2027届黑龙江大庆市高三一模高考数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高三数学2026.10注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，那么复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知非零向量，满足，且，则（

）A． B． C． D．4．已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（

）A． B． C． D．5．已知正项等比数列的前项和为，且，，则（

）A．7 B．15 C．31 D．636．已知函数（，），若，则（

）A． B． C． D．7．为了满足员工的用餐需求，某公司开设了和两个不同风味的餐厅．员工甲每天要在公司餐厅吃午餐和晚餐，其中午餐是等可能地随机选择餐厅或餐厅用餐．如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为；如果他午餐去餐厅，那么晚餐去餐厅的概率为，则员工甲晚餐去餐厅用餐的概率为（

）A． B． C． D．8．在直三棱柱中，，，．若该直三棱柱外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点中心对称C．当时，函数的值域为D．若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为11．在平面内，为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线与圆：（）相切．若点为圆上的一个动点，点，，为抛物线上不同的三点，则下列结论正确的是（

）A．B．存在点，使得为等边三角形C．若点到准线的距离为，则的最小值为D．若为等边三角形，且直线的斜率为，则的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则该圆锥的体积是__________．13．已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为__________．14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表：单位：人性别关注AI情况合计关注不关注女生10——40男生——2060合计50————(1)完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？(2)将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值．附：，．16．在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若的面积为，，求的周长．17．已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点．(1)证明：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是．(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且．（i）证明：点为线段的中点；（ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知函数，．(1)当时，讨论的单调性；(2)函数，若是的唯一极值点且是极小值点，求实数的取值范围；(3)函数，是否存在正实数，使得函数恰有三个零点，，，其中且，，成等差数列？若存在，求出该数列的公差；若不存在，请说明理由．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．B【详解】因为，所以复数对应的点在第二象限.2．B【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，故.3．C【分析】应用向量垂直计算求解.【详解】因为非零向量，满足，且，则，则4．D【详解】由题意得，则，设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，由弦长公式可得，故D正确.5．C【详解】设等比数列的公比为，且，因为，则，又因为，则，可得，即，所以.6．D【分析】根据函数特征构造新函数，利用新函数的奇偶性性质求值.【详解】根据题意构造新函数（，），因为，即，所以，所以.7．B【详解】设员工甲午餐去餐厅用餐为事件，晚餐去餐厅用餐为事件，则，，，可得，所以.8．A【分析】先通过余弦定理判断底面三角形为直角三角形，结合外接球表面积求出直三棱柱的高，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.【详解】在中，由余弦定理得，所以，即，为直角三角形，其外接圆圆心为中点，半径.设直三棱柱的高为，直三棱柱外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，所以外接球半径满足.由外接球表面积，得，则，解得.以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则..设平面的法向量为，则，即，令，则，即.设直线与平面所成角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.9．ABD【分析】A、B、C选项，利用不等式的性质，结合作差法即可判断；D选项，利用基本不等式即可判断.【详解】对于A：根据不等式性质，不等式两边同加上一个实数，不等号方向不变，因此若，则，故A正确；对于B：由可得，则，不等式两边同乘得，故B正确；对于C：因为，由，得，又因为的符号不确定，所以无法判断正负，即无法比较大小，故C错误；对于D：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确.10．AC【分析】首先应用辅助角公式及图象平移得，再由各项描述并结合正弦函数的性质及其图象依次分析各项的正误.