国防科技大学《结构力学》课件-第10章结构动力学

第10章

结构动力学Structuraldynamics国防科技大学《结构力学》2026/10/27结构力学结构动力学参考书ChopraAK.，Dynamicsofstructures

NewJersey：Prentice-Hall.Inc.

1995，2000

谢礼立，吕大刚等译

高等教育出版社，2007R.W.Clough&J.Penzien，

Dynamicsofstructures

McGraw-Hill

1993,1995

王光远等译校

高等教育出版社，2006张相庭，王志培，黄本才编著，结构振动力学

同济大学出版社，19942026/10/27结构力学主要内容§10-1概述§10-2体系的动力自由度§10-3单自由度体系运动方程的建立§10-4单自由度体系的自由振动§10-5单自由度体系的强迫振动§10-6多自由度体系的自由振动§10-7振型的正交型§10-8多自由度体系的强迫振动§10-9无限自由度体系的自由振动§10-10自振频率的近似计算2026/10/27结构力学§10-1概述1.结构动力学简介结构动力学是研究结构体系的动力特性及其在动荷作用下结构动力响应分析原理和方法的一门技术学科。为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供理论依据。结构动力学与结构静力学和刚体动力学的区别

有别于结构静力学，它要考虑结构因振动而产生的惯性力和阻尼力。有别于刚体动力学，它要考虑结构因变形而产生的弹性力。质量块mg无质量弹簧kust2ustut静力反应动力反应（a）弹簧-质点体系（b）位移反应静力问题和动力问题位移反应的区别2026/10/27结构力学§10-1概述1.结构动力学简介结构动力学发展简况萌芽：公元前6世纪：古希腊弦线振动试验。战国时期：《庄子》明确记载了共振现象。17世纪：动力学创始伽利略（G.Galileo）：计算了单摆的周期，开创了动力学研究。惠更斯（C.Huygens）：发现了非线性现象。牛顿（I.Nenwton）1687年发表了运动定律。18世纪：线性结构动力学理论成熟欧拉（L.Euler）：1739年研究无阻尼简谐强迫振动,从理论上解释了共振现象；

1747年发现系统振动是各阶简谐主振动的叠加。伯努利（D.Bernoulli）：1751年研究了棱柱杆侧向振动。拉格朗日（J.L.Lagrange）：1762年建立了离散系统振动的一般理论。达朗贝尔（J.leR.d’Alembert）原理2026/10/27结构力学§10-1概述结构动力学发展简况19世纪：对复杂结构动力学问题提出了许多近似算法瑞利（J.W.S.Raleigh）：1877～1878年发表了《声学理论》，提出了瑞利方法。里兹（W.Ritz）：提出了一个求解变分问题的近似方法（瑞利－里兹法）。迦辽金（Galerkin）法邓克利（Dunkerley）法汉密尔顿（Hamilton）正则方程20世纪：实践和理论分析都获得了高度的发展铁木辛柯（S.P.Timoshenko）：1928年发表了《工程中的振动问题》。斯特多拉（A.Stodola）：1904年提出矩阵迭代法。汤姆逊（W.Thomson）：1950年提出传递矩阵法。结构动力反应数值分析方法：Newmark-β法

Wilson-θ法

……NathanM.NewmarkProf.ofUIUCHardyCross’sstudentEdwardL.WilsonProf.

ofU.C.BerkeleyRayW.Clough’sstudent

1.结构动力学简介2026/10/27结构力学§10-1概述结构动力学的三要素输入（激励）、系统（结构）、输出（响应）。输入特征：动态变化：周期、瞬态、随机。形式多样：力、位移、能量等。系统类型：(1)线性与非线性：线性叠加原理成立，有固有频率和模态；

