云南昆明市第八中学2025-2026学年度下学期期中考试高一数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南昆明市第八中学2025-2026学年度下学期期中考试高一试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A2.若，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（）A. B. C. D.【答案】C4.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（）A. B. C.0 D.【答案】A5.已知集合，则中元素的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A6.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，是这6个正六边形内部(包括边界)的动点，则的最大值为（）A.12 B.16 C.18 D.20【答案】C7.若，则（）A. B. C. D.【答案】D8.若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数（，，是常数，且，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A.B.C.D.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数【答案】AB10.已知是定义在上的函数，且，，则（）A. B.是奇函数C.的图象关于直线对称 D.是的周期【答案】ACD11.在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（）A.正三棱台形容器的体积为B.正三棱台形容器的侧面积为C.等边三角形DEF的边长为3D.水的体积为【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如果复数z满足，那么的最大值是______．【答案】13.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____．【答案】14.在中，在边上，平分，若，，且，则______．【答案】##四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图所示的四棱锥中，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上．【答案】解：（1）在四棱锥中，取中点，连接，由为的中点，得，由，得，则，而，因此四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，则，由，得，而，则，，，又，则，而在同一个球面上，且，因此点为球心，所以球心在平面上.16.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值.【答案】解：（1）.的最小正周期为，由，，解得，，所以函数的单调递减区间是.（2）将的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，据题意有，且，则，则.17.已知函数．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若对于恒成立，求k的取值范围．【答案】解：（1）由，可得，解得或，所以的定义域为．（2）为奇函数．证明如下：由（1）可知，的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数．（3），因为函数为增函数，函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，所以在上为增函数．故，由于对于恒成立，则，即k的取值范围为．18.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）在所在平面内取一点（与在两侧），且，（i）若，求的长；（ii）若，求面积的最大值．【答案】解：（1）因为，所以，，即，又，所以，由正弦定理知，所以，，.（2）（i）因为，所以，且，，.（ii）若，此时为正三角形．记，在中，由正弦定理知，①，将①代入上式有，而，当时，有最大值．19.意大利著名物理学家达·芬奇思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？可以用双曲函数来描述该形状，基本的双曲函数有：双曲正弦函数和双曲余弦函数.（1）求的值；（2）求不等式：的解集；（3）若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围.【答案】解：（1）．（2）因为恒成立，故是奇函数．又因为在上严格递增，在上严格递减，故是上的严格增函数，所以，即，所以，解得，即所求不等式的解集为.（3）因为的图象在区间上与轴有2个交