北师大版数学 1.1 探索勾股定理（10题型+针对训练） 同步练习 含答案

勾股定理1探索勾股定理命题1：用勾股定理解三角形…………2命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积………2命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差…………3命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系…………3命题5：勾股定理的证明方法…………4命题6：以弦图为背景的计算题………5命题7：用勾股定理构造图形解决问题…………6命题8：求旗杆的高度………………7命题9：小鸟飞行的距离……………8命题10：求大树折断前的高度……9针对训练………………9命题1：用勾股定理解三角形1．在直角三角形中，若一条直角边长是5，另一条直角边长是12，则斜边长的平方是（

）A．13 B．50 C．125 D．1692．在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，若a2=2，b2=4，那么A．2 B．6 C．20 D．363．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=4,BC=3，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，则BM的长为若一个直角三角形的一条直角边长为7，其斜边长比另一条直角边长1，求该直角三角形的斜边长．命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积5．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（

）A．7 B．5 C．25 D．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC为边作正方形．若AB=5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为7．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，以AC为直角边向外作Rt△ACD（∠CAD=90°），分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4．已知S1命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差8．在Rt△ABC中，斜边BC=4，则AB2A．12 B．22 C．32 D．无法计算9．在Rt△ABC中，斜边AB=10，则AB2A．100 B．200 C．300 D．400命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系10．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，若∠B=90°，则（

）．A．b2=aC．a2=c11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB212．如图，在△ABC中，∠C=90°,M是BC的中点，MD⊥AB于点D，试说明：AD命题5：勾股定理的证明方法13．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（

）．A． B．C． D．14．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．15．如图所示，∠ABC=∠ACE=90°，请你添加适当的辅助线证明结论a2命题6：以弦图为背景的计算题16．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．7217．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE=13，则EF2的值是18．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；(2)如图②，将长方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至E、F、G、H，使得DE=DC=BG=AB，CF=BC=AH=AD，连接EF、FG、GH、HE．①求证：EF=GH；②若AB=4，BC=3，则图中阴影部分图形的面积为_____．命题7：用勾股定理构造图形解决问题19．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推8m至C处时（即水平距离CD=8m），踏板离地的垂直高度CF=5m，它的绳索始终拉直，则绳索A．10m B．9m C．8m20．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=221．如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m，有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．命题8：求旗杆的高度22．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为1m，则学校教学楼的高度为（）A．11m B．13m C．14m D．15m23．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为24．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1m第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部点B之间的距离，测得距离为5m【解决问题】设旗杆的高度AB为xm(1)用含x的式子表示AC为_____m；(2)请你求出旗杆的高度．命题9：小鸟飞行的距离25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米26．校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞m.27．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．命题10：求大树折断前的高度28．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（

）A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米29．一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是尺．30．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？针对训练：1．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（

）A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或412．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（

）A．36 B．72 C．18 D．1443．如图中字母A所代表的正方形的面积为（

）A．44 B．48 C．56 D．644．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地ABCD，王大伯要从A处到C处去，则沿AC比沿AB→BC少走（

）A．20米 B．30米 C．40米 D．50米5．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺6．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列三个推断：①x2+y2=49；②x+y=8A．0 B．1 C．2 D．37．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则AC8．如图所示，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3.如果S1=100，S29．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC=3、AB=5，则BD=11．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离DE的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即BC=8尺．秋千踏板离地的距离BF和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是尺．12．在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对应的边，∠C=90°(1)已知a=3，b=4，求c的长；(2)已知c=13，b=12，求a的长；13．（1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？（2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AB的中点，过点D作ED⊥AB交AC于点E，求AE的长．15．【合作探究】如图①，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15，过点A作AD⊥BC交BC于点D，求BD的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）设BD=x，则CD=___________（用含x的代数式表示）；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程，并求出x的值；【类比应用】如图①，在△ABC中，AB=15,BC=4,AC=13，求△ABC的面积．16．一辆装满货物的卡车，高2.6m，宽1.6m，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为2m(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．(2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为1.2m、高为2.817．推理能力

