北师大版数学 专题4.4 线段上动点问题与角的动态几何问题（挑战压轴题）8个高频考点讲训练 共44题 同步练习 含答案

专题4.4线段上动点问题与角的动态几何问题（挑战压轴题）（8个高频考点训练共44题）同学你好，该套练习针对平面几何图形章节线段上点运动类问题强化巩固复习，数形结合思想是学习几何与代数的能力提升进阶，，该套练习精选全国各地名校真题，模拟题以及期中期末考等练习中常考，易错，高频类等40道习题，难度分层！逐步进阶，跨越式提升计算能力，整体难度中等及偏上，非常适合培优拔尖的同学自学使用。相信该套资料能够帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u高频考点01：线段上动点之定值问题 1高频考点02：线段上动点之计算速度问题 5高频考点03：线段上动点之计算时间问题 8高频考点04：线段上动点之规律探究问题 12高频考点05：角的动态几何之角的数量关系问题 13高频考点06：角的动态几何之角的定值问题 16高频考点07：角的动态几何之与时间相关问题 20高频考点08：角的动态几何之与规律探究问题 25高频考点01：线段上动点之定值问题1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点P是定长线段AB上一定点，点C，D分别从点P，B同时出发以acm/s，bcm/s的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上），其中a、b满足条件：a−1+b−3=0．运动的时间为ts，且点(1)直接写出：a=_____，b=_____；(2)若AB=24cm，请求出AP(3)若点Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQAB(4)若C、D运动5秒后，恰好有AB=2CD，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，问MNAB的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出MN2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段AB=24，动点P从A出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点．(1)当点P在线段AB上运动时，①出发多少秒后，PB=2AM？②试说明2MB−BP为定值；(2)当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值；3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足a+2+

(1)a=______，b=______，c=______．(2)点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当PB=2PO时，点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，求点Q的运动速度；（注：点(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E，F．请问：AB−OPEF的值是否随着时间t4．（22-23七年级上·福建福州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a−8+(1)填空：a=，b=；(2)在线段AB上有一点C，满足AC=12BC(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当t<7时，QP+QAQM5．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求2BM−BP的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．6．（20-21七年级上·广东清远·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒：（1）写出数轴上点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．7．（20-21七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．高频考点02：线段上动点之计算速度问题8．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段AB=27cm，AO=5cm，半径OM=3cm，当点M在AB的上方，且∠MOB=60°时，点M绕着点O以每秒30∘的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段BA向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N9．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备：如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：360度解决问题：如图②，A、B两点相距60厘米，点O在线段AB上且AO=PO=12厘米，角POB=90度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线AB上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线AB上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．

10．如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm．点P从点O出发，沿射线OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．（1）运动10s时，点P与点Q的距离为20cm，求点Q的运动速度；（2）当点Q运动速度为3cm/s时，经过多长时间P，Q两点的距离为70cm？（3）当PA=2PB时，点Q恰巧运动到线段AB的中点，求点Q的运动速度．

11．（18-19七年级上·江西萍乡·期末）线段AB=60厘米．

（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求：①几分钟后，P,Q两点相遇？②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？如图2，AO=PO=8厘米，∠POB=4012．已知线段AB=35cm（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？（3）如图2，AO=4cm，PO=3cm，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转二周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度.高频考点03：线段上动点之计算时间问题13．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长度；(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：①点P恰好为线段CQ的中点？②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）14．如图，C是线段AB上一点，AC=5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s．1求AB的长；2设点P、Q出发时间为ts，①求点P与点Q重合时(未到达点B)，t的值；②直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值．15．已知，数轴上两点A，B表示的数分别是9和-6，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点B运动，运动到点B停止；（1）在数轴上表示出A，B两点，并直接回答：线段AB的长度是；（2）若满足BP=2AP，求点P的运动时间；（3）在点P运动过程中，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，请计算线段MN的长度，并说出线段MN与线段AB的数量关系；（4）若另一动点Q同时从B点出发，运动的速度是每秒2个单位，几秒钟后，线段PQ长度等于5？16．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2（1）如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，则A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；（2）数轴上另有一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q是线段BP的中点．设运动时间为t秒：①当t＝2时，求此时点Q表示的数；②如图2，点P运动至B点右侧，M是线段AQ的中点，若B恰好是QM的中点，求t的值．17．如图，点A、点B是数轴上原点O两侧的两点，其中点A在原点O的左侧，且满足AB=6，OB=2OA.