非线性叠加原理不成立，没有固有特征。(2)保守与非保守系统：保守系统能量守恒；

非保守系统有能量损耗。输出特征：取决于动力输入和体系的动力特性。1.结构动力学简介2026/10/27结构力学§10-1概述2.动力荷载及其分类荷载三要素：大小、方向和作用点。如果三要素随时间变化缓慢，求解结构的响应时，可把荷载作为静载荷处理以简化计算。如果三要素随时间变化较快，使受荷物体产生的质量加速度不可忽略，那么该荷载就称为动力荷载。严格地讲，几乎所有荷载都属于动荷载。重力除外。荷载变化是否“缓慢”，只是一个相对的概念，其判别标准取决于质量加速度（或惯性力）的大小。如果荷载的变化周期在结构自由振动周期的五、六倍以上，把它当作静载荷将不会带来多少误差。若载荷的变化周期接近于结构的自由振动周期，即使载荷很小，结构也会因共振而产生很大的响应，因而必须视为动力荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。2026/10/27结构力学§10-1概述2.动力荷载及其分类振动类型本课程不讨论2026/10/27结构力学§10-1概述2.动力荷载及其分类动力荷载分类确定性荷载：荷载随时间的变化规律在结构动力分析之前已确定，是完全已知的时间历程。非确定性荷载：荷载随时间的变化规律在结构动力分析之前不能确定，是一种随机过程。可以通过统计分析确定荷载的统计信息。

动力荷载确定性荷载非确定性荷载按确定与否2026/10/27结构力学§10-1概述2.动力荷载及其分类动力荷载分类简谐荷载：荷载随时间周期变化，并可用简谐函数表示。例：机器匀速转动，由偏心质量离心力引起的不平衡力。简谐荷载非简谐周期荷载动力荷载周期荷载非周期荷载按随时间变化规律冲击荷载一般（任意）荷载FP(t)t

2026/10/27结构力学§10-1概述2.动力荷载及其分类动力荷载分类非简谐周期荷载：荷载在多次循环中相继呈现相同的时间历程，但不能用简谐函数表示。例：平稳状态下，波浪对堤坝的动水压力。简谐荷载非简谐周期荷载动力荷载周期荷载非周期荷载按随时间变化规律冲击荷载一般（任意）荷载

FP(t)t2026/10/27结构力学§10-1概述2.动力荷载及其分类动力荷载分类冲击荷载：荷载幅值（大小）在很短时间内急剧增大或减小。例：突加恒载、爆炸冲击荷载、吊车制动力对厂房的水平作用等。简谐荷载非简谐周期荷载动力荷载周期荷载非周期荷载按随时间变化规律冲击荷载一般（任意）荷载FP(t)t（a）突加恒载FP(t)t（b）爆炸荷载2026/10/27结构力学§10-1概述2.动力荷载及其分类动力荷载分类一般（任意）荷载：荷载幅值变化复杂，难以用解析函数解析表示。例：地震引起的基础运动、脉动风对结构表面的风压时程。简谐荷载非简谐周期荷载动力荷载周期荷载非周期荷载按随时间变化规律冲击荷载一般（任意）荷载南澳（2006/12/0606:35:49）地震波2026/10/27结构力学§10-1概述3.结构动力学的研究内容研究结构体系动力特性及其在动荷载作用下动力响应的分析原理和方法。动力响应包括动内力、动位移、结构振动的速度和加速度等。结构动力特征包括自振频率、振型和阻尼参数。按计算分析特征，结构动力学问题可分为以下四类。反应分析输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）参数识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）荷载识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）反问题正问题控制问题输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）阻振（附加阻尼）隔振（振源与系统间加子系统）吸振（附加子系统）§10-1概述结构振动控制的工程应用实例台北101大楼，地上101层、地下5层，高度509米第88~92层之间有一颗巨大的‘金色大球’，由实心钢板堆焊而成，直径约5.4米，重达680吨，价值400W美元。其实质是调质阻尼器TMD（TunedMassDamper），作用是减轻飓风、地震给大楼带来的震动。世界上最大最重的TMD第一个外露并可供观赏的TMD阻尼器最大摆幅150cm降低大楼摆动幅度最高达40%TMD又称为固体阻尼器，液体阻尼器TLD（