如图，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c．若∠C=90°，如图①，根据勾股定理，得a2+b(1)请你类比勾股定理，猜想a2+b2与c2的关系：图②中，a2+(2)说明你在（1）中猜想结论的正确性．(3)在图②中，若c=140m,b=130m18．问题背景如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2问题探究(1)若点P从点A沿AB向终点B移动，点Q从点C沿CD向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm(2)若点P沿着AB→BC移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿CD向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm19．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表．项目背景如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量．测量实物图项目方案测量过程步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度．步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离．步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离．测量示意图各项数据测量项目数据绳子垂到地面多出的部分0.5小丽直立位置距旗杆底端的水平距离6m小丽身高1.5请根据表格所给信息，完成下列问题．(1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系；(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高．20．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内．(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以______为边长的正方形，②是以______为边长的正方形，③是以______为边长的正方形；(2)图乙中①的面积为______，②的面积为______，图丙中③的面积为______；(3)图乙中①②面积之和为______；(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？

勾股定理1探索勾股定理命题1：用勾股定理解三角形…………2命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积………4命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差…………5命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系…………6命题5：勾股定理的证明方法…………8命题6：以弦图为背景的计算题………10命题7：用勾股定理构造图形解决问题…………13命题8：求旗杆的高度………………15命题9：小鸟飞行的距离……………18命题10：求大树折断前的高度……20针对训练………………21命题1：用勾股定理解三角形1．在直角三角形中，若一条直角边长是5，另一条直角边长是12，则斜边长的平方是（

）A．13 B．50 C．125 D．169【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．【详解】解：由勾股定理得，斜边长的平方=5故选：D．2．在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，若a2=2，b2=4，那么A．2 B．6 C．20 D．36【答案】B【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可．【详解】解：根据题意，△ABC为直角三角形，∠C=90°，因此边c为斜边，a、b为直角边，由勾股定理得：a2代入已知条件a2=2，得：c2因此，c2故选：B．3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=4,BC=3，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，则BM的长为【答案】7【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质．连接CM，设BM=x，则AM=4−x，根据MN是AC的垂直平分线，可得AM=CM=4−x，在Rt△MBC【详解】解：如图，连接CM，设BM=x，则AM=4−x，∵MN是AC的垂直平分线，∴AM=CM=4−x，在Rt△MBC中，∠B=90°∴BM即x2解得：x=7∴BM的长为78故答案为：784．若一个直角三角形的一条直角边长为7，其斜边长比另一条直角边长1，求该直角三角形的斜边长．【答案】该直角三角形的斜边长为25【分析】本题主要考查了勾股定理，设另一条直角边为x，则斜边为x+1，由勾股定理得72【详解】解：设另一条直角边为x，则斜边为x+1，由勾股定理得，72解得x=24，∴斜边x+1=25，∴该直角三角形的斜边长为25．命题2：以直角三角形三边为边长的图形面积5．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（

）A．7 B．5 C．25 D．1【答案】A【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵正方体A的面积为3，正方体B的面积为4，∴正方体C的面积=3+4=7，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，是解答此题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC为边作正方形．若AB=5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为【答案】25【分析】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．根据勾股定理进行计算即可．【详解】解：正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为ACRt△ABC中，∠ACB=90°∴AC∵AB=5，∴AC故答案为：25．7．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，以AC为直角边向外作Rt△ACD（∠CAD=90°），分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4．已知S1【答案】S【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将S1，S2，S3，S4分别用含AB，BC，CD，DA的式子表示，再根据勾股定理得出等式【详解】解：∵∠ABC=90°，∠CAD=90°，∴根据勾股定理，得AC∵S1同理可得S2=18∴S1又∵S1=3，S2∴S4命题3：利用勾股定理求两条线段的和或差8．在Rt△ABC中，斜边BC=4，则AB2A．12 B．22 C．32 D．无法计算【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得AB2+A【详解】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC=4∴AB∴AB故选：C．9．在Rt△ABC中，斜边AB=10，则AB2A．100 B．200 C．300 D．400【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．先画图，再利用勾股定理可求BC2+A【详解】解：如图所示，