（1）点A、B在数轴上对应的数分别为______和______.（2）点A、B同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.①经过几秒后，OA=3OB；②点A、B在运动的同时，点P以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点？18．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）线段AB中点表示的数是；（2）若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动了t秒，当点B在点O左边时，OB=，当点B至点O右边时，OB=；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值.19．如图，数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，若a=3，线段OB=5OA（1）a=______，b=______；（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍；（3）数轴上还有一点C表示的数为32，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A，求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4.高频考点04：线段上动点之规律探究问题20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB=6，AC=7，BC=8，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0=3，第一步跳蚤从P0到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从21．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形ABC,AB=6,AC=7,BC=8，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0=3，第一步跳蚤从P0跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从22．（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（）A．4−122020 B．6−12201923．（20-21七年级上·四川成都·期中）数轴上O，A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2O点跳动到的中点A3处、按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6

高频考点05：角的动态几何之角的数量关系问题24．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知锐角∠AOB，点C为平面内一点，OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC．(1)如图1，点C为∠AOB内一点，求证：∠MON=1(2)如图2，点C为∠AOB外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明；(3)当点C在平面内其他位置时，∠MON与∠AOB之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论．25．（24-25七年级上·广西桂林·期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．(1)若∠AOE=140°，∠COD=30°，求∠BOC=；(2)∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由；(3)如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．26．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC=30°时，则∠DOE的度数为____________；(2)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；(3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系____________．27．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）【问题背景】如图，OB在∠AOC内部，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．【问题探究】（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，求∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α,∠BOC=60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．【拓展延伸】如图3，当∠AOB=α,∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？并说明理由．28．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴．【线段计算】（1）如图1，已知线段MN=40cm，AB=4cm，C，D分别是AM，BN的中点，则CD=_______cm；一般地，若线段MN=a，AB=b，C，D分别是【角度计算】（2）如图2，已知∠AOB在∠MON的内部，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．①若∠MON=150°，∠AOB=30°，则②一般地，请你猜想∠AOB，∠COD和【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______．A．转化思想

B．数形结合

C．分类讨论

D．类比思想高频考点06：角的动态几何之角的定值问题29．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方，(1)将图①中三角板绕点O逆时针方向旋转至图②，使边OM在∠BOC内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON大小；(2)将图①中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图③．①如果ON恰好是∠AOC的角平分线，则∠AOM−∠NOC的度数为______；②如果ON始终在∠AOC的内部，∠AOM−∠NOC的度数不会变化，请猜测出∠AOM−∠NOC的度数并说明理由．30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】如图①，把一副三角板拼在一起，边OA，OC在直线EF上，其中∠AOB=45°，（1）填空：∠BOD=°；（2）如图②，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O以每秒4°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒．①当t=2时，∠BOE=°；②当t为何值时，∠BOE=2∠BOD？【拓展延伸】如图③，在（2）的条件下，若OM平分∠BOE，ON平分∠AOD．请问在三角板AOB旋转的过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出∠MON的度数．31．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，∠AOB=90°，以O为顶点，OB为一边作∠BOC，OM，ON分别平分∠AOC与∠BOC．(1)如图1，若射线OC在∠AOB内部，锐角∠BOC=40°，则∠MON=_______°；(2)如图2，若射线OC在∠AOB外部，锐角∠BOC=n°，求∠MON的度数；(3)将问题（2）中“锐角∠BOC=n°”改为“∠BOC为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出∠MON的度数？若能，求出∠MON的度数；若不能，说明理由．32．（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB=90°，∠B=45°，∠D=90°，∠COD=30°．(1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边OC上，则∠BOD=____；(2)将直角三角尺OCD从图1位置绕点O逆时针方向转到图2位置，使OB恰好平分∠COD，求∠AOC的度数；(3)如图3，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，若三角尺OCD在∠AOB内部绕点O任意转动（OC、OD均在∠AOB内部），试判断∠MON的度数是否会发生变化？通过计算说明理由．33．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边OA，OC与直线EF重合，其中∠AOB=45°，∠COD=60°，此时易得∠BOD=75°．(1)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒．①当t=3时，∠BOD=______°；②当t为何值时，∠AOE=4∠BOD？(2)如图3，在（1）的条件下，若OM平分∠BOE，ON平分∠AOD．①当∠AOE=30°时，∠MON=______°；②请问在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出∠MON的度数．34．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）新定义：如图1，已知射线OP在∠MON的内部，图中共有3个角：∠MON，∠MOP和∠PON，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OP是∠MON的“立信线”．(1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”）(2)如图2，若∠MON=60°，射线OP绕点O从ON位置开始．以每秒10°的速度逆时针旋转，当OP与ON首次成180°时停止旋转，设射线OP旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线OP是∠MON的“立信线”；(3)如图3，射线ON为∠POD的“立信线”，且∠DON=2∠NOP．射线OA、OB分别为∠MOP、∠NOD的平分线，请猜想∠AOB、∠NOP、高频考点07：角的动态几何之与时间相关问题35．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，点A为直线MN上一点，AD为射线，∠DAN=50°，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边AB在射线AN上，另一边AC与AD都在直线MN的上方．(1)将三角板绕点A逆时针旋转，若AB恰好平分∠DAN（如图2），则∠CAM=°．(2)将三角板绕点A在直线MN上方逆时针旋转，当AB落在∠DAM内部，且∠BAD=13∠CAM时，则∠CAN=(3)将图1中的三角板和射线AD同时绕点A，分别以每秒8°和每秒3°的速度逆时针旋转一周后停止，求第几秒时，AB恰好与AD在同一直线上？36．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC、OM、ON．ON始终在OM的右侧，∠BOC=120°，∠MON=a．

