北师大版数学 2.3.1 二次根式的概念及性质（6题型+针对训练） 同步练习 含答案

第二章实数2.3.1二次根式的概念及性质命题1：二次根式的概念与性质…………………1命题2：求二次根式的值…………3命题3：求二次根式中的参数……………………4命题4：二次根式有意义的条件【常考点】……6命题5：利用二次根式的性质化简………………8命题6：化简复合二次根式………10针对训练………………………13命题1：二次根式的概念1．下列各式中，属于二次根式的是（

）A．x+y B．1x C．x D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．形如aa≥0【详解】解：A．x+y是整式，不是二次根式，不符合题意；B．1xC．x是二次根式，符合题意；D．3x故选C．2．下列选项中，是二次根式的是（

）A．4 B．−3 C．35 D．【答案】A【分析】本题考查了二次根式的定义，形如a的代数式叫做二次根式，其中a≥0．根据二次根式定义判断即可．【详解】解：A、4>0，所以4是二次根式，故A选项符合题意．B、−3<0，所以−3不是二次根式，故B选项不符合题意．C、35D、−12<0故选：A．3．有下列各式：①38；②16；③m2−1；④−1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式a(a≥0)，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如a(a≥0)的式子，需满足根指数为【详解】解：38，根指数是316是二次根式．②符合．m2−1：当m2−1，−1<0，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式．12，是整数，不是a(a≥0)综上，只有②是二次根式，共1个，故选：A．4．下列式子是二次根式的是（

）A．a B．a+1 C．3a D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的识别，根据二次根式的定义：形如aa≥0【详解】解：A、当a≥0时，a是二次根式，当a<0时，a没有意义，故该选项不符合题意；B、当a≥−1时，a+1是二次根式，当a<−1时，a+1没有意义，故该选项不符合题意；C、3aD、由于a2+1>0，故故选：D．5．请任意写一个二次根式：．【答案】2（答案不唯一）【分析】本题考查了二次根式的定义，形如aa≥0根据二次根式的定义即可求解．【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为2，故答案为：2（答案不唯一）．命题2：求二次根式的值6．二次根式4的值是（

）A．±2 B．2 C．−2 D．±4【答案】B【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式aa>0表示的是a【详解】解：4故选：B．7．当x=12时，二次根式x−3的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查求二次根式的值，将x=12代入二次根式x−3中，计算被开方数的值，再求其算术平方根．【详解】当x=12时，x−3=故选：C．8．当x=1时，二次根式5−x2的值是【答案】2【分析】本题考查二次根式的求值，将x=1代入二次根式中求解即可．【详解】解：当x=1时，5−x故答案为：2．9．当x=0时，二次根式x+1的值是．【答案】1【分析】将x的值代入计算可得．【详解】解：当x=0时，x+1=故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次根式求值，要懂得将x=0代入计算，能准确化简二次根式是关键．10．当x分别取下列值时，求二次根式5+2x的值．(1)x＝0．(2)x＝2．(3)x＝﹣12【答案】(1)5；(2)3；(3)2；【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；（2）把x的值代入，计算求值即可；（3）把x的值代入，计算求值即可．【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：5+2x＝5+0=（2）解：把x＝2，代入二次根式得：5+2x＝5+2×2＝9＝3；（3）解：把x＝﹣125+2x＝5+2×−【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质a2命题3：求二次根式中的参数11．若24n是整数，则正整数n的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使24n为整数，需满足24n是完全平方数，由24n=26n，即可确定【详解】解：∵24=4×6，∴24=2∴24n=2∵24n是整数，且n是整数，则6n是完全平方数，∴n的最小值为：6．故选：D．12．已知2025−a是正整数，则整数a的最大值为（