TunedLiquidDamper）工程中也有应用。调质阻尼器按启动机制可分为被动式调质阻尼器（PassiveTunedMassDamper）和主动式调质阻尼器（ActiveTunedMassDamper）。台北101所采用的是被动式调质阻尼器。世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多的CNTower、日本大阪的CrystalTower、澳洲悉尼的CenterpointTower、美国纽约的CiticorpCenter、日本的明石海峡大桥AkashiKaikyoBridge，等等。§10-1概述结构振动控制的工程应用实例主动式调质阻尼器的工作原理台湾高雄的东帝士85摩天大楼、日本大阪的HankyuChayamachiBuilding是设有主动式调质阻尼器的建筑物。地面、大楼装有侦测器（sensor）中央控制室的电脑可以计算位移，并调整阻尼系统的运作。顶部的anemometer是风速计，相关风速资讯亦传至电脑。智能控制中目前代表性的智能阻尼器主要有磁流变液阻尼器和压电变摩擦阻尼器。磁流变液阻尼器已经应用于日本KeioUniversity（庆应义塾大学）的一栋居住建筑中。世界上第一幢采用AMD系统的建筑物是1989年口本Kajima建筑公司建造的11层办公大楼KyobasiSeiwa—京桥成和大厦。该建筑物顶层设置两个AMD系统，顶层中部的AMD系统质量为4000kg，用于控制结构的侧向振动，顶层侧部的AMD系统质量为1000kg，用于控制结构的扭转振动。2026/10/27结构力学§10-1概述4.本课程的内容—基于杆系结构的动力学基础研究的问题自由振动：外部起振后，再没有外力的振动。强迫振动：振动过程中，有外部干扰力作用。计算内容结构体系的动力特征，即结构的自振频率、振型和阻尼参数等。计算结构的动力反应，即结构在动荷载作用下的动内力、动位移等。5.与其它课程之间的关系结构动力学以结构力学和数学为基础。要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。教学目的通过单自由度和多自由度体系动力特征和动力响应的计算分析，使同学们掌握结构动力学的基本理论和分析方法。2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度1.动力自由度的定义动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘AlembertJeanLeRond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。确定体系中全部质量位置所需要的独立几何参数数目，称为体系的动力自由度。2.动力自由度简化方法严格意义上讲，实际结构都是具有分布质量的弹性体，是无限自由度体系。动力自由度简化方法有：应用中存在的问题：（1）计算复杂，有时甚至无法求解析解；

（2）从工程角度没有必要。故，实际结构通常简化成有限自由度体系。集中质量法广义坐标法有限单元法2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度集中质量法：将分布质量按力系等效原则集聚于有限个离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。假定刚梁质量向楼面集中动力自由度＝34等分，向分段两端集中动力自由度＝34等分，向分段中心集中动力自由度＝4例：3层框架楼面刚度和质量比柱子大2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度集中质量法集中质量法是一种物理简化方法例：3层框架梁柱均为弹性杆件不计柱子质量

梁质量向中心集中动力自由度＝6

梁质量向两端集中动力自由度＝3

2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度广义坐标法广义坐标法是一种数学简化方法

…对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。

简支梁：

2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度广义坐标法

悬臂梁：

一般问题：结构位移表达式可写为

2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度有限单元法可以看作是分区的广义坐标法。要点：先把结构划分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行广义坐标法。即，取单元节点位移作为广义坐标，在单元上定义形函数（又称插值函数）。有限单元法综合了集中质量法和广义坐标法的优点：有限单元法中的广义坐标采用真实的物理量（节点位移），与集中质量法类似，具有直接、直观的优点。有限单元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在整个结构上插值（定义形函数），而是分片插值（在单元上定义形函数），所以形函数的形式相对简单。有限单元法也是一种数学简化方法。本课程主要讨论集中质量法。对集中质量而言，自由度并不难理解，但如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知量数量一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。因此，必须熟练地掌握自由度的确定。2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度确定动力自由度注意的问题：

⑴动力自由度与体系是静定还是超静定无关。均1个动力自由度动力自由度各为多少？⑵动力自由度与集中质量的数量有关，但无确切关系。1个质量，2个自由度3个质量，4个自由度自由度>质量数4个质量，2个自由度自由度<质量数超静定结构静定结构2026/10/27结构力学§10-2体系的动力自由度【练习】试确定图示体系的动力自由度。

2个动力自由度2个动力自由度1个动力自由度2个动力自由度【课堂练习】TextBookP.151,习题10-52026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立1.单自由度体系体系的运动状态仅需要一个几何参数既可以确定。又称SDOF(Single-Degree-of-Freedom)System。分析SDOF体系的意义SDOF体系包含了结构动力分析中涉及到的所有物理量和基本概念。SDOF体系是许多实际动力问题的计算模型。单层框架

悬臂立柱重力摆SDOF体系的物理模型

2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立2.运动方程描述振动过程中结构体系力与位移关系的数学表达式称为运动方程，又称动力（平衡）方程。建立运动方程是进行结构动力分析的基础。运动方程的建立是结构动力学的重点和难点。3.体系受力分析