(1)如图1，当a=65°．OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数：(2)如图2、当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=74°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转α0°<α<180°、使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°(3)当∠MON在直线AB上方时，若a=75°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度0°<n<180°，恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=130°，请直接写出此时n的值．37．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板ABC中，∠B=30°，∠BAC=60°，点A在直线MN上，先将AC边与AM重合，然后将三角板绕着点A按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作△AB′C′，设运动时间为(1)当AB′与AN重合时，(2)当∠B′AN=50°(3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设∠B′AC′=n°，其他条件不变，在∠C′AN的内部作一条射线AP38．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在直线MN上，三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转．当OD第一次与射线OM重合时三角板ODC停止转动，设旋转时间为t秒．(1)当t=2秒时，∠BOC=___________°，∠AOD=___________°，∠AOC=___________°；(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第一次与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动．①射线OA和射线OD重合前，当∠AOD=32∠BOC②整个旋转过程中，当满足∠AOD−∠BOC=5°时，直接写出相应的t39．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图1，点O在直线EF上，点A在直线EF下方，点B在射线OF上，∠AOB=90°，点C在直线EF上方，连接OC，∠COF=α，α为钝角．(1)当α=108°，OA绕点O以每秒9°的速度顺时针进行旋转，旋转时间为t秒．①如图2，当t=6时，∠AOC=°．②若且0<t≤20，是否存在时间t，使得射线OA，OC，OE中的某一条射线是另外两条射线组成的夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．将图1的∠AOB绕点O顺时针旋转，旋转角度小于180°，在旋转过程中，设∠AOC=x，∠EOB=y，试探究α、x、y三者之间的数量关系．高频考点08：角的动态几何之与规律探究问题40．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC,OD，使∠COD=90°，当∠AOC=50°时，∠BOD的度数是．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(ab)n（n(a+b)a+ba+ba+b…当代数式a4+4×3a3+6×941．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在∠AOB内部顺次有一组射线OP1，OP2，…，OPn，满足∠AOP1=12∠AOB，∠P142．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知OC、OD是∠AOB内的两条射线．(1)已知∠AOB=60°，∠COD=28°，∠AOC=∠BOD，那么∠AOC=________．(2)如图2，设∠AOB的度数是x，∠COD的度数是y，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD．①如果x=60°，y=30°，求∠MON的度数．②如图3，作OM1平分∠MOC，ON1平分∠NOD；作OM2平分∠M1OC，ON2平分∠N1OD，按此规律以此类推……作OMn平分43．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力．(1)【特例感知】如图1，已知线段CD在线段AB上运动，线段AB=10cm，CD=2cm，点E、F分别是AC、①在如图1中，若AC=3cm，则EF的长=______cm②小聪发现：保持线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，则EF的长保持不变．小聪理由如下∵E,F分别是AC、BD的中点，∴EC=______AC，DF=______DB，∴EF=EC+CD+DF====∵AB=10cm，CD=2∴EF的长不变；(2)【类比探究】小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知∠COD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF与∠AOB、∠COD有一定的数量关系，说明理由．(3)【知识迁移】如图3，已知∠COD在∠AOB内部转动，将OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD改为分别作出射线OE,OF，若∠AOE=n∠EOC，∠BOF=n∠DOF，直接写出∠EOF与∠AOB、∠COD的数量关系．44．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，∠MOA1的度数是m°，以OA1为一边，在∠MOA1的外部作∠A1OA2=12∠MOA1，接着以OA．1+12nm° B．1−12

