《电路分析基础》课件-第5章相量法

电路分析基础目录CATALOG第5章正弦稳态电路

正弦交流电的基本概念正弦量的相量表示法

电路定律的相量形式应用案例

(

，★)

(

，★)——荧光灯照明电路

(

)5.15.25.45.35.1正弦交流电的基本概念稳恒直流电的大小和方向均不随时间变化。u、it0方向不随时间变化，大小随时间变化的直流电称脉动直流电。u、it0大小和方向均随时间变化的电压和电流称为交流电。电量的大小和方向均随时间按正弦规律变化的称正弦交流电。直流电的概念交流电的概念交流或直流：特高压输电的“两条路线”之争

特高压直流输电

（UHVDC）是指±800kV及以上电压等级的直流输电及相关技术。特高压直流输电的主要特点是输送容量大、输电距离远，电压高，可用于电力系统非同步联网。5.1正弦交流电的基本概念正弦交流电的优越性

1．

发电、输电、供电以及耗电基本上都发生在正弦稳态的条件下；交流发电机的构造简单、价格便宜，运行可靠既可以实现远距离输电，又能保证安全用电；可以利用变压器升高或降低，这种变换方式既灵活又经济。5．非正弦周期交流电路可用正弦交流电路的分析方法分析。

.....

2．正弦交流电变化平滑，在正常情况下不会引起过电压而破坏电器的绝缘设备。

3．在一些非用直流电不可的场合，如工业上的电解和电镀等，也可利用整流设备，将交流电转化为直流电。4．正弦函数是周期性函数，对其进行加、减、微分、积分等运算后结果仍然为同频率的正弦量，这就简化了正弦稳态电路的分析计算。正弦量的三要素

_

_+_正半周负半周

由同频正弦激励、线性电阻、线性电容、线性电感和线性受控源组成的的电路称为正弦交流电路。图中虚线箭头代表电流的实际方向；

代表电压的实际方向(极性)。_大小和方向随时间按正弦规律变化的u，i称为正弦量。正弦量u,iRu+_Ru+_正弦量的三要素设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小

幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置波形t

i0TIm包括正弦函数sin或余弦函数cos，本书采用cos形式。正弦量变化的大小(3)有效值：与交流电热效应相同的直流的数值定义为交流电的有效值。也叫幅值：Im、Um最大值必须大写,下标加m。(1)瞬时值：波形t

i0TIm正弦量对应各个时刻的数值。(2)最大值：正弦量变化过程中的正向振幅。RiRI

有效值必须大写

正弦量变化的快慢周期T：变化一周所需的时间(s)角频率ω：(rad/s)频率

f：(Hz)*无线通信频率：

500kHz~300GHz*电网频率：我国50Hz，美国、日本60Hz*高频炉频率：200~300kHZ*中频炉频率：500~8000Hz波形t

i0TIm三者从不同的角度反映了正弦量随时间变化的快慢程度正弦量变化的进程相位、初相位和相位差

相位：波形t

i0TIm

给出了观察正弦波的起点或参考点。

:初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

反映正弦量变化的进程。

tu,iu

iΨuΨiφ0

两个同频正弦量间的相位差规定：|

|

(180°)等于初相位之差则设特殊相位关系：

=0，u与i同相：

=(180o)

，u与i反相：

tu,iu

i0

tu,iu

i0

tu,iu

i0

=

90°，u与i

正交

=/2：u领先i

/2,不说u落后i3

/2；i落后u

/2,不说

i领先u3

/2。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。②不同频率的正弦量比较无意义。两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:例：解：ω=2πf=2×3.14×50rad/s=314rad/s所以i=10cos(314t+60°)

A5-1已知一正弦电流i的Im=10A，f=50Hz，

=60°，求电流i的瞬时值表达式。

tu,iu

iΨuΨiφ0

0 π2πωt

i、uuii、u波形图如图所示。其有效值为i、u的频率为u、i的相位差为：5-2已知正弦电流为A，正弦电压为试分别画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率及相位差。

例：解：应用举例。例：解：应用举例

5-3已知正弦电压，试求：(1)角频率ω、最大值Um和初相位Ψu；(2)在t=0和t=0.001s时，电压的瞬时值；(3)用交流电压表去测量电压时，电压表的读数应为多少？频率f、周期T、(1)

