北师大版数学 暑假收心卷01（暑假测试） 新八年级 同步练习 含答案

暑假收心卷01（考试时间：90分钟试卷满分：120分）训练范围：新教材，北师大版八年级上册第一~六章。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．如图，五角星盖住的点的坐标可能为（

）A． B． C． D．3．某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，7位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的5个评分与原始的7个评分相比一定不发生变化的是（

）A．中位数 B．加权平均数 C．算术平均数 D．众数4．二元一次方程组的解是（

）A．x=4y=3 B． C． D．5．下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．6．在粤港澳大湾区科创文化展演中，某表演团队打造了沉浸式无人机方阵灯光秀．某无人机方阵由A、B两种型号组成，每架A型可携带1束烟花，每架B型可携带4束烟花．所有无人机共携带50束烟花，且A型数量是B型数量的2倍．设A型有x架，B型有y架，则下列方程组正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，一次函数与y=cx+d的图象交于点P，下列结论：①b<0；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（

）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤8．如图所示，△ABC中，，于D，若，，则的长度是（

）A．85 B．45 C． D．9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形ABCD的面积为（

）A．25 B．16 C．20 D．2710．如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（）A． B．4052,0 C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：________．12．一次函数y=m−1x+3的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则常数的值是_____．14．如图，在中，，点G是△ABC的重心，如果BC=8，DG=2，那么______．15．某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表：通信公司甲乙丙平均网络速率480网络速率方差4.2已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”）16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点−1,1，第2次接着运动到点−2,0，第3次接着运动到点−3,2，⋯，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点的坐标是__________．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．（1）计算：；（2）解方程组：．18．如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13(1)求证：∠ACB=90°(2)作，D为垂足，求CD的长．19．小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是2,0，书店的坐标是−1,1．(1)请在图中画出平面直角坐标系；(2)小明家的坐标是，学校的坐标是；(3)在图中标出超市−2,−2，水果店的位置．20．如图所示，的图象经过点，与x轴交于点C，并与函数y=−3x的图象交于点Pm,3．(1)求的函数解析式；(2)求C到直线的距离．21．某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱32吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．22．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图．七年级积分：55，58，70，80，80，85，86，88，92，95，97，100；八年级积分：70，72，77，83，86，88，90，91，91，93，94，96．整理得到如下积分统计表：年级平均数中位数众数七年级82.2m80八年级85.9np(1)统计表中_______，______，_______；(2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，请说明理由．23．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题：已知a=12+3∵a=1∴a−2=−3∴a−22∴a2∴2a请你根据小宇的解题过程，解决如下问题：(1)13+(2)化简：12(3)若a=110−324．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值．分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角△ABC和，并使直角边BC和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时,，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”

(1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长AC至，使，连接HD，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得AD的长，的最小值是__________．【模型应用】(2)代数式的最小值是__________．【模型拓展】(3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数x满足，求x的值．

暑假收心卷01（考试时间：90分钟试卷满分：120分）训练范围：新教材，北师大版八年级上册第一~六章。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义：最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即可求解．【详解】解：对选项A，，8含能开得尽方的因数4，故A不是最简二次根式．对选项B，的被开方数22不含分母，分解因数为，无开得尽方的因数，故B是最简二次根式．对选项C，，被开方数含分母，故C不是最简二次根式．对选项D，的被开方数含分母，故D不是最简二次根式．2．如图，五角星盖住的点的坐标可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：由图可知，五角星位于第二象限，∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，∴该点的坐标符号为，A.在第三象限，不符合题意；B.在第四象限，不符合题意；C.在第二象限，符合题意；D.在第一象限，不符合题意．3．某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，7位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的5个评分与原始的7个评分相比一定不发生变化的是（

）A．中位数 B．加权平均数 C．算术平均数 D．众数【答案】A【分析】根据各统计量的定义判断变化情况即可求解．【详解】解：将7个评分从小到大排序，设为，∵原始7个数据的中位数为排序后第4个数，即a4，去掉最高分和最低分后，剩余5个数据排序为，其中位数为第3个数，仍为a4，∴中位数一定不发生变化，加权平均数和算术平均数的总和与数据个数都改变，因此可能发生变化，众数可能因去掉数据后发生改变．4．二元一次方程组的解是（