(1)动力荷载（Appliedforce）：也称外部干扰力。

（坐标方向：向右为正）2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立3.体系受力分析

(1)动力荷载（Appliedforce）

（坐标方向：向右为正）

2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立3.体系受力分析关于阻尼阻尼定义：对体系振动过程中能量损耗的总称。

振动过程：动势能转换过程

平衡位置——动能最大

振幅位置——势能最大

振动衰减——能量损耗

2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立3.体系受力分析关于阻尼粘滞阻尼理论（1892年，Vougt）是多种阻尼理论中最简单的一种，其它常用阻尼：摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数。滞回阻尼（复阻尼）：阻尼力与速度同相位，与位移成正比。流体阻尼：物体在流体中所受到的阻力与运动速度的平方成正比。

线弹性体系和粘弹性体系线弹性体系（LinearElasticSystem）：由线弹性材料组成的体系。粘弹性体系（Viscoelastic

System）：线弹性体系进一步考虑阻尼的影响。

——结构动力分析的最基本力学模型。非线性体系（Nonlinearsystem）：构件力—变形呈非线性关系，结构刚度不为常数。2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立4.运动方程的建立

（坐标方向：向右为正）

2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立4.运动方程的建立方法二达朗贝尔（D‘Alembert）原理：体系运动的任意时刻，作用于体系上的主动力、约束力和惯性力互相平衡。

（坐标方向：向右为正）

本质：将动力学问题化为静力学问题来求解，故又称为动静法或惯性力法。贡献：建立了动力平衡的概念，使静力学中建立控制方程的方法，可以用于建立动力方程。2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立4.运动方程的建立方法三虚功原理（PrincipleofVirtualWork）：描述了力系平衡的充分必要条件，详见第5章。本质：虚位移原理平衡方程（应用：第四章机动法作影响线）虚力原理几何方程（应用：第五章结构位移计算）优点：虚功是一个标量，可以按代数方式运算，在复杂情况下，比Newton第二定律和D‘Alembert原理所采用的矢量运算更方便。

2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立4.运动方程的建立

Lagrange方程式是与Hamilton原理等价的微分形式的变分原理。优点：完全标量方法，因为涉及到的物理量只有能量。（虚功原理中尽管中虚功是标量，但计算虚功的力和位移是矢量。）方法四哈密顿（Hamilton）原理哈密顿原理是力学中最重要的积分形式的变分原理。它提供了从所有可能运动中找出真实运动的一个准则。在数学上属于固定边界条件下的泛函极值问题。2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立4.运动方程的建立五种建立运动方程方法的特点比较方法类型优点应用Newton第二定律矢量方法物理概念清晰明确简单体系D’Alembert原理矢量方法简单、直观，使静力学方法适用处理具有分布质量的弹性杆件相对比较困难虚功原理半矢量法部分避免简化了矢量运算最适用于具有分布质量和虚位移简单的体系（刚性杆件体系）Hamilton原理标量方法表达简洁直接应用不多Lagrange方程标量方法绕过了复杂的惯性力和弹性恢复力分析应用很广，适用于复杂体系Hamilton原理和Lagrange方程是变分方法，需要一定的泛函分析基础。本课程从强调物理概念的角度出发，只介绍D’Alembert原理和虚功原理两种方法。2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立5.利用D’Alembert原理建立运动方程根据力的平衡条件建立动力平衡方程（刚度法），以图示单自由度体系为例。

取质量体为研究对象。注意：假定力的方向与位移方向相同为正由，得动力平衡方程质量体受力图作用在质量体上的力包括：①动力荷载②惯性力③弹性恢复力柔度系数图示刚度系数图示记体系的刚度系数为

柔度系数为单自由度体系2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立根据几何（位移）条件建立运动方程（柔度法）取结构（梁）为研究对象。根据叠加原理，有将上述方程变形，得上式的本质是结构体系在质量点的位移条件，故称为运动方程。考虑到单自由度体系刚度系数与柔度系数互为倒数，运动方程与动力平衡方程在数学表达形式上是一致的。结构受力图作用在梁上的力包括：①动力荷载②惯性力5.利用D’Alembert原理建立运动方程2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立理论上，刚度法和柔度法的适用范围没有区别，也就是讲，能用刚度法建立动力平衡方程的体系，也可以用柔度法建立运动方程，反之亦然。但两种方法用于特定的体系，有简单和复杂之分。一般情况下，静定结构计算柔度系数比较方便，宜选用柔度法；超静定结构计算刚度系数比较方便，宜选用刚度法。刚度法和柔度法的适用范围如何？具体应用中如何判别选用哪种方法比较简便？【例】试分别用刚度法和柔度法两种方法建立图示两个单自由度体系的运动方程和动