专题4.4线段上动点问题与角的动态几何问题（挑战压轴题）（8个高频考点训练共44题）同学你好，该套练习针对平面几何图形章节线段上点运动类问题强化巩固复习，数形结合思想是学习几何与代数的能力提升进阶，，该套练习精选全国各地名校真题，模拟题以及期中期末考等练习中常考，易错，高频类等40道习题，难度分层！逐步进阶，跨越式提升计算能力，整体难度中等及偏上，非常适合培优拔尖的同学自学使用。相信该套资料能够帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u高频考点01：线段上动点之定值问题 1高频考点02：线段上动点之计算速度问题 13高频考点03：线段上动点之计算时间问题 18高频考点04：线段上动点之规律探究问题 27高频考点05：角的动态几何之角的数量关系问题 31高频考点06：角的动态几何之角的定值问题 39高频考点07：角的动态几何之与时间相关问题 48高频考点08：角的动态几何之与规律探究问题 59高频考点01：线段上动点之定值问题1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点P是定长线段AB上一定点，点C，D分别从点P，B同时出发以acm/s，bcm/s的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上），其中a、b满足条件：a−1+b−3=0．运动的时间为ts，且点(1)直接写出：a=_____，b=_____；(2)若AB=24cm，请求出AP(3)若点Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQAB(4)若C、D运动5秒后，恰好有AB=2CD，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，问MNAB的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出MN【答案】(1)1，3(2)AP=6(3)PQAB的值为1(4)不变，MN【思路引导】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键．（1）非负性求出a,b的值即可；（2）根据题意，得到PB−3t=3AP−t（3）分两种情况：当点Q在线段AB上时，当点Q在线段AB的延长线上时，分别求解即可；（4）先求出PC,BD的值，进而求出AB的值，再分两种情况求出MN的值，进而求出MNAB【规范解答】（1）解：∵a−1+∴a−1=0,b−3=0，∴a=1，b=3；（2）由（1）和题意可知：BD=3tcm∵PD=3AC，∴PB−BD=3AP−PC∴PB−3t=3AP−t∴PB=3AP，∴PBAP∴AP=1（3）解：当点Q在线段AB上时，∵AQ−BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，由（2）知：AP=1∴BQ=∴PQ=AB−AP−BQ=1∴PQAB当点Q在线段AB的延长线上时，∵AQ−AP=PQ，∴AQ−BQ=PQ=AB，∴PQAB综上，PQAB的值为1（4）不变；当AB=2CD时，点C停止运动，此时CP=5，BD=3×5=15，由（2）可知，AP=1∴BP=3∴AB=2CP+DP∴AB=40；①如图，当M，N在点P的同侧时

MN=PN−PM==MD−====5②如图，当M，N在点P的异侧时

MN=PM+PN=MD−PD+=MD−====5∴MN当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，∴MNAB2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段AB=24，动点P从A出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点．(1)当点P在线段AB上运动时，①出发多少秒后，PB=2AM？②试说明2MB−BP为定值；(2)当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值；【答案】(1)①出发6秒后，PB=2AM；②见解析(2)①MN长度不变，MN=12；【思路引导】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键．（1）①出发x秒后PB=2AM，则AP=2x，PB=AB−AP=24−2x，AM=x，建立方程，求出x的值即可．②设AM=x，则MB=AB−AM=24−x，PB=AB−AP=24−2x，表示出2BM−BP后，化简即可得出结论．（2）设PA=2x，则AM=PM=x，PB=2x−24，PN=12PB=x−12，分别表示出MN【规范解答】（1）解：①设出发x秒后PB=2AM，则AP=2x，PB=AB−AP=24−2x，∵M为AP中点，∴AM=PM=x∵PB=2AM，∴24−2x=2x，解得：x=6，∴出发6秒后，PB=2AM；②设AM=x，则MB=AB−AM=24−x，PB=AB−AP=24−2x，∴2MB−BP=2(24−x)−(24−2x)=24∴2BM−BP为定值．（2）解：①MN长度不变，MN=12；理由：如图设AP=2x，∵M为AP中点，∴AM=PM=x，BP=AP−AB=2x−24，∵N为BP的中点，∴PN=x−12∴①MN=PM−PN=x−(x−12)=12，长度不变；②MN+PN=x+x−12=2x−12，长度变化；∴①MN长度不变，MN=12．3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足a+2+