）A．x=4y=3 B． C． D．【答案】C【分析】先利用代入消元法解方程组，然后根据方程组的解结合各选项即可解答．【详解】解：，将代入中，得，解得，将代入，得y=4，∴方程组的解为．5．下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式加减乘除的计算规则逐一判断选项即可．【详解】解：A.不是同类二次根式，不能求和运算，该选项错误；B.，该选项错误；C.，该选项错误；D.，该选项正确．6．在粤港澳大湾区科创文化展演中，某表演团队打造了沉浸式无人机方阵灯光秀．某无人机方阵由A、B两种型号组成，每架A型可携带1束烟花，每架B型可携带4束烟花．所有无人机共携带50束烟花，且A型数量是B型数量的2倍．设A型有x架，B型有y架，则下列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设A型有x架，B型有y架．∵A型数量是B型数量的倍，∴x=2y．∵每架A型可携带束烟花，每架B型可携带4束烟花，所有无人机共携带束烟花，∴A型共携带x束烟花，B型共携带束烟花，∴．综上可得方程组．7．如图，一次函数与y=cx+d的图象交于点P，下列结论：①b<0；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（

）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤【答案】D【分析】根据一次函数的图象并结合一次函数的性质逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得：一次函数与y轴交于正半轴，则b>0，故①说法错误；一次函数的图象经过第一、二、四象限，则；一次函数y=cx+d的图象经过第一、三、四象限，则，故，②说法正确；当时，一次函数的图象在一次函数y=cx+d的图象的下方，即，故③说法错误；当时，，故④说法正确；一次函数y=cx+d的图象与y轴交于负半轴，即d<0，故，⑤说法正确；综上所述，说法正确的有②④⑤．8．如图所示，△ABC中，，于D，若，，则的长度是（

）A．85 B．45 C． D．【答案】C【分析】先求AC，再利用三角形面积求AD，最后运用勾股定理求CD即可．【详解】解：，，，，，，，．9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形ABCD的面积为（