【详解】对于A选项，，则的最小正周期，A正确；对于B选项，当时，求得，故函数的图象不关于点中心对称，B错误；对于C选项，当时，则，则，C正确；对于D选项，由，则，则在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为，要使在上有且仅有一个实数根，则，D错误.11．ACD【分析】对于A，根据抛物线方程求出准线，进而求出圆心到准线的距离，根据相切得出的值；对于B，假设为等边三角形，推出与原点重合，无法构成三角形；对于C，根据抛物线定义得，故，得出的最小值；对于D，设，由的斜率为得，中垂线上存在点使为等边三角形，代入抛物线方程解得弦长，进而求出周长.【详解】抛物线：的焦点为，准线，对于A:圆心到准线的距离为，由相切得，正确；对于B，若为等边三角形，则，设在抛物线上，等于到准线的距离，由得，此时，，矛盾，错误；对于C，由抛物线定义，，故（当在线段上、在线段上时取等号），验证取等可行：线段方程，与联立得，解得，交点在线段上，正确；对于D，设，，故，记，则，中点（由得），等边三角形的第三个顶点在中垂线上，的方向向量为，中垂线方向向量为，且，故或将代入，化简得：无正解（舍）；将代入，化简得：，故，所以，周长为，正确.12．【详解】设圆锥的母线长度为，圆锥的高为，圆锥体积为，而圆锥的侧面积是，可得，解得，由勾股定理得，则圆锥的体积为.13．【分析】根据题意数列为首项为，公差为的等差数列，则，再利用裂项相消法求数列求和.【详解】根据题意，，即，即数列为公差为的等差数列，由，则，所以，则，所以数列的前10项和为.14．【分析】整理不等式，构造单调函数，利用单调性脱去外层函数，将原恒成立问题转化为求的最小值，进而求出的最大值．【详解】由题意，，将两边同时除以得，，即，移项整理得，构造函数，则，由函数性质可知在上单调递增，所以，即，不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，令，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，，，即，故．15．(1)补全后的列联表如下：性别关注不关注合计女生103040男生402060合计5050100依据小概率值的独立性检验，能认为学生对AI的关注与性别有关联；(2)的分布列为：123均值.【分析】先补全2×2列联表，计算卡方统计量并与临界值比较完成独立性检验，再根据分层抽样规则确定样本构成，利用超几何分布求解X的分布列与均值.【详解】（1）首先补全列联表：性别关注不关注合计女生103040男生402060合计5050100女生不关注AI的人数为，男生关注AI的人数为，不关注AI的总人数为，总调查人数为,提出零假设：学生对AI的关注与性别无关联,代入卡方公式计算,由于，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生对AI的关注与性别有关联;（2）60名男生中关注AI的有40人，不关注AI的有20人，按比例分配分层抽样抽取6人时，抽取关注AI的人数为，不关注AI的人数为,为从6人中抽3人时抽到关注AI的人数，服从超几何分布，可能取值为1,2,3,,,,因此的分布列为123所以16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理即可求出角.（2）先由三角形面积公式求出的值，再结合正弦定理及已知的值求出边长，最后由余弦定理求出，即可得到三角形周长.【详解】（1）已知，由正弦定理，得.所以.由余弦定理，因为，故.（2）由，所以.由正弦定理，得，所以（）.由余弦定理，得，即所以（）.所以的周长为.17．(1)证明：如图，连接，交与点，连接.因为四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以，又平面，平面，所以平面.(2)(3)存在，.理由如下：因为，所以，.设，，则，因为点到平面的距离为，所以，解得或（舍去）.所以，即，所以在棱上存在点，满足点到平面的距离为，此时.【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两平面所成角的余弦值.（3）利用空间向量，根据点到平面的距离确定点位置.【详解】（1）略（2）因为三棱柱是各棱长均为2的正三棱柱，取中点，则两两垂直.故可以为原点，所在射线分别为轴，建立如图空间直角坐标系.则，，，，，因为为中点，所以.所以，，，.设平面的法向量为，则，令，则，所以.设平面的法向量为，则，令，则，，所以.所以，即平面与平面夹角的余弦值为.（3）略18．(1)(2)（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在，设直线的方程为，，，设中点，联立，得，则，，，则，即中点在直线上，又在直线上，则，重合，所以为线段的中点；（ⅱ）是，定值为【分析】（1）根据斜率公式求椭圆方程即可；（2）（ⅰ）设直线的方程为，，，设中点，联立得到，再证明在直线上即可；（ⅱ）根据题意可得，利用点得到点坐标，进而得到，再求弦长及点到直线的距离，进而求出面积即可．【详解】（1）设，由，所以的轨迹方程为；（2）（ⅰ）略（ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称，，又，则，，解得，，点到直线的距离，故四边形的面积为定值．

19．(1)当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)(3)存在，公差为【分析】（1）求导，分，，三类讨论，根据导数的正负判断其单调性；（2）对求导，令，分，两种情况分类讨论：当时，时，，在内存在零点，与是的唯一极值点矛盾，若，恒成立，符合题意；（3）化简，零点对应（需）或（需），恰有3个零点：1个负根，2个正根，需，根据三根成等差数列，设公差为，则，利用零点方程相除得到关系式并联立，化简求解.【详解】（1），令，解得或，当时，恒成立，故在上单调递增；当时，，所以当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，所以当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为；（2），则，记，若，当时，，故，即存在使；另一方面是的极小值点要求在内小于0，在内大于0，即在两侧附近均大于0，由的连续性，在内必有零点，且为变号零点，从而在该处变号，产生异于的极值点，与“是的唯一极值点”矛盾；若，对任意，故