力平衡方程。（a）静定结构（b）超静定结构2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立【解】（a）图示静定结构柔度法运动方程：

整理后的运动方程为：刚度法动力平衡方程：等效于属于超静定结构支座位移条件下的支座反力计算。采用什么方法计算？属于静定结构位移计算的范畴

刚度系数的计算：

柔度系数的计算：2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立刚度法动力平衡方程：

刚度系数的计算：（与柔度法建立的运动方程相同）

整理后的动力平衡方程为：可求，CB结点杆端ABCABBABC分配传递备注支座位移条件下的弯矩分配法2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立刚度法动力平衡方程：【解】（b）图示超静定结构

整理后的动力平衡方程为：可求，EB结点杆端ABEABBABE分配传递备注弯矩分配法内力计算反对称半结构

刚度系数的计算：2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立柔度法运动方程：等效于属于超静定结构位移计算的范畴剪力静定杆

整理后的运动方程为：EB结点杆端ABEABBABE分配传递备注弯矩分配法内力计算

柔度系数的计算：2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立利用D’Alembert原理建立运动方程小结刚度法——建立动力平衡方程的一般步骤：

1)确定体系的自由度——质量独立位移数；

2)明确未知位移；

3)取质量为隔离体并作受力分析；质量体所受力一般包括：惯性力；阻尼力；弹性恢复力；动力荷载。

4)根据达朗泊尔原理建立每一质量的瞬时动力平衡方程，此方程即为运动（微分）方程。柔度法——建立运动方程的一般步骤：1)确定体系的自由度——质量独立位移数；

2)明确未知位移；

3)取结构为研究对象；结构体系所受力一般包括：惯性力；阻尼力；动力荷载。4)按位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立6.利用虚功原理建立动力方程【例】试建立图示体系的动力平衡方程。特点：①质量分布（惯性力）较为复杂。②虚位移简单。具有分布质量的刚杆体系最适合于用虚功原理建立平衡方程。整理，得动力平衡方程虚功方程虚位移动平衡力系黑色－干扰力；红色－惯性力；蓝色－弹性恢复力；粉色－阻尼力取AC杆绕A点转角为广义位移，并设顺转为正。2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立7.重力的影响动位移微分方程与重力无关，分析结构的动力响应时，可以不考虑重力影响。对于线弹性体系，当需要考虑重力影响时，结构总位移=静力解+动力解。应用实例：①车辆振动=静位移+动位移；

②结构风荷载作用=平均风+脉动风

质量体受力图

2026/10/27结构力学§10-3单自由度体系运动方程的建立8.支座激励的影响实际应用：地震——地面运动加速度影响。

2026/10/27结构力学

新物理量：惯性力、阻尼力重力的影响支座激励的影响D’Alembert原理建立运动方程刚度法建立动力平衡方程柔度法建立运动方程方法的选择（静定、超静定）动力学方程与静力学方法（力法、位移法）的对应关系

第三节小结§10-3单自由度体系运动方程的建立虚功原理建立运动方程最适用范围2026/10/27结构力学§10-4单自由度体系自由振动单自由度（SDOF）多自由度（MDOF）广义自由度自由振动强迫振动特征值求解计算动力响应叠加计算法无阻尼有阻尼结构动力学基础架构1.无阻尼自由振动

自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。2026/10/27结构力学§10-4单自由度体系自由振动1.无阻尼自由振动

特征方程：

运动方程的通解：

2026/10/27结构力学§10-4单自由度体系自由振动1.无阻尼自由振动无阻尼自由振动解：

无阻尼自由振动是一个简谐运动（SimpleHarmonicMotion）。2026/10/27结构力学§10-4单自由度体系自由振动1.无阻尼自由振动结构固有特征(与外部作用无关)动力响应（与初始条件有关）2026/10/27结构力学§10-4