．如图，在边长为的正方形中，将射线绕点按顺时针方向旋转度，得到射线，点是点关于射线的对称点，则线段长度的最小值为________．15．如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为___．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．17．关于的方程=0的两根分别是和，且=__________．18．如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为_____度．三、解答题（共78分）19．（8分）如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求F点坐标；（3）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．21．（8分）如图，点在以线段为直径的圆上，且，点在上，且于点，是线段的中点，连接、.（1）若，，求的长；（2）求证：．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．应用上面的结论，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．（1）当时，求抛物线的解析式和AB的长；（2）当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；（3）过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．①当AC⊥BD时，求的值；②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形（各个内角度数都小于180°）时，直接写出满足条件的的取值范围．23．（10分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过（1，0），（0，3）两点．（1）求b，c的值；（2）写出当y＞0时，x的取值范围．24．（10分）（1）计算：计算：6cos45°+（）﹣1+（﹣1.73）0+|5﹣3|+42017×（﹣0.25）2017；（2）先化简，再求值：÷，其中满足.25．（12分）已知是上一点，.（Ⅰ）如图①，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小及的长；（Ⅱ）如图②，为上一点，延长线与交于点，若，求的大小及的长.26．如图，已知直线AB与轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（-5，）两点.AD⊥轴于点D，BE∥轴且与轴交于点E.（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案．【详解】解：连接AC、BD，∵E是AD的中点，H是CD的中点，∴EH＝AC，同理FG＝AC，∴EH＝FG，同理EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形，故选：A．本题考查了中位线的性质,平行四边形的判定,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.2、C【分析】连接OC，根据等边对等角即可得到∠B=∠BCO，∠A=∠ACO，从而求得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】连接OC．∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，同理，∠A=∠ACO，∴∠ACB=∠A+∠B=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．故选：C．本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得∠ACB的度数是关键．3、C【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以1为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，由翻折的性质可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．∵PE∥AB，∴∠PDB=90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF=2.1．∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．故选：C．本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题4、A【分析】根据已知条件可得出，，再结合三角形的内角和定理可得出，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，，∵，∴，∵，∴，继而可得出，∴．故选：A．本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．5、D【分析】利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】为一元二次方程的根，，．根据题意得，，．故选：D．本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．6、B【分析】根据方差公式的定义即可求解.【详解】方差中“5”是这组数据的平均数.故选B．此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.7、D【解析】根据配方的正确结果作出判断：．故选D．8、B【解析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，逐项判断即可．【详解】A、由＝得4x＝3y，故本选项错误；B、由＝得3x＝4y，故本选项正确；C、由＝得xy＝12，故本选项错误；D、由＝得4x＝3y，故本选项错误；故选：B．本题考查了比例的基本性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．9、D【解析】在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，即可求得∠ABB'的度数．【详解】由旋转可得，AB=AB'，∠BAB'=70°，∴∠ABB'=∠AB'B=（180°-∠BAB′）=55°．故选：D．本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．10、D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件,从而可得答案．【详解】解：A、打开电视正在播新闻是随机事件；B、随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件；C、在等式两边同时除以同一个数（或式子），结果仍相等是随机事件；D、平移后的图形与原图形中的对应线段相等是必然事件；故选：D．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11、D【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，∴二次函数的图象过点，∴，∴，，则，，∵二次函数的图象的顶点在第一象限，∴，，将，代入上式得：，解得：，，解得：或，故：，故选D．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用12、A【分析】根据题意先求出AE和BE的长度，再求出∠BAE的sin值，根据平行线的性质得出∠ADE=∠BAE，即可得出答案.【详解】∵，∴BE=∴∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠ADE=∠DEC又∵∠BAE=∠DEC∴∠BAE=∠ADE∴∴故答案选择A.本题考查的是平行四边形的综合，难度适中，涉及到了平行四边形的性质以及三角函数值相关知识，需要熟练掌握.二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案：∵，，，，…，∴。14、【分析】由轴对称的性质可知AM=AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【详解】如图所示：连接AM．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC=∵点D与点M关于AE对称，