(1)a=______，b=______，c=______．(2)点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当PB=2PO时，点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，求点Q的运动速度；（注：点(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E，F．请问：AB−OPEF的值是否随着时间t【答案】(1)−2，1，7(2)点Q的运动速度是487cm(3)不变，值为2【思路引导】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得a，c的值，结合b是最小的正整数，即可得b的值；（2）先求出点Q，此时CQ=8，再进行分类讨论，当点P在OB上时或当点P在AO上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；（3）易得AP=2t，OP=2t−2，根据线段之间的和差关系得EF=AB−AE−BE=52−t【规范解答】（1）解：因为a+2所以a=−2，c=7因为b是最小的正整数，所以b=1；（2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，∴点Q表示的数是−1，此时CQ=7−−1由PB=2PO，可分两种情况：①当点P在OB上时，得OP=1此时AP=AO+OP=2+1∴点P运动的时间为73∴点Q的运动速度=8÷7②当点P在AO上时，得PO=OB=1，此时AP=AO−PO=2−1=1，∴点P的运动时间是1÷2=1∴点Q的运动速度=8÷1综上，点Q的运动速度是487cm/（3）解：不变，理由如下：设运动时间为t秒，此时AP=2t，OP=2t−2，∵点E是AP的中点，∴AE=t，∵点F是OB的中点，OB=1，∴BF=1∴EF=AB−AE−BF=3−t−12=∴AB−OPEF【考点剖析】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．4．（22-23七年级上·福建福州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a−8+(1)填空：a=，b=；(2)在线段AB上有一点C，满足AC=12BC(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当t<7时，QP+QAQM【答案】(1)8，−6(2)10(3)QP+QAQM【思路引导】（1）根据非负数的性质，可得a−8=0,b+6=0，即可求解；（2）先求出AB=14，可得BC=28（3）根据题意可得依题意得：AP=6t,AQ=4t+14,AM=3t，从而得到PQ=AQ−AP=14−2t，QM=AQ−AM=14+t，即可求解．【规范解答】（1）解：∵a−8+∴a−8=0,b+6=0，解得：a=8,b=−6；故答案为：8，−6（2）解：∵a=8,b=−6，∴AB=8−−6∵AC=1∴AB=AC+BC=3∴BC=28∴点C表示的数为−6+28（3）解：QP+QAQM依题意得：AP=6t,AQ=4t+14,AM=3t，∴PQ=AQ−AP=4t+14−6t=14−2t，QM=AQ−AM=4t+14−3t=14+t，∴QP+QAQM∴QP+QAQM【考点剖析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．5．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求2BM−BP的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．【答案】(1)x=6；(2)2BM−BP为定值24；(3)MN=12．【思路引导】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=1【规范解答】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴AM=1PB=AB−AP=24−2x，∵PB=2AM，∴24−2x=2x，解得x=6．（2）解：∵AM=x，BM=24−x，PB=24−2x，∴2BM−BP=224−x即2BM−BP为定值24．（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=1∴MN=PM−PN=x−x−12所以MN的长度无变化是定值．【考点剖析】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．6．（20-21七年级上·广东清远·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒：（1）写出数轴上点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【答案】（1）-6，8−4t；（2）点P运动7秒时追上点Q；（3）线段MN的长度不发生变化，其值为7【思路引导】（1）根据点A表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程4t=2t+14，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，根据中点的定义即可求解．【规范解答】（1）解：∵数轴上点A表示的数为8，且AB=14，∴点B表示的数为−6，点P表示的数为8−4t，故答案为：-6，8−4t；（2）设点P、Q同时出发，点P运动时间t秒追上Q，依题意得，4t=2t+14，解得t=7，∴点P运动7秒时追上点Q；（3）线段MN的长度没有发生变化都等于7；理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=12AP+12BP=12②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP−NP=12AP−12BP=∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．【考点剖析】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．7．（20-21七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5DE的值为定值，且定值为0．【思路引导】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【规范解答】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC，DN=BN=1∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+1=12AC+12CD+12=12(AC+CD+BD)+1=12=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：a+8解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE=BE=12Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC−5DE的值为定值，且定值为0．【考点剖析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．高频考点02：线段上动点之计算速度问题8．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段AB=27cm，AO=5cm，半径OM=3cm，当点M在AB的上方，且∠MOB=60°时，点M绕着点O以每秒30∘的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段BA向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N【答案】1910或【思路引导】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段AB上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可．【规范解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为27−5−3当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为27−5+3综上所述，点N的速度为1910cm/故答案为：1910或259．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备：如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：360度解决问题：如图②，A、B两点相距60厘米，点O在线段AB上且AO=PO=12厘米，角POB=90度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线AB上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线AB上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．

【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟【思路引导】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线AB上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可；（2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可．【规范解答】解：（1）∵∠POB=90°，点P旋转的速度为45度/分钟，∴点P的运动时间为：90度∵点P第一次运动到直线AB上时恰好与点Q相遇，∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为AB−AP=60−24=36厘米，∴点Q的速度为362（2）当点P第二次运动到直线AB上时，点P绕点O顺时针旋转了270°，∴此时点P的运动时间为：270度∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，∴点O的路程为3×6=18厘米．∵点P第二次运动到直线AB上时恰好与点Q相遇，∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为AB−18=42厘米，∴点Q的速度为426【考点剖析】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间．10．如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm．点P从点O出发，沿射线OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．（1）运动10s时，点P与点Q的距离为20cm，求点Q的运动速度；（2）当点Q运动速度为3cm/s时，经过多长时间P，Q两点的距离为70cm？（3）当PA=2PB时，点Q恰巧运动到线段AB的中点，求点Q的运动速度．