）A．2025 B．2024 C．2 D．1【答案】B【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．由题意可得a≤2025，要使2025−a是正整数，即可得出当n最大取2024时，2025−a是正整数．【详解】解：∵2025−a≥0∴a≤2025要使2025−a是正整数，即当a=2024时，2025−2024=1故整数a的最大值为2024．故选：B．13．若a+2=0，则a=【答案】−2【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据0=0【详解】解：∵a+2=0∴a+2=0，解得：a=−2，故答案为：−2．14．当x的值为时，5x−1+4的值最小，这个最小值为【答案】15【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质a≥0【详解】解：∵5x−1≥0∴当5x−1=0时，即x=15，5x−1取最小值此时5x−1+4的值最小，最小值为0+4=4故答案为：15，415．二次根式24a是一个整数，那么正整数a的最小值是．【答案】6【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简后判断6a是个平方数，即可求解．【详解】解：∵24a=2∴6a是一个平方数，∴正整数a的最小值是6，故答案为：6．命题4：二次根式有意义的条件【常考点】16．已知a是二次根式，则a的值可以是（

）A．5 B．−1 C．−3 D．−6【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数可得出答案．【详解】解：a是二次根式，则a的值不能是负数，故A符合题意．故选：A．17．若x−5有意义，则x的值可以是（

）A．−6 B．0 C．4 D．7【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键．【详解】解：由题意得：x−5≥0，解得：x≥5，则x的值可以是7，故选：D．18．若3m−3在实数范围内有意义，则m的取值范围（

A．m≥3 B．m≤3 C．m>3 D．m<3【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求解即可．【详解】解：∵3m−3∴m−3>0，解得m>3，故选：C．19．若二次根式x2+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是【答案】x取任意实数【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．据此列出不等式求解即可．【详解】解：∵当x取任意实数时，都有x2又∵二次根式x2∴x2∴x取任意实数，即x的取值范围是x取任意实数．故答案为：x取任意实数．20．代数式x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【答案】x≥−1【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）是解题的关键．利用二次根式有意义的条件得x+1≥0，求解即可．【详解】解：∵x+1有意义，∴x+1≥0，解得：x≥−1，故答案为：x≥−1．21．若式子2x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【答案】x≥−【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到2x+1≥0，解不等式即可得到答案．【详解】解：由题意可得2x+1≥0，解得x≥−1故答案为：x≥−1命题5：利用二次根式的性质化简22．计算52的结果是（

A．−5 B．5 C．−5 D．【答案】B【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用a2【详解】解：52故选：B．23．计算−22A．−2 B．2 C．−4 D．4【答案】B【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出即可．【详解】解：(−2)故选：B．24．化简：4×9=（

A．2+3 B．2×3 C．4+【答案】B【分析】本题考查二次根式的性质，根据a×b=【详解】解：4×9=故选：B25．化简：3−π2=【答案】π−3/−3+π【分析】本题考查二次根式的化简，根据a2【详解】解：3−π2故答案为：π−3．26．在实数范围内要使a−22=a−2成立，则a的取值范围是【答案】a≥2【分析】本题考查二次根式的化简，根据a2=a(a≥0)【详解】∵(a−2∴a−2≥0，∴a≥2，故答案为：a≥2．27．当1<a<2时，化简代数式(a−2)2【答案】1【分析】根据二次根式的性质得出绝对值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，最后合并即可．【详解】解：∵1<a<2，∴原式=|a−2|+|1−a|=2−a+a−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质解答．28．若−2≤a≤2，化简5−2a2【答案】3−3a【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用a2【详解】解：∵−2≤a≤2，∴5−2a>0，a+2≥0，∴5−2a2故答案为：3−3a．命题6：化简复合二次根式29．已知a+4+a−1=5，则6−2A．3−1 B．3+1 C．5−1【答案】C【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令t=a−1t≥0，得出a=t2+1，代入原式得t【详解】解：令t=a−1∴a=t∴a+4=∴t2移项，两边平方得t2解得：t=2，∴a=2∴6−2a故选：C30．已知a<0，则化简−a3bA．−a−ab B．a−ab C．－aab【答案】A【分析】本题考查了二次根式的性质与化简；由于二次根式的被开方数是非负数，那么−a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a<0【详解】解：∵−a∴−a∴a又∵a<0，∴b≥0，∴−a3b故选：A．31．若a是实数，化简4+23+3A．3+33 B．3 C．3 【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，零指数幂运算法则，绝对值意义，正确应用运算法则是解题关键．根据二次根式性质，二次根式加减运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可．【详解】解：∵a2∴a2∴a2∴4+2====1+=4，故选：D．32．化简：x33y【答案】x【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：原式=x故答案为：x3xy【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．33．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=(2)计算：11+47【答案】(1)m2+3(2)2【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键．（1）根据a+b3（2）根据16−67=m−n72=m【详解】（1）解：∵a+b3∴a=m2+3故答案为：m2+3n（2）解：∵11+47∴m2解得：m=2n=1∴11+47∴11+47∵16−67∴m2解得：m=3n=1∴16−67∴16−67∴11+47针对训练：1．计算：2025=（