在Rt△ABC中，A又∵AB=10，∴AB∴AB故选：B．命题4：利用勾股定理证明线段的平方关系10．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，若∠B=90°，则（

）．A．b2=aC．a2=c【答案】A【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．【详解】由题意，画出图形如下：由勾股定理得：b2故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2【答案】20【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AB2+CD2=AD2+BC故答案为：20.【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.12．如图，在△ABC中，∠C=90°,M是BC的中点，MD⊥AB于点D，试说明：AD【答案】见解析【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出AD2=AM2−MD2，MD【详解】解：连接MA．因为MD⊥AB，所以∠ADM=∠BDM=90°，所以AD2=A因为∠C=90°，所以AM因为M为BC中点，所以BM=MC，所以AD命题5：勾股定理的证明方法13．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案．【详解】解：由题意知，3+4=7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理，故选：D．14．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．【答案】勾股定理c2=a2+b2【分析】通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．【详解】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×12ab+c2即（a+b）2=4×12ab+c2化简得a2+b2=c2这个定理称为：勾股定理．故答案为：勾股定理，a2+b2=c2【点睛】本题考查的是勾股定理的几何背景，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．15．如图所示，∠ABC=∠ACE=90°，请你添加适当的辅助线证明结论a2【答案】见解析【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论．【详解】证明：如答图，过点E作ED⊥BC，交BC的延长线于点D，过点A作AF⊥DE，交DE的延长线于点F，则四边形ABDF是长方形．∵∠ABC=∠ACE=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠ECD．又∵∠B=∠D=90°,AC=CE=c，∴△ABC≌△CDEAAS∴CD=AB=b,DE=BC=a，∴S∴a命题6：以弦图为背景的计算题16．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．72【答案】A【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键．【详解】解：4个直角三角形的面积和为81−9=72，∴一个直角三角形的面积为72÷4=18．故选：A．17．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE=13，则EF2的值是【答案】128【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形GEHF的边长为8，然后，在Rt△EGF中，运用勾股定理可得E【详解】解：∵由题意可知，四个直角三角形全等，AE=5，BE=13，∴AG=BE=13，EG=AG−AE=13−5=8，∵同理，可得GF=8，∴在Rt△EGFEF故答案为：128．18．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；(2)如图②，将长方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至E、F、G、H，使得DE=DC=BG=AB，CF=BC=AH=AD，连接EF、FG、GH、HE．①求证：EF=GH；②若AB=4，BC=3，则图中阴影部分图形的面积为_____．【答案】(1)6(2)①证明见解析；②37【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得a−b2=1,a（2）①由SAS可证△HBG≌△FDE，可得EF=GH；②由面积的和差关系可求解．【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，∴a−b2∴ab=12，∴每个朱实的面积=1故答案为：6；（2）①证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC,CD=AB,∠ADC=∠BCF=∠ABC=∠DAB=90°，∴∠EDF=∠GBH=90°，∵DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD，∴DF=BH，∴△HBG≌△FDESAS∴EF=GH；②解：∵AB=4,BC=3，∴DE=DC=BG=AB=4,CF=BC=AH=AD=3，∴阴影部分图形的面积=3×4+2×1故答案为：37．命题7：用勾股定理构造图形解决问题19．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推8m至C处时（即水平距离CD=8m），踏板离地的垂直高度CF=5m，它的绳索始终拉直，则绳索A．10m B．9m C．