【答案】（1）点Q的运动速度6cm/s；（2）经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）点Q点速度为23cm/s或2【思路引导】（1）根据已知条件可得OC点距离为90cm，由点Q运动到点O时停止运动可得P、Q两点在相遇前相距20cm，根据速度=距离÷时间即可得答案；（2）分相遇前相距70cm和点Q到达点O后，点P继续运动，两点相距70cm两种情况，分别求出时间即可；（3）根据点Q为AB中点可求出点Q点运动距离，分点P在线段AB上和在AB的延长线上两种情况，可分别求出点P点运动时间，进而可分别求出点Q点运动速度．【规范解答】（1）∵OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm，∵运动10s，点P点运动速度为1cm/s，∴点P运动点距离为10cm，∵点Q运动到点O时停止运动，∴P、Q两点在相遇前相距20cm，∴（90-20-10×1）÷10=6cm/s，答：点Q的运动速度6cm/s．（2）设运动时间为t秒，①当P、Q两点在相遇前相距70cm时，∵P、Q两点的运动速度分别为1cm/s和3cm/s，∴t+3t=90-70，解得：t=5，②当P、Q两点在相遇后相距70cm时，∴t+3t=90+70，解得：t=40，∵点Q运动到O点时停止运动，点Q的速度为3cm/s，∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm，∴点P继续运动（70-30）÷1=40s，∴t=30+40=70s，∴经过5s或70s两点相距70cm．（3）∵点Q恰巧运动到线段AB的中点，∴BQ=12∴CQ=BC+BQ=40cm，①当点P在线段AB上时，∵PA=2PB，AB=60cm，∴AP=40cm，∴OP=OA+PA=60cm，∴t=60s，∴点Q的速度为40÷60=23

②如图，当点P在AB延长线时，∵PA=2PB，AB=60cm，∴AP=2AB=120cm，∴OP=OA+AP=140cm，∴t=140s，∴点Q速度为40÷140=27

综上所述：点Q点速度为23cm/s或2【考点剖析】本题考查线段的和差关系，熟记距离=速度×时间，灵活运用数形结合点思想时解题关键．11．线段AB=60厘米．

（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求：①几分钟后，P,Q两点相遇？②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？（2）如图2，AO=PO=8厘米，∠POB=40【答案】(1)①6;②4或8;(2)22(厘米/分)【思路引导】(1)①算出P,Q总速度,利用总路程除以总速度即可算出相遇所花费的时间;②先算出两点相距20厘米所需要花费的时间,再在相遇的前后分别讨论出相距20厘米的时间即可．(2)先算出点P在AB线段上所需要的时间,此时AP为18厘米,则PB为44厘米,再利用路程÷时间算出速度即可．【规范解答】(1)①60÷(4+6)=60÷10=6(分)．答:6分钟后,P,Q两点相遇．②20÷(4+6)=20÷10=2(分)．6－2=4(分),6+2=8(分)答:4分钟或8分钟后,P,Q两点相距20厘米．(2)40÷20=2(分),即2分钟后P点在AB直线上．360÷20=18(分),即P点绕一圈需要花费18分钟．由以上可知18分钟后运动早已停止,所以P,Q若要相遇只能在2分钟后．当P点在AB上时,AP=16厘米．PB=60－16=44厘米．44÷2=22(厘米/分)．答:点Q的速度为:22(厘米/分)．【考点剖析】本题考查线段上的动点问题,关键在于熟用速度公式,分类讨论各种情况．12．已知线段AB=35cm（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？（3）如图2，AO=4cm，PO=3cm，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转二周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度.【答案】（1）7秒；（2）5秒或9秒；（3）172cm/s或2.8cm/s或178cm/s或【思路引导】（1）设经过t秒点P、Q两点能相遇，由题意得：P点t秒的运动距离+Q点t秒的运动距离=35cm，根根据题意可得方程；（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解即可；（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．【规范解答】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．依题意，有2t+3t=35，解得：t=7．答：经过7秒钟后，点P、Q相遇；（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得2x+3x+10=35或2x+3x-10=35，解得：x=5或x=9．答：经过5秒钟或9秒钟后，P、Q两点相距10cm；（3）点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为：12030=4秒，120+180设点Q的速度为ycm/s，则有4y=35-1，解得:y=17或10y=35-7，解得y=2.8；或16y=35-1，解得y=17或22y=35-7，解得y=答：点Q的速度为172cm/s或2.8cm/s或178cm/s或【考点剖析】本题主要考查了相遇问题的数量关系在实际问题中的运用，行程问题的数量关系的运用，分类讨论思想的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．高频考点03：线段上动点之计算时间问题13．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长度；(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：①点P恰好为线段CQ的中点？②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）【答案】(1)MN=8厘米(2)MN=(3)①t=265