ω=314rad/s，(2)

t=0时，t=0.001s时，

(3)用交流电压表去测量电压时，电压表的读数应为有效值，即，，1.何谓正弦量的三要素？三要素各反映了正弦量的哪些方面？

2.平常我们所说的交流电流多少安培，交流电压多少伏特，是指什么值？3.常用的交流电流表与交流电压表，其读数是指什么值？

4.各种电气设备的绝缘耐压值应该以什么值来考虑？想想练练

斯泰因-梅茨（CharlesProteusSteinmetz，1865年4月9日—1923年10月26日），德裔美国电机工程师、发明家，1892年提出交流电机磁滞损耗公式，次年创立交流电路相量法并进入通用电气公司，参与尼亚加拉瀑布电站发电机建造。设计出1万安电流、10万伏高压发电机，发明避雷器及高压电容器，研究电瞬变现象并开发人工雷电装置，持有近200项专利。5.2正弦量的相量表示法价值引领：一线万金1923年，福特公司有一台大型电机发生故障，技术人员会诊了三个月尚未弄清楚故障原因。福特公司请来了德国专家斯泰因梅茨，他经过研究计算之后，用粉笔在电机上画了一条线，说“打开电机，把画线处的线圈减去16圈。”工作人员依吩咐做，电机果然又重新恢复了运转。事后，他获得了福特公司事先许诺给他的1万美元维修报酬。“画一条线值1美元，知道在哪里画线值9999美元！”“知识就是力量，知识就是财富，知识改变命运”正弦量的表示方法5.2正弦量的相量表示法瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图重点必须小写相量u0注意：相量是正弦量的一种表示方法，它们之间是一一对应关系，

而相量不等于正弦量。1.复数的表示形式代数式指数式极坐标式三角式Re[F]Im[F]复数表示法及运算法则Fab+1j在复平面上用相量表示

几种表示法的关系：或2.复数的运算：(1)加法运算：+1jF1F2F1＋F2

F2F1

F2(2)减法运算：(3)乘法运算：+1jF1F2(4)除法运算：作图方法：首尾相连平行四边形5-4已知F1=8

j6，F2=3+j4。试求：(1)F1

F2；(2)F1

F2；(3)F1×F2；(4)F1/F2。例：解：应用举例(1)F1+F2=(8j6)+(3+j4)=11

j2=11.18/

10.3

(2)F1

F2=(8j6)

(3

j4)=5

j10=11.18/

63.4

(3)F1×F2=(10/

36.9

)×(5/53.1)=50/16.2

(4)F1/F2=(10/36.9

)

(5/53.1)=2/90

1.正弦量的相量表示相量：表示正弦量的复数称相量。设正弦量：电流的有效值相量相量表示：相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角相量表示法

电压的幅值相量(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=(2)只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。(1)只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角或：2.相量图及参考相量

相量图：

把相量表示在复平面的图形。

+1+j

0(3)相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：(2)相量的两种表示形式

相量图：

把相量表示在复平面的图形。

实际应用中，模多采用有效值，符号：如：已知则或相量式：可不画坐标轴3.旋转因子及旋转相量(1)旋转因子(2)旋转相量ω若：有向线段长度=ω有向线段以速度

按逆时针方向旋转则：该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角=初相位i0+1+j00“j”的数学意义和物理意义设相量旋转因子：+j，

–j，

-1都可以看成旋转因子。相量乘以，将顺时针旋转

，得到相量乘以，将逆时针旋转，

得到+1+j0相量表达式为瞬时值表达式为：

应用举例例：解：5-5在图示相量图中，

己知I1=10A，

I2=5A,U=110V，

f=50Hz，试分别写出它们的相量表达式和瞬时值表达式，并说明它们之间的相位关系。超前滞后,。1.同频率正弦量相加减正弦量运算的相量形式故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。i1

i2=i3可得其相量关系为：如：同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm首尾相接

2.正弦量的微分微分运算:

3.正弦量的积分积分运算:(1)把时域问题变为复数问题；(2)把微积分方程的运算变为复数方程运算；(3)可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；应用举例5-6计算例：解：由此可见，正弦量用相量表示，可以使正弦量的运算简化。相量法的优点1.为什么要用相量表示正弦量？