∴AM=AD=1．

∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．

如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．

∴CM的最小值=AC-AM′=-1，

故答案为：-1．本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键．15、1．【分析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到，设，于是得到AE=-m，，从而得到，，于是求得结果．【详解】解：过作轴于过作轴于，，，，，，，，设，，，，，，．故答案为1．此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.16、2α【解析】分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α．由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=90°﹣α．∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α，即旋转角的大小为2α．17、2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答.【详解】∵方程=0的两根分别是和，∴，，∴=，故答案为：2.此题考查根与系数的关系，熟记两个关系式并运用解题是关键.18、1【分析】根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出，然后根据圆弧长公式即可解决问题．【详解】解：五边形ABCDE是正五边形，．AB、DE与相切，，，故答案为1．本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）A（﹣1，0），B（3，0）;（2）存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．【解析】试题分析：（1）由二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标为M（1，﹣4）可得解析式为：，解方程：可得点A、B的坐标；（2）设点P的纵坐标为，由△PAB与△MAB同底，且S△PAB=S△MAB，可得：，从而可得=，结合点P在抛物线的图象上，可得=5，由此得到：，解方程即可得到点P的坐标.试题解析：（1）∵抛物线解析式为y=（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）∴，当y=0时，（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB=S△MAB，∴，即=，又∵点P在y=（x﹣1）2﹣4的图象上，∴yP≥﹣4，∴=5，则，解得：，∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．20、（1）y=﹣x2﹣2x+3，D(﹣1，4)；（2）F点坐标为(﹣，)；（3）存在，满足条件的P点坐标为(﹣1，﹣1)或(﹣1，﹣﹣1)【分析】（1）把代入得得到关于的方程组，然后解方程组即可求出抛物线解析式，再把解析式配成顶点式可得D点坐标；

（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，先利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，则，则可表示出，，根据三角形面积公式结合二次函数的性质即可求解；

（3）设，根据得到，最后分两种情况求解即可得出结论．【详解】解：（1）把代入得，∴，∴抛物线的解析式为：，∵，∴点D的坐标为：；（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，设直线AC的解析式为，把代入，得，解得，∴直线AC的解析式为：．设，则，∴，∴=，当时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（﹣，），（3）存在．∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），∴，设，则，，如图3，∵∠HDP=∠EDA，∠DHP=∠DEA=90°∴，∴，∴，当t＞0时，，解得：，当t＜0时，，解得：，综上所述，满足条件的P点坐标为或本题是二次函数综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法求函数解析式，判断出是解本题的关键．21、（1）5；（2）见解析【分析】（1）利用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系得到∠ACB=90°，且AC=BC，则∠A=45°，再证明△ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE=6，接着利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到EF的长；（2）如图，连接CF，利用圆周角定理得到∠BED=∠AED=∠ACB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得CF=EF=FB=FD，利用圆的定义可判断B、C、D、E在以BD为直径的圆上，根据圆周角定理得到∠EFC=2∠EBC=90°，然后利用△EFC为等腰直角三角形得到．【详解】解：（1）∵点在以线段为直径的圆上，且∴，且∵，，，∴，在中，∵，，∴，又∵是线段的中点，∴；（2）如图，连接，线段与之间的数量关系是；∵，∵点是的中点，∴，∵，，∴，同理，∴，即，∴；本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．22、（1）；（2）；（3）①；②的取值范围是或．【分析】（1）根据t=3时，A的坐标可以求得是（3，-2），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，则B的坐标可以求得；

（2）△OAB的面积一定，当OA最小时，B到OA的距离即△OAB中OA边上的高最大，此时OA⊥AB，据此即可求解；

（3）①方法一：设AC，BD交于点E，直线l1：y=x-2，与x轴、y轴交于点P和Q（如图1）．由点D在抛物线C2：y=[x-（2t-4）]2+（t-2）上，可得=[（t-1）-（2t-4）]2+（t-2），解方程即可得到t的值；

方法二：设直线l1：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2），根据BD⊥AC，可得t-1=2t-，解方程即可得到t的值；