②t=4【思路引导】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）①分为Q为线段PC的中点和C为线段PQ的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案；②分为C为线段PQ的中点和点Q为线段CP的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【规范解答】（1）解：∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M,N分别是AC,BC的中点,∴CM=12AC=5∴MN=CM+CN=8厘米；（2）∵点M,N分别是AC,BC的中点,∴CM=1∴MN=CM+CN=1（3）解：①当5<t≤163时，P为线段CQ的中点，解得t=26②当0<t≤5时，C是线段PQ的中点，得10−2t=6−t,解得t=4;当163<t≤6时，Q为线段PC解得t=当6<t≤8时，C为线段PQ的中点，2t−10=t−6,解得t=4(舍),综上所述：t=4或1114．如图，C是线段AB上一点，AC=5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s．1求AB的长；2设点P、Q出发时间为ts，①求点P与点Q重合时(未到达点B)，t的值；②直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值．【答案】（1）AB的长为12cm；（2）①t=52；②t=【思路引导】（1）设AB的长，根据题意列出方程，求解即得；（2）①当P，Q重合时，P的路程=Q的路程+5，列出方程式即得；②点P与点Q相距2cm时，分P追上Q前，和追上Q后两种情况，分别列出方程式求解即得．【规范解答】解：(1)设AB=xcm，由题意得(x−5)−解得x=12∴AB的长为12cm，(2)①由题意得3t=t+5解得t=∴t=52时点P与点故答案为：52②P追上Q前，3t+2=t+5,解得t=3P追上Q后，3t-2=t+5,解得t=7综上：t=32或【考点剖析】考查一元一次方程的应用，利用路程=速度×时间的关系式，找到变量之间的等量关系列出方程，求解，注意追及问题分情况讨论的情况．15．已知，数轴上两点A，B表示的数分别是9和-6，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点B运动，运动到点B停止；（1）在数轴上表示出A，B两点，并直接回答：线段AB的长度是；（2）若满足BP=2AP，求点P的运动时间；（3）在点P运动过程中，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，请计算线段MN的长度，并说出线段MN与线段AB的数量关系；（4）若另一动点Q同时从B点出发，运动的速度是每秒2个单位，几秒钟后，线段PQ长度等于5？【答案】（1）15；（2）t=53；（3）MN=1【思路引导】（1）线段AB的长度是指A、B两点之间的距离，据此进一步计算即可；（2）设P运动时间为t，则AP=3t，P表示的数为9−3t，然后进一步求出BP，最后列出方程求解即可；（3）根据点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点得出MP=12AP（4）分两种情况讨论即可：①Q往数轴正方向运动时；②Q往数轴负方向运动时.【规范解答】（1）9−−6故答案为：15；（2）设P运动时间为t秒，则AP=3t，∵BP=2AP，

∴BP=6t，∴3t+6t=15，∴t=5∴点P运动时间为53（3）∵点M为线段AP的中点，∴MP=1∵点N为线段BP的中点，∴NP=1∴MN=MP+NP=12AP+12BP∴MN与线段AB的数量关系为：MN=1（4）①当点Q往数轴正方向运动时，设运动时间为x秒，则Q点表示的数为：−6+2x，P点表示的数为：9−3x，当Q点在P点左侧时，PQ=9−3x+6−2x=15−5x=5，解得x=2；当Q点在P点右侧时，PQ=−6+2x−9+3x=−15+5x=5，解得x=4；②当点Q往数轴负方向运动时，设运动时间为y秒，则Q点表示的数为：−6−2y，P点表示的数为：9−3y，∴PQ=9−3y+6+2y=15−y=5，解得y=10，此时P点不在AB线段上，不符合题意，舍去；综上所述，当运动2秒或4秒时，线段PQ的长度等于5.【考点剖析】本题主要考查了数轴上的动点问题，正确掌握题中动点的运动规律是解题关键.16．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2（1）如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，则A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；（2）数轴上另有一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q是线段BP的中点．设运动时间为t秒：①当t＝2时，求此时点Q表示的数；②如图2，点P运动至B点右侧，M是线段AQ的中点，若B恰好是QM的中点，求t的值．【答案】（1）12；4．（2）①8．②t的值为5．【思路引导】（1）根据点A，B表示的数可求出线段AB的长及线段AB的中点表示的数；（2）①根据点P运动的时间、速度及出发点，可找出当t＝2秒时点P表示的数，结合点Q是线段BP的中点，即可求出点Q表示的数；②当运动时间为t秒时（t＞3），点P表示的数为4t﹣2，点Q表示的数为10+4t−22＝2t+4，点M表示的数为−2+2t+42＝t+1，结合点B恰好是QM的中点，即可得出关于【规范解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣10|＝12，线段AB的中点表示的数为−2+102故答案为：12；4．（2）①当运动时间为2秒时，点P表示的数为4×2﹣2＝6，∵点Q是线段BP的中点，∴点Q表示的数为10+62②12÷4＝3（秒）．当运动时间为t秒时（t＞3），点P表示的数为4t﹣2，点Q表示的数为10+4t−22＝2t+4，点M表示的数为−2+2t+42＝∵点B恰好是QM的中点，∴10＝2t+4+t+12∴t＝5．答：t的值为5．【考点剖析】考核知识点：线段中点计算.理解题意，分析线段的数量关系是关键.17．如图，点A、点B是数轴上原点O两侧的两点，其中点A在原点O的左侧，且满足AB=6，OB=2OA.