A．25 B．35 C．45 D．55【答案】C【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算2025的值即可．【详解】解：2025=45故选：C．2．使二次根式2x−4有意义的x的取值范围是（

）A．x≥2 B．x≤2 C．x>2 D．x<2【答案】A【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得．【详解】解：使二次根式2x−4有意义，则2x−4≥0，解得x≥2，故选：A．3．下列根式中，一定是二次根式的是（

）A．x2−1 B．x2+1 C．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的定义，形如aa≥0【详解】解：A、x2−1不一定是非负数，则B、x2+1≥1>0，则C、38是立方根，3D、−2<0，则−2不是二次根式，故该选项不符合题意；故选：B4．已知24a是整数，a是正整数，a的最小值是（

）A．0 B．3 C．6 D．24【答案】C【分析】因为24a是整数，且24a=26a，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数【详解】解：∵24a=26a，且∴26a是整数，即6a∴a的最小正整数值为6．故选：C．5．当a=−2时，二次根式7−a的值为．【答案】3【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义．将把a=−2代入7−a，再化简即可．【详解】解：把a=−2代入7−a得：原式=7−故答案为：3．6．如果(x−2)2=2−x则x的范围是【答案】x≤2【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质可得x−2≤0，解不等式即可求解．【详解】解：根据题意，得x−2≤0，解得：x≤2．故答案为：x≤2.7．化简3−π+【答案】1【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识．先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据绝对值的定义化简绝对值，最后计算加减即可．【详解】解：3−==π−3+4−π=1，故答案为：1．8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则|a+b|+(a−b)2【答案】−2a【分析】本题考查了数轴上实数的位置与符号的关系、绝对值的性质以及二次根式的性质（x²=x)，解题的关键是根据数轴信息确定a、b的符号及a+b根据数轴知a在原点左侧a<0、b在原点右侧b>0且a>b，由此判断a+b<0（异号两数相加，绝对值大的数的符号为和的符号）、a−b<0（负数减正数结果为负）；利用x2=x将二次根式转化为绝对值，再根据绝对值性质(x<0时x【详解】解：由数轴可知a<0,b>0，且a>∴a+b<0,a−b<0．∵a+b=−a−b²∴原式=−a+b故答案为：−2a．9．已知y=x−3+3−x+8，则【答案】24【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值，最后代入计算即可．【详解】解：∵y=x−3∴x−3≥03−x≥0，解得：x=3∴y=3−3∴xy=3×8=24.故答案为：24．10．若y=2x−5+5−x+2，则【答案】3【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再计算即可．【详解】解：根据题意得x−5≥05−x≥0解得x=5，∴y=2，∴x−y=5−2=3，故答案为：3．11．已知12n是正整数，则满足条件的最小整数n为．【答案】3【分析】先变形得到12n=4×3n，根据题意n必须是3的完全平方数倍，所以最小正整数【详解】解：∵12n=4×3n，而∴最小正整数n为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的化简，一般利用a212．若x、y为实数，且满足24−x+y=x−4，则【答案】2【分析】本题考查二次根式有意义的条件、非负数的性质、求算术平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性，结合二次根式有意义的条件求得x、y值，进而求得x−y即可求解．【详解】解：∵24−x+y=x−4，∴4−x≥0且x−4≥0，∴4−x=x−4=0，解得x=4，将x=4代入24−x+y∴x−y=∴x−y的算术平方根为2．故答案为：2．13．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“S三角形=12×底×高”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：S=14a2b【答案】142/【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵AB=6∴a=5∴S=1故答案为：14214．求使下列各式有意义的字母x的取值范围：(1)3−x；(2)x+3+(3)x−2+【答案】(1)x≤3(2)−3≤x≤8(3)x=2【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可；（2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可