②设直线l1与l2交于点M．随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，可得满足条件的t的取值范围．【详解】解：（1）∵点A在直线l1：y=x-2上，且点A的横坐标为3，

∴点A的坐标为（3，-2），

∴抛物线C1的解析式为y=-x2-2，

∵点B在直线l1：y=x-2上，

设点B的坐标为（x，x-2）．

∵点B在抛物线C1：y=-x2-2上，

∴x-2=-x2-2，

解得x=3或x=-1．

∵点A与点B不重合，

∴点B的坐标为（-1，-3），

∴由勾股定理得AB=．

（2）当OA⊥AB时，点B到直线OA的距离达到最大，则OA的解析式是y=-x，则

，解得：，

则点A的坐标为（1，-1）．（3）①方法一：设，交于点，直线，与轴、轴交于点和（如图1）．则点和点的坐标分别为，．∴．∵．∵轴，∴轴．∴．∵，，∴．∵点在直线上，且点的横坐标为，∴点的坐标为．∴点的坐标为．∵轴，∴点的纵坐标为．∵点在直线上，∴点的坐标为．∴抛物线的解析式为．∵，∴点的横坐标为，∵点在直线上，∴点的坐标为．∵点在抛物线上，∴．解得或．∵当时，点与点重合，∴方法二：设直线l1：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2）

则∠ANB=93°，∠ABN=∠OPB．

在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．

∵在抛物线C1随顶点A平移的过程中，

AB的长度不变，∠ABN的大小不变，

∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变．

同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变．

由（1）知当点A的坐标为（3，-2）时，点B的坐标为（-1，-3），

∴当点A的坐标为（t，t-2）时，点B的坐标为（t-1，t-3）．

∵AC∥x轴，

∴点C的纵坐标为t-2．

∵点C在直线l2：y＝x上，

∴点C的坐标为（2t-4，t-2）．

令t=2，则点C的坐标为（3，3）．

∴抛物线C2的解析式为y=x2．

∵点D在直线l2：y＝x上，

∴设点D的坐标为(x，)．

∵点D在抛物线C2：y=x2上，

∴＝x2．

解得x＝或x=3．

∵点C与点D不重合，

∴点D的坐标为(，)．

∴当点C的坐标为（3，3）时，点D的坐标为(，)．

∴当点C的坐标为（2t-4，t-2）时，点D的坐标为(2t−，t−)．

∵BD⊥AC，

∴t−1＝2t−．

∴t＝．

②t的取值范围是t＜或t＞4．

设直线l1与l2交于点M．随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形．

本题考查了二次函数综合题，掌握待定系数法求得函数的解析式，点到直线的距离，平行于坐标轴的点的特点，方程思想的运用是解题的关键．23、（1）b=-2,c=3；（2）当y＞0时，﹣3＜x＜1．【分析】（1）由题意求得b、c的值；

（2）当y>0时，即图象在第一、二象限的部分，再求出抛物线和x轴的两个交点坐标，即得x的取值范围；【详解】（1）根据题意，将（1，0）、（0，3）代入，得：解得：（2）由（1）知抛物线的解析式为当y=0时，解得：或x=1，则抛物线与x轴的交点为∴当y＞0时，﹣3＜x＜1．考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解题的关键.24、(1)8；(1)-1【解析】分析：（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、幂的乘方可以解答本题；（1）根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后解方程，在其解中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．详解：（1）6cos45°+（）-1+（-1.73）0+|5-3|+41017×（-0.15）1017=6×+3+1+5-3+41017×（-）1017=3+3+1+5−3−1=8；（1）÷==∵∴a=0或a=1(舍去)当a=0时，原式=-1．点睛：本题考查分式的化简求值、实数的运算、殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、幂的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．25、（Ⅰ），PA＝4；（Ⅱ），【分析】（Ⅰ）易得△OAC是等边三角形即∠AOC=60°，又由PC是○O的切线故PC⊥OC，即∠OCP=90°可得∠P的度数，由OC=4可得PA的长度（Ⅱ）由（Ⅰ）知△OAC是等边三角形，易得∠APC=4