北师大版数学 专题03 三角形暑假复习 学案 无答案

专题03三角形内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1判断三边是否能构成三角形题型2判断是否能使两三角形全等题型3利用三边关系化简绝对值题型4根据三角形的中线求解题型5利用三角形的中线、高线、角平分线求解题型6利用全等三角形的性质求解题型7与全等三角形有关的多结论问题题型8全等三角形的判定与性质综合04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.三角形内角和定理及直角三角形的两锐角互余。2.三角形三边关系：两边之和大于第三边。3.重要线段：中线、角平分线、高线。4.全等三角形：判定（SSS、SAS、ASA、AAS）与性质应用。5.全等测距：利用全等解决实际问题。1.强化全等证明规范：从直观判断转向严谨的演绎推理，重点考查判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）的准确选取及证明过程的逻辑层次。2.注重尺规作图融合：新增或强化已知三边、两边及其夹角作三角形，常与全等性质综合考查。3.突出实际情境应用：利用全等三角形测距（如河宽、零件检验）成为应用题热点。4.渗透数学思想：涉及分类讨论（等腰三角形边角不确定）、转化与建模思想。考情解码：根据2026年新教材考情，第四章《三角形》在夯实基础知识的同时，显著强化了逻辑推理与作图能力。核心考查点包括三角形内角和定理及三边关系的实际应用，以及按角度或边长对三角形进行分类。重点聚焦全等三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）与性质的灵活对应，避免“边边角”的错误。高频题型为几何证明的说理填空、利用尺规作三角形，以及结合生活情境（如测量距离）构造全等解决问题。知识点一三角形有关概念1.三角形有关概念：(1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.（2）直角三角形两个锐角互余。(3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；2.三角形基本元素的定理(1)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(2)三角形的内角和等于.3.三角形的分类(1)按边分类可以分为；(2)按角分类可以分为【易错警示】-三边关系：任意两边之和大于第三边，之差小于第三边，判断能否构成三角形时勿只验一组。-高、中线、角平分线：都是线段；钝角三角形的高可能在外部，勿遗漏。-稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有。即时即练1．一个三角形的三边长分别为2，5，x．(1)求x的取值范围；(2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．2．（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则；若，则．（2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则．知识点二全等三角形的性质1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角；2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.画三角形（1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边.【易错警示】-对应：全等则对应边相等、对应角相等，需找准对应顶点，勿错配。-用途：性质用于“已知全等推边角相等”，不可用性质直接证明全等。-注意：周长、面积相等是推论，但面积相等的三角形不一定全等。即时即练如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F．(1)求的长；(2)求的度数．知识点三全等三角形的判定判定方法简记条件三边对应相等SSS三条边分别相等两边及其夹角对应相等SAS两边及夹角分别相等两角及其夹边对应相等ASA两角及夹边分别相等两角及其中一角的对边对应相等AAS两角及一对边分别相等注意：AAA（三角对应相等）只能判定相似，不能判定全等；SSA不能判定全等。【易错警示】-SSA（或ASS）不能判定全等。-AAA不能判定全等，只能判定相似。-对应：判定条件中的边角必须是对应边和对应角，书写顺序要一致。-公共边、公共角、对顶角是隐含条件，勿遗漏。即时即练如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．知识点四利用三角形全等测距离原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河宽等）。常见方案：测量情境构造全等方法池塘宽度SAS（构造对顶角相等）河宽ASA（构造同位角相等）底部不可达的高度AAS或ASA【易错警示】-构造全等：构造时要确保对应边、对应角相等，常用SAS或ASA。-误差：忽略测量误差或工具精度，结果会不准确。-条件：假设不可测点要能通过全等转化为可测线段，注意不能直接用SSA。即时即练王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合．(1)求证：；(2)求两堵木墙之间的距离；(3)求四边形的面积．题型1判断三边是否能构成三角形例1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，例2．下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A． B．C． D．【技巧总结】只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成，排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。【变式训练1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（

）A． B．C． D．【变式训练1-2】以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（

）A． B．C． D．题型2判断是否能使两三角形全等例3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（）A． B．C． D．例4．下列选项所给条件不能画出唯一的是（

）A． B．C． D．【技巧总结】检查已知条件是否符合SSS、SAS、ASA、AAS，注意边角对应位置，SAS中角必须是夹角，SSA不一定全等，可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。【变式训练2-1】如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可）【变式训练2-2】如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中能使的条件是___________．题型3利用三边关系化简绝对值例5．已知a，b，c为三角形的三边，则式子（

）A． B． C．0 D．例6．已知的三边分别为a、b、c，化简：．【技巧总结】1.判正负：根据三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负。2.去绝对：正数直接去，负数变相反数。3.凑两边：将式子重组为(a+b-c)、(a-b-c)等形式，利用三边关系确定符号，再合并化简。【变式训练3-1】若，，分别为三边，化简：．【变式训练3-2】a，b，c为的三边，化简：．题型4根据三角形的中线求解例7．在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____．例8．如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．（1）若，，则的周长与的周长相差_____．（2）若的面积为64，则的面积为_____．【技巧总结】中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。【变式训练4-1】如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________．【变式训练4-2】如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______．题型5利用三角形的中线、高线、角平分线求解例9．如图，AD为的中线，BE为的角平分线．(1)若，求的度数．(2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？例10．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，．(1)若，，求的度数；(2)若的面积为，，求线段的长度．【技巧总结】中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助线构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。【变式训练5-1】如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O．(1)若是中线，，则与的周长差为______．(2)若，是的高，求的度数．【变式训练5-2】数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：(1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．题型6利用全等三角形的性质求解例11．如图，已知，若，则的长为．例12．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．【技巧总结】全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线，通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。【变式训练6-1】如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为．【变式训练6-2】如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当为何值时，与全等．题型7与全等三角形有关的多结论问题例13．如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（

）①与的面积相等；②；③；④A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④例14．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【技巧总结】先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难，利用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。【变式训练7-1】如图，是的中线，E，F分别是，延长线上的点，连接，，且，有下列说法：①；②和面积相等；③；④；⑤.其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练7-2】如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（）A． B． C． D．题型8全等三角形的判定与性质综合例15．如图，，分别是的边，上的高，且，．求证：(1)；(2)．例16．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．【技巧总结】先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。【变式训练8-1】如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点．(1)若，求证：．(2)若，求的长．【变式训练8-2】【问题初探】（1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________；【变式探究】（2）如图②，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长；【拓展应用】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由．1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（

）A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，32．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，3．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（

）A．27.9 B．28.7 C． D．4．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（

）A． B． C．或 D．或5．已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______．6．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________．7．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________．8．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运