）A．25 B．16 C．20 D．27【答案】A【分析】由EF是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，求和得结果．【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等，．，．∵单个直角三角形面积为，，∴四个直角三角形总面积．∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，．∴大正方形的面积是25．10．如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（）A． B．4052,0 C． D．【答案】B【分析】根据题意易得半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆的周长都为，然后得出点走完半圆O1所需的时间为，此时点的坐标为，进而问题可求解．【详解】解：由题意可知：半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆的周长都为∵点从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点走完半圆O1所需的时间为，此时点的坐标为，∵，∴第2026秒时，点的坐标是，即为．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：________．【答案】【详解】解：原式．12．一次函数y=m−1x+3的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________【答案】m>1【详解】解：∵一次函数y=m−1对于一次函数，当图象经过第一、二、三象限时，满足k>0且b>0，，不等式恒成立，解不等式，得m>1．13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则常数的值是_____．【答案】6【分析】把两个方程相加得到，进而得到关于a的一元一次方程求解．【详解】解：，①+②得：即，∵，∴，解得a=6．14．如图，在中，，点G是△ABC的重心，如果BC=8，DG=2，那么______．【答案】2【分析】根据重心的性质，可得，再用勾股定理求出AC，进而得到AB即可．【详解】解：∵点G是△ABC的重心，BC=8∴CD=12BC=4,AG=2GD=4，∴AC=A∴AB=A15．某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表：通信公司甲乙丙平均网络速率480网络速率方差4.2已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”）【答案】丙【分析】根据平均网络速率反映速度的快慢，方差反映数据的波动程度，方差越小，稳定性越好，进行判断即可．【详解】解：根据表格数据，∵甲、乙、丙的平均网络速率最快的是乙、丙，但比较乙和丙的网络速率方差：丙的方差更小，稳定性更好，∴应选择的通信公司是丙.16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点−1,1，第2次接着运动到点−2,0，第3次接着运动到点−3,2，⋯，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点的坐标是__________．【答案】−2026,0【分析】由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为−n，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，由2026÷4=506…2，可得动点的坐标是−2026,0．【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点−1,1，第2次接着运动到点−2,0，第3次接着运动到点−3,2，第4次接着运动到点−4,0，第5次接着运动到点−5,1，……∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为−n，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，∵2026÷4=506…2，∴动点的坐标是−2026,0．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．（1）计算：；（2）解方程组：．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及解二元一次方程组．（1）先利用二次根式的性质化简，求立方根，计算二次根式的乘法，最后再计算二次根式的加减运算．（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：（1）原式（2），由②①，得把代入①，得所以原方程组的解为：x=−2y=318．如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13(1)求证：∠ACB=90°(2)作，D为垂足，求CD的长．【答案】(1)证明：∵BC=5,AC=12,AB=13∴BC2∴B∴∠ACB=90°；(2)CD=【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可；（2）根据等面积法得到12【详解】（1）略（2）解：∵∠ACB=90°，∴1∵BC=5,AC=12,AB=13∴CD=6019．小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是2,0，书店的坐标是−1,1．(1)请在图中画出平面直角坐标系；(2)小明家的坐标是，学校的坐标是；(3)在图中标出超市−2,−2，水果店的位置．【答案】(1)见解析(2)，(3)见解析【分析】（1）根据邮局的坐标是2,0，书店的坐标是−1,1画出坐标系即可；（2）根据象限点的坐标特征写出小明家、学校的坐标；（3）在图中标出超市−2,−2，水果店的位置即可．【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示；（2）解：小明家的坐标是，学校的坐标是；（3）解：标出超市与水果店的位置如图所示．20．如图所示，的图象经过点，与x轴交于点C，并与函数y=−3x的图象交于点Pm,3．(1)求的函数解析式；(2)求C到直线的距离．【答案】(1)y=−x+2(2)3【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间距离公式以及点到直线的距离：（1）先求点的坐标，再用待定系数法求解；（2）先求点C的坐标，再计算，利用等面积法求距离．【详解】（1）解：将Pm,3代入y=−3x得−3m=3，解得：，，将P−1,3、代入函数中，得，解得：k=−1b=2的函数解析式y=−x+2．（2）解：令y=0，得−x+2=0，解得：，∴C2,0∴OC=2，．，设C到直线的距离为，，，即，解得：．21．某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱32吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨(2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用8辆A型车，2辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车(3)费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元【分析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）根据一次运送32吨洋葱，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）分别计算两种方案的租车费用，然后比较解答即可.【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，依题意得：2x+y=10x+2y=11解得：x=3y=4答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨；（2）解：依题意得：3a+4b=32，∴a=又∵a，b均为正整数，∴a=4b=5或a=8∴该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用8辆A型车，2辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；（3）解：方案1所需租车费为100×8+120×2=1040（元）；方案2所需租车费为100×4+120×5=1000（元）．∵1040>1000，∴费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元．22．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图．七年级积分：55，58，70，80，80，85，86，88，92，95，97，100；八年级积分：70，72，77，83，86，88，90，91，91，93，94，96．整理得到如下积分统计表：年级平均数中位数众数七年级82.2m80八年级85.9np(1)统计表中_______，______，_______；(2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，请说明理由．【答案】(1)，，；(2)八年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，理由：八年级的箱体比七年级的箱体短．【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可；（2）先求七年级积分的下四分位数、上四分位数，然后补全箱线图，最后比较两个箱线图作出判断即可．【详解】（1）解：七年级的中位数，八年级的中位数，众数；（2）解：七年级的最大值为100，最小值为，上四分位数为，下四分位数为70+802=75，补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图如答图．23．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题：已知a=12+3∵a=1∴a−2=−3∴a−22∴a2∴2a请你根据小宇的解题过程，解决如下问题：(1)13+(2)化简：12(3)若a=110−3【答案】(1)3(2)(3)6【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可；（2）可证明1n+1+n（3）分母有理化得到a=10+3，则可证明a2−6a=1，把所求式子变形为【详解】（1）解：1===3（2）设n为正整数，则1===n+1∴1====14−1=13；（3）解：∵a====10∴a−3=10∴a−32∴a2∴a2∴a===1+5=6．24．【模型建立】“数