2.相量与正弦函数之间存在什么对应关系？

3.为什么要学习相量？电路的相量是怎么得出来的？4.复数的表示形式有几种？它们之间如何转换？如何进行复数运算？思考回答？5.3电路定律的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式电路中基本元件的相量形式时域形式：相量形式：相量模型R+-UR

u相量关系：

tu

i0

u=

i同相位uR(t)i(t)R+-时域模型有效值关系相位关系UR=RI

u=

i2.电感：时域形式：i(t)u(t)L+-时域模型u超前

i90°i滞后u90°

相量图相量形式：感抗:

XL=L=2fL单位:欧姆U=

LI

u=

i+有效值关系90°相位关系j

L相量模型+-通过线圈的电流为：当f=50kHZ时通过线圈的电流为：可见，电感线圈能有效阻止高频电流通过。应用举例例：5-7一个L=10mH的电感元件，其两端电压为当电源频率为50HZ与50kHZ时，求流过电感元件的电流I。，当f=50HZ时解：相位关系:i超前u90°u滞后i90°3.电容时域模型i

(t)u(t)C+-相量图相量模型+-相量形式：容抗：时域形式：

u=

i有效值关系-90°相位关系4.受控源：对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。ik=0+-+-ukujij+-+-在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用。同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：基尔霍夫定律的相量形式流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。表明应用举例例：解：5-8图示正弦稳态电路中，求电流和电压，并画出电路的相量图。电流为参考相量，即，则ab两端的电压相量为设ab+-j

L由KVL，得根据已知条件：从中解得ab+-j

L1.为什么要用相量表示正弦量？

2.如何理解电容元件的“通交隔直”作用？3.直流情况下，电容的容抗等于多少？容抗与哪些因素有关？

4.电感和电容在直流和交流电路中的作用如何？检验学习结果5.4应用案例：荧光灯照明电路荧光灯照明电路主要由灯管、镇流器、启动器等元件组成，

如图所示。小结：看看记记一、正弦量：包括正弦函数sin和余弦函数cos，本书采用cos形式。1.正弦量的三要素（瞬时值表达式）：

------初相位（角）,度（°）Fm------最大值ω------角频率，rad/s设电流量:i(t)=Imcos(

t+

)Im

ti(t)=Imcos(

t+

)i波形图T0

最大值有效值2.同频率正弦量的相位差：设u(t)=Umcos(

t+

u),i(t)=Imcos(

t+

i)相位差

=(

t+

u)-(

t+

i)=

u-

i3.复数的表示形式及计算：有效值相量：4.最大值相量：jFab+1

单一参数电路中的基本关系二、电路定律的相量形式1.基尔霍夫定律的相量形式：2.电路元件的相量形式VCR关系：希望同学们对正弦量内容予以重视，多做习题才能真正掌握其方法。正弦量内容结束！电路分析基础目录CATALOG第5章正弦稳态电路的分析

（）5.4阻抗和导纳5.5正弦稳态电路的分析5.6正弦稳态电路的功率

5.7功率因数及其提高（）5.8最大功率传输5.9串、并联谐振

（）5.10应用案例—移相器电路（，★）阻抗和导纳5.4阻抗和导纳1.阻抗正弦激励下，对于无独立源线性网络，可定义入端等效阻抗纯电阻Z=R纯电感Z=j

L=jXL纯电容

Z=1/j

C=jXCZ+-无源线性+-欧姆定律的相量形式Z—阻抗(compleximpedance)；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(reactance)(阻抗的虚部)；|Z|—阻抗的模；

—阻抗角(impedanceangle)。

|Z|RX

<0

|Z|RX

>0阻抗三角形(impedancetriangle)2.RLC串联电路LCRuuLuCi-+-+-+-uR+X>0，

>0，电路为感性，u超前i；X<0，

<0，电路为容性，i

超前u；X=0，

=0，电路为阻性,i与u同相。

Z=R+jX=|Z|∠

|Z|=U/I

=

u-

i阻性、感性和容性负载2.导纳Y|Z|RX

阻抗三角形|Y|GB

导纳三角形对于上述的无独立源线性网络，同样可定义入端等效导纳：Y+-无源线性+-明白元件和支路的电压、电流相量关系：元件R：电压与电流同相L：电压超前电流90º

C：电流超前电压90º支路RL支路：电压超前电流

角RC支路：电流超前电压

角3.相量图法关键：选择合适参考相量串联电路以电流为参考相量，并联电路以电压为参考相量。+1相量在复平面上构成的图称为相量图。有效值相量线段的长度对应正弦量的有效值。通常默认水平位置为实轴+1，相量图坐标可省略+j相量与正向实轴之间的夹角对应正弦量的初相。电阻元件u、i同相电感元件u、i正交电容元件u、i正交相量图可直观的描述同一电路中各相量之间的关系相量图及其画法5-2如图所示。已知各并联支路中电流表的读数分别为：第一只为5A，第二只为20A，第三只为25A。求总电流表A的读数。例：解：(1)设并联电压故总电流表A的读数