8m【答案】A【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设AC的长为x，则AB=AC=xm，故AD=AB−BD=x−4m【详解】解：由题意可知，DE=CF=5m，BE=1∴BD=4m设AC的长为xm，则AB=AC=x所以AD=AB−BD=x−4在直角△ADC中，AD2+C解得：x=10，即绳索AC的长是10米．故选：A．20．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2【答案】x【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC的长度为x尺，则AB=AB′=x+0.5【详解】解：设AC的长度为x尺，则AB=AB∵AB⊥B由勾股定理得：AC∴x2故答案为：x221．如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m，有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．【答案】能，理由见解析【分析】设半圆的圆心为O，于是得到OA=12×1.6=0.8（米）．过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C【详解】解：设半圆的圆心为O，OA=1过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C．在Rt△OAB中，由勾股定理可得：A即AB所以AB=0.6米．所以BC=AB+AC=0.6+1=1.6（米）．由于1.6米＞1.5米，所以小货车能通过此桥洞．【点睛】本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．命题8：求旗杆的高度22．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为1m，则学校教学楼的高度为（）A．11m B．13m C．14m D．15m【答案】C【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为x，可得AC=AD=x，AB=x−1m，BC=6m，利用勾股定理可求出【详解】解：如图，设学校教学楼的高度为x，则AD=x，AB=x−1m，左图，根据勾股定理得，绳长的平方=x右图，根据勾股定理得，绳长的平方=x−1∴x2解得：x=14．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．23．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为【答案】17【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=xm，AB=x−2【详解】解：设旗杆高度为xm，过点C作CB⊥AD于B则AC=AD=x在Rt△ABC中，即x−22解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故答案为：17m24．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1m第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部点B之间的距离，测得距离为5m【解决问题】设旗杆的高度AB为xm(1)用含x的式子表示AC为_____m；(2)请你求出旗杆的高度．【答案】(1)x+1(2)12米【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．（1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可；（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为x+1米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】（1）解：∵设旗杆的高度AB为xm，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是∴AC=x+1故答案为：x+1；（2）解：在直角△ABC中，由勾股定理得：BC即52解得x=12．答：旗杆的高度为12米．命题9：小鸟飞行的距离25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图过点B作BC⊥AE于点C，则CE=BD=4米，BC=DE=8米，∴AC=AE−CE=10−4=6米，∴AB=AC∴小鸟至少飞行10米，故选：C．26．校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞m.【答案】13【分析】画出图形如下所示，AB表示高10m的树，DC表示高5m的树，两棵树间距离BC=12m，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于AD的长，利用勾股定理即可得.【详解】根据题意画图如下：其中AB=10m，CD=5m,BC=12m两点间线段最短，所以题目所求即为AD过D作DE⊥AB，交AB于E则AE=AB−BE=5m,ED=BC=12m由勾股定理得AD=故答案为13.【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，以及两点之间线段最短的知识点.27．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．【答案】鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇【分析】此题考查了勾股定理的应用，设CB的长为xm【详解】如答图，设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB=AB，设CB的长为xm，则15解得x=20．答：鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇．命题10：求大树折断前的高度28．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（

