湖南衡阳市第七中学2026届高三下学期全真模拟(考前测试)数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南衡阳市第七中学2026届高三下学期全真模拟(考前测试)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C.1 D.53.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.84.已知，则（）A. B. C. D.5.已知为等比数列的前项积，若，且（）A. B. C. D.6.若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在区间上单调递增 B.的最小值为C.方程的解有个 D.导函数的极值点为11.棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）A.B.若直线AK与平面PQR的交点为M，则C.四面体ABCD外接球的表面积是D.四面体KPQR的体积是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为____________．13.记为正项数列的前n项积，已知，则________；________．14.已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是，的中点，记平面与平面的交线为l．（1）证明：直线平面；（2）求与平面的正弦值．16.已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中．（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.

17.某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立.（1）求的分布列；（2）记随机变量.已知，.（ⅰ）证明：，；（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.18.已知函数．（1）若，，求证：有且仅有一个零点；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；（3）若满足第（2）问所得的取值范围，且，求在时的最小值，并指出取到最小值时的取值．

19.在直角坐标平面内，设P是圆上的动点，轴，垂足为点Q，点M在的延长线上，且，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设l是过点的动直线．①当直线l的斜率为时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离