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文档简介

第二节复数的几何表示一复平面二复球面由于一个复数是由一对有序的实数唯一确定的,在复平面上,复数与从原点指向点的平面向量一一对应,

因此在建立了平面直角坐标系体与平面上的点成一一对应关系,后,复数的全即复数可以由平面上坐标为点来表示。的此时,轴称为实轴,轴称为虚轴,所在的平面称为复平面。轴两此向一.复平面

的模,记为显然下列各式成立

此时,有

量的长度称为复数即若,则称为在的情况,以正实轴为始边,以向量为终边的角弧度数的幅角,所表示的记为注意,幅角是多值的,那么为整数)当时,的幅角不确定。

由复数的运算法则可知,两个复数的加减法以相应的向量的加减法运算是完全一致的。

在给出的所有幅角中,称满足为幅角的主值,记为

的那个即如果其中的一个为O由定义可知:利用直角坐标与极坐标的关系:表示成形式:复数的这种表示形式称为复数的三角表示式。

01表示点因此有02到点我们可以将复数03的距离。其中利用欧拉公式这种表示形式称为复数的指数表示式。例11)2)解,由于位于第二象限,因此1)复数又表示成:将下列复数化为三角表示式和指数表示式的三角表示式为即指数表示式为2),由于位于第三象限内,且

即的三角表示式,指数表示式为利用公式可以将平面曲线的方程用复数形式表示解,即利用复数模的意义及其等,也可以研究用复数形式所表示的方程到底是一条什么曲线。例3

（1)（2)（3)说明下列方程表示的曲线。例2将方程化为复数形式.既表示联接点解（1)在直角坐标系下,设代入方程和点等距的点的轨迹。在几何上不难看出,此方程表示所有到点直角坐标下的方程:得曲线的线段的垂直平分线,和点距离和到点得曲线的直角坐标下的方程:代入方程设（2)代入方程得曲线的直角坐标下的方程:在直角坐标系下,设（3)的距离之和为8的点的轨迹,既为在几何上不难看出,此方程表示到点2的椭圆。二.复球面我们称为南极,取一个与复平面相切于原点的球面,

除了用复平面上的点表示复数外,我们可以用球面上的点来表示一个复数。通过切点作球面的直径,位于球面上的另一个端点为北极。对于复平面上任意一点作连接北极的直线,交与球面上的一点切点为必对于球面异于北极任意的一点反之,如果我们规定：在复平面内有唯一的一个"无穷远点”，作连接点和点的直线段,其沿长线必交于复平面一点表示复数。因此我们可以用球面上的点来在复平面上没有一点与它对应,但是对于球面上的北极的模无限地增大时,但是从图可以看出,当复数就无限地接近北极点表明,球面异于北极的点和复平面上的点之间存在着一一的对应关系,这因此,球面上的北极对应"无穷远点”。

这样的球面称为复球面。称包括无穷远点的复平面为扩充复平面,复球面可以将无穷远点明显的表示出来。关于无穷远点的运算规定如下:无穷远点的复平面称为有限平面,或复平面。

不包括对于复数来说,它的实部、虚部与幅角都是无意义的

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