）A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度AB为x米，则AC=8−x米，在Rt【详解】解：设折断处离地面的高度AB为x米，则AC=8−x在Rt△ABC中，由勾股定理得：A∴x2解得：x=3，即折断处离地面的高度为3米．故选：A．29．一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是尺．【答案】91【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解.【详解】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理得x2解得x=91故折断处离地面的高度是9120故答案为：9130．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？【答案】木杆断裂处离地面6米．【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为16−x米，由题意得：x2解得x=6．答：木杆断裂处离地面6米．针对训练：1．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（

）A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理；分两种情况，当第三边是斜边时，当第三边是直角边时，结合勾股定理进行计算求解即可．【详解】解：当第三边是斜边时，42当第三边是直角边时，52∴第三边长的平方为9或41，故选：C．2．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（

）A．36 B．72 C．18 D．144【答案】C【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案．【详解】解：一个直角三角形的面积为81−94故选：C．3．如图中字母A所代表的正方形的面积为（

）A．44 B．48 C．56 D．64【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理．根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求解．【详解】解：如图：由勾股定理得CD∴CD∴字母A所代表的正方形的面积为64，故选：D．4．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地ABCD，王大伯要从A处到C处去，则沿AC比沿AB→BC少走（

）A．20米 B．30米 C．40米 D．50米【答案】C【分析】本题考查了长方形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用长方形的直角性质构造直角三角形，通过勾股定理求出对角线长度，进而计算两条路径的距离差．先明确沿AB→BC的路径长度为AB+BC;因长方形ABCD中∠B=90°，△ABC为直角三角形，利用勾股定理求出对角线AC的长度；最后计算两条路径的长度差，即得沿AC比沿AB→BC少走的距离．【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=90°（长方形的四个角都是直角）．沿AB→BC的路径长度为AB+BC,已知AB=60米，BC=80米，∴AB+BC=60+80=140米．在Rt△ABCA代入数值可得：A∴AC=100米（边长为正数）．则沿AC比沿AB→BC少走的距离为140−100=40米．故选：C．5．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形BEFD为长方形，推出BC=4，再设AC=AD=x，在Rt△ABD【详解】解：如图，由题意知：CE=1，DF=5，BD=10，BD⊥AE，DF⊥EF，BE⊥EF．由题意得四边形BEFD为长方形，∴BE=DF=5，又∵CE=1，∴BC=BE−CE=5−1=4．设AC=AD=x，则AB=AC−BC=x−4．在Rt△ABD中，由勾股定理得A∴x解得x=14.5尺，∴绳索的长度为14.5尺．故选：D．6．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列三个推断：①x2+y2=49；②x+y=8A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题．【详解】解：由题知，因为大正方形的面积为49，所以大正方形的边长为7，则由勾股定理得，x2故①正确．因为小正方形的面积为4，所以小正方形的边长为2，则x−y=2．故③正确．∵大正方形面积为49，小正方形面积为4，∴每个直角三角形面积为12∴xy=45∴x+y2所以x+y=94故②错误．故选：C．7．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则AC【答案】34或16【分析】本题主要考查的是利用勾股定理求边长的问题，属于基础问题．在利用勾股定理时一定要注意所求的边为直角边还是斜边．分两种情况进行计算，即AC为斜边和AC为直角边，再根据勾股定理来进行解答即可，【详解】解：当AC为斜边时，根据勾股定理可得：AC当AC为直角边时，根据勾股定理可得：AC故答案为：34或16．8．如图所示，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3.如果S1=100，S2【答案】等腰直角【分析】本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂，通过审题把题目中的条件进行转化，是解题的关键．由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方，由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个等腰直角三角形．【详解】解：∵S1=100，S2∴S1=S2+S3∴AB2+A∴Δ故答案为：等腰直角．9．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．【答案】13【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），答：芦苇长13尺．故答案为：1310．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC=3、AB=5，则BD=【答案】5【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质以及三角形面积等知识，由勾股定理得BC=4，再由角平分线的性质得CD=DM，然后由面积法求出CD=3【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=AB2∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，∴CD=DM，∵S△ABC∴12∴AC⋅BC=AB⋅DM+AC⋅CD，即3×4=5CD+3CD，解得：CD=3∴BD=BC−CD=4−3故答案为：5211．