（1）点A、B在数轴上对应的数分别为______和______.（2）点A、B同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.①经过几秒后，OA=3OB；②点A、B在运动的同时，点P以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点？【答案】（1）-2和4；（2）①经过107秒或145秒，OA=3OB；②经过25秒或52秒后，点A、【思路引导】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的正负,得到关于a、b的方程，求解即可;(2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可;②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是BP的中点;点B是AP的中点.【规范解答】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b∵AB=6，∴OA+OB=6∴-a+b=6∵OB=2OA.∴b=-2a∴-a+b=6b=-2a∴a=-2∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4故答案为：-2和4；（2）①设t秒后，OA=3OB，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t，故OA=2+t情况一：当点B在点O右侧时，故OB=4-2t∵OA=3OB则2+t=34−2t解得：t=10情况二：当点B在点O左侧时，，故OB=2t-4∵OA=3OB则2+t=32t−4解得：t=14答：经过107秒或145秒，②设经过t秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴上对应的数为t,点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t当点P是AB的中点时，则−2−t+解得：t=2当点B是AP的中点时，则−2−t+t解得：t=5当A点是BP的中点时，则4−2t解得：t=−8（不合题意，舍去）答：经过25秒或52秒后，点A、B、【考点剖析】本题考查了数轴、一元一次方程、线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数.18．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）线段AB中点表示的数是；（2）若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动了t秒，当点B在点O左边时，OB=，当点B至点O右边时，OB=；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值.【答案】（1）−1（2）4−3t，3t−4（3）t的值是0.5,2或8【思路引导】（1）根据A,B两点在数轴上表示的数即可求出线段AB中点表示的数;（2）根据题意，找到OB与点B运动路程之间的关系即可表示出OB的长度;（3）分点O是线段AB的中点，点B是线段OA的中点，点A是线段OB的中点三种情况分别进行讨论即可.【规范解答】解：（1）−4+2故答案为-1；（2）点B在点O左边时，OB=4−3t点B在点O右边时，OB=4−3t故答案为4−3t，3t−4；（3）①当点O是线段AB的中点时，OB=OA4−3t=2+tt=0.5②当点B是线段OA的中点时，OA=2OB2+t=2(3t−4)t=2③当点A是线段OB的中点时，OB=2OA3t−4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5,2或8.【考点剖析】本题主要考查数轴上点的移动及线段的中点，掌握线段的中点的意义是解题的关键.19．如图，数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，若a=3，线段OB=5OA.（1）a=______，b=______；（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍；（3）数轴上还有一点C表示的数为32，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A，求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4.【答案】（1）a=3，b=15；（2）9或92；（3）8或【思路引导】（1）先根据A点在原点的右边以及|a|=3求出a的值，再根据B点在原点的右边以及线段OB=5OA，求出b的值即可；（2）设运动时间为t秒，根据PA=3PB构建方程即可解决问题；（3）分两种情形构建方程，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，|a|=3，线段OB=5OA，∴a=3，b=15，故答案为：3，15；（2）设运动时间为t秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍．由题意得：AB=15-3=12，当点P在A、B之间时，有2t=3（12-2t），解得：t=92当点P在B的右边时，有2t=3（2t-12），解得t=9；即运动时间为92（3）根据题意，由点C为32，则AC=32−3=29，BC=32−15=17，∴点P运动到点C所需要的时间为：t=29点Q运动到点C所需要的时间为：t=17则可分为两种情况进行分析：①当点P还没有追上点Q时，有：t+12−2t=4，解得：t=8；②当点P运动到点C返回时，与点Q相遇后，与点Q相距4，则有：2t+t+12−4=29×2，解得：t=50【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，两点间的距离等知识，关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．高频考点04：线段上动点之规律探究问题20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB=6，AC=7，BC=8，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0=3，第一步跳蚤从P0到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从【答案】4【思路引导】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案．【规范解答】解：∵BC=8,BP∴CP∴CP∵AC=7，∴AP∵AB=6，∴BP∴CP∴AP∴AP∴BP∴BP此时P6与P∵2025÷6=337……3，即P2025与P∴P2025与C之间的距离为8−4=4故答案为：421．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形ABC,AB=6,AC=7,BC=8，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0=3，第一步跳蚤从P0跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从【答案】5【思路引导】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案．【规范解答】解：∵BC=8,BP∴CP∴CP∵AC=7，∴AP∵AB=6，∴BP∴CP∴AP∴AP∴BP∴BP此时P6与P∵2022÷6=337，即P2022与P∴P2022与C之间的距离为8−3=5故答案为：5【考点剖析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键．22．（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（）A．4−122020 B．