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离DE的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即BC=8尺．秋千踏板离地的距离BF和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是尺．【答案】10【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索AD的长为x尺，根据题意知，可列出关于x的方程，即可求解．【详解】解：由题意可知：CE=BF=5尺，DE=1尺，∴CD=5−1=4（尺），设绳索AD=AB=x尺，则有AC=x−4根据题意得：AC即82解得x=10．即绳索AD的长为10尺．故答案为：10．12．在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对应的边，∠C=90°(1)已知a=3，b=4，求c的长；(2)已知c=13，b=12，求a的长；【答案】(1)c=5(2)a=5【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．（1）利用勾股定理计算c的长；（2）利用勾股定理计算a的长．【详解】（1）解：∵∠C=90°，a=3，b=4，∴c=3（2）解：∵∠C=90°，c=13，b=12，∴a=1313．（1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？（2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理．【答案】（1）10尺；（2）见解析【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2（1）设竹竿长为x尺，根据勾股定理列出方程62（2）用两种方法表示出梯形的面积，然后得出12【详解】（1）解：设竹竿长为x尺，62解得x=10，答：竹竿长10尺．（2）解：梯形的面积为：S梯形或S梯形∴即c2∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AB的中点，过点D作ED⊥AB交AC于点E，求AE的长．【答案】AE=25【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．先连接BE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，然后设AE=x，由勾股定理可得方程x2【详解】解：连接BE，∵D为AB的中点，ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=A设AE=BE=x，则CE=8−x，在Rt△ECB中，C即x2解得：x=25即AE=2515．【合作探究】如图①，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15，过点A作AD⊥BC交BC于点D，求BD的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）设BD=x，则CD=___________（用含x的代数式表示）；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程，并求出x的值；【类比应用】如图①，在△ABC中，AB=15,BC=4,AC=13，求△ABC的面积．【答案】（1）14−x；（2）见解析，x=9；类比应用：24【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．（1）设BD=x，由CD=BC−BD表示出CD；（2）分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到类比应用：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，利用勾股定理解得CD=5，即可求出△ABC的面积．【详解】（1）解：设BD=x，∵BC=14∴CD=BC−BD=14−x故答案为：14−x．（2）由勾股定理，得ADAD故152解得x=9．类比应用：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD即152解得CD=5，所以AD=12，所以S△ABC16．一辆装满货物的卡车，高2.6m，宽1.6m，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为2m(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．(2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为1.2m、高为2.8【答案】(1)能安全通过，理由见解析(2)2.6m【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解.（1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过.（2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度.【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下：如图①，MN为卡车的宽度．过点M,N分别作AB的垂线交半圆于C,D两点，连接CD,OC,OD，过点O作OE⊥CD于点E，则CD=MN=1.6m所以CE=DE=0.8m因为OC=OA=1m所以在Rt△OCE中，由勾股定理，得OE2=O所以CM=2.3+0.6=2.9(m因为2.9>2.6，所以这辆卡车能安全通过桥洞．（2）解：如图②，CE为卡车的宽度，C为道路的中点．过点E作EB⊥AO于点F，交半圆于点B，连接CO,BO，过点B作BG⊥CO，交CO的延长线于点G．根据题意可知，CG=BE=2.8m,BG=OF=1.2m在Rt△OBF中，根据勾股定理，得OB所以OA=OB=1.3m故此桥洞的宽至少应增加到2.6m．17．推理能力

如图，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c．若∠C=90°，如图①，根据勾股定理，得a2+b(1)请你类比勾股定理，猜想a2+b2与c2的关系：图②中，a2+(2)说明你在（1）中猜想结论的正确性．(3)在图②中，若c=140m,b=130m【答案】(1)>，<(2)见解析(3)8400【分析】本题考查勾股定理及应用；（1）根据题目猜想结论即可；（2）作BC边上的高AD，垂足为D，利用勾股定理解答即可；（3）设CD=xm，则BD=150−xm，利用勾股定理求出x【详解】（1）解：图②中，a2+b故答案为：>，<；（2）解：如图①，作BC边上的高AD，垂足为D．设CD=m，则在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理，得b2因为2am>0，所以a2如图②，作AC边上的高BD，垂足为D．设CD=n，则在Rt△ABD和Rt由勾股定理，得c2整理，得a2因为2bn>0，所以a2（3）解：如图①，设CD=xm，则BD=同（2）可得a2因为a=150m