按相量图法:应用举例

ALC1RA1A2A3C2，把电路的频率提高一倍后，由于不变，而，增大一倍，有：(2)设按相量图法：所以故总电流表A的读数

ALC1RA1A2A3C2小结：画相量图步骤:(1)选取参考相量:串联选电流，并联选电压；(2)写出电压、电流相量关系式；(3)元件和支路的电压、电流相量关系：①元件R：电压与电流同相；L：电压超前电流90º；C：电流超前电压90º。RL：电压超前电流

角；RC：电流超前电压

角。

(4)确定其它电压和电流的相位；

(5)按比例画出其它电压和电流的模长。②感性支路③容性支路1.阻抗串联+

n个阻抗串联电路+

+

+

+

2个阻抗串联阻抗、导纳串联与并联及其等效互换2.阻抗并联n个阻抗并联电路+

2个阻抗并联+

+

1.感抗、容抗和电阻有何相同？有何不同？2.对于n个并联的电路，支路上电流的有效值一定小于总电流的有效值，对吗？并用相量图说明。3.直流情况下，电容的容抗等于多少？容抗与哪些因素有关？

4.在串联电路中，总电压有效值等于各元件电压有效值之和吗？在并联电路中，总电流有效值等于各元件电流有效值之和吗？思考回答5.5正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。

如果解决问题A比较困难，可将问题A变成问题B，问题B解决了，问题A也相应得到解决。比如爱迪生让他的助手测量梨形玻璃泡容积，助手很长时间没有算出来，爱迪生说：“咱们换个思路”，于是他将梨形玻璃泡灌满水，然后对助手说：“去把这里的水倒进量杯看一下容积，那就是我们需要的答案”。此处事例还有中国著名的曹冲称象的故事。

当思维在一个方向受阻时，可以转换一个方向。例如1935年英国政府委托物理学家罗伯特沃森瓦特利用电磁波制造一种“杀人光线”，用来消灭敌人甚至摧毁飞机。瓦特进行了很多实验都失败了，但是他转念一想飞机能否将我们发射过去的电磁波反射回来呢？如果能，岂不是可以及早知道敌机空袭吗？于是瓦特转换了研究方向，终于发明了世界第一台雷达。变换换元机智转换机智转向机智

通过变换事物的某个因素或条件产生新思路，比如把常温常压变为高温高压，石墨就变成了金刚石。一般正弦电流电路的解题步骤：1．据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)：元件用复数阻抗或导纳表示，电压、电流用相量表示；2．根据相量模型列出相量方程式或画相量图；3．将直流电路中的电路定律、电路定理及电路的各种分析方法推广到正弦稳态电路中，建立相量代数方程，用复数符号法或相量图法求解；4．将结果变换成要求的形式。5-3电路如图所示。已知，求：、、。例：解：应用举例

例：5-4电路如图所示,已知超前为。且求R和，解1：应用举例

R_+令，则解2：令为纯实数，则R_+思考回答

1.一般正弦稳态电路的解题步骤是什么？

2.正弦稳态电路和直流稳态电路有何区别和联系？5.6正弦稳态电路的功率无源一端口网络吸收的功率(u,i关联)一、瞬时功率N0+ui_UIcos

恒定分量。UIcos

(2

t－

)为正弦分量。

t

ioupp第一种分解方法：UIcos

(1-cos2t)为不可逆分量。UIsin

sin2

t

为可逆分量。

to第二种分解方法：二、平均功率(有功功率)P【单位:W(瓦)】

=

u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因数。平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cos

有关，这是交流和直流的很大区别，主要由于电压、电流存在相位差。结论

平均功率也就是有功功率，数值上等于瞬时功率在一个周期内的平均值，即：cos

1,纯电阻0,纯电抗在无源网络中，只有电阻元件才消耗平均功率。结论

可见:

1.P是一个常量，由有效值U、I及cos

三者乘积确定；

2.当P＞0时，表示该一端口电路吸收平均功率P；当P＜0时，表示该一端口电路发出平均功率|P|。

3.单一无源元件的平均功率：，始终消耗功率。P>00＜

＜900900＜

＜0

:感性，

:容性。_无功功率反映了“只交换而不消耗”的电路现象。感性设备吸收的无功功率是用来建立磁场的，用QL表示，恒为正值；容性设备吸收的无功功率是用来储存电能建立电场的，用QC表示，恒为负值，整个电路吸收的无功功率为这两部分之“和”，即：2.Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率。1.在无源网络中，只有电感和电容元件才消耗无功功率。结论

三、无功功率Q【单位:var

(乏)】

无功功率与有功功率的区别在于，无功功率是由于电流和电压之间的相位差所引起的。而有功功率则是指在电路中的实际能量转移，通常用于产生实际的功效。用人体打比喻，无功功率好比是一个人空中划船，纯粹是在“摆手”，不需要付出太多实际劳动；有功功率则像是一个人在举重，需要真正投入体力才能完成任务。有功，无功，视在功率的关系：有功功率:P=UIcos=Scos

单位：W无功功率:Q=UIsin

=Ssin

单位：var视在功率:S=UI

单位：VA功率三角形

SPQ四、视在功率S电气设备的容量阻抗三角形

ZRX电压三角形

UURUX电流三角形

IIRIB分析：作出电路的相量图，可见电流相量图为等腰三角形。5-8电路如图所示，已知。解：30°60°应用举例

例：+R_5-9将一电感线圈接至50Hz的交流电源上，测得其端电压为120V，电流为20A，

有功功率为2kW，试求线圈的电感、视在功率、无功功率及功率因数。解：应用举例

例：S=UI=120×20=2400VA五、复功率:用复数表示的功率。3.复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的

复功率之和为零。即：2.把P、Q、S

联系在一起，它的实部是平均功率虚部是无功功率，模是视在功率；复功率的实部是(有功)功率，单位是(瓦)；复功率的虚部是(无功)功率，单位是(乏)。复功率的模对应正弦交流电路的(

视在)功率，单位是(伏·安)。1.是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；填空回答1.无功功率和有功功率有什么区别？能否从字面上把无功功率理解为无用之功？为什么？2.有功功率、无功功率和视在功率满足什么关系？

3.电压、电流相位如何时只吸收有功功率？只吸收无功功率时二者相位又如何？4.阻抗三角形和功率三角形是相量图吗？电压三角形呢？思考回答功率因数当正弦稳态一端口电路内部不含独立源时，二端网络的平均功率P与视在功率S之比，定义为该网络的功率因数cosφ，用希腊字母λ表示。5.7功率因数及其提高一般地，

有：

0

cos

1X<0，

<0，

容性，超前功率因数。X>0，

>0，感性，滞后功率因数。例：

cos

=0.5(滞后)，则

=60o，阻抗呈感性。某感性负载，电压的初相位一定小于电流的初相位，即U滞后于I。)(思考回答感性和容性负载的功率因数P=Scos

S75kVA负载cos

=1,P=S=75kWcos

=0.7,P=0.7S=52.5kW

1.提高功率因数，能提高发电设备的利用率功率因数低带来的问题：设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；设备容量S(额定)向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。此时负载的视在功率已等于变压器的额定容量，变压器再也没有剩余的容量向其他负载供电了。提高功率因数的意义科学用电，从我做起，为实现“双碳”目标贡献一份力量每节约1度（kWh)电减少排放0.272kg碳粉尘减少排放0.997kg二氧化碳习近平总书记指出目标：“中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”2.提高功率因数，能减少线路损耗一般用户：异步电机空载cos

=0.2~0.3

满载

cos

=0.7~0.85日光灯

cos

=0.45~0.6在额定电压下，当输出一定的有功功率时，线路上电流大，I=P/(Ucos

)，线路损耗大。i+-uZ当P，U一定时→I2r↓1.改进自身设备；2.并联电容，提高功率因数。提高功率因数的措施

1PQCQLQ

jXLR+_C例：应用举例

5-10有一台220V，50Hz，100kW的电动机，功率因数为0.8。(1)在使用时，电源提供的电流是多少?无功功率是多少?(2)如欲使功率因数达到0.85，需要并联的电容器电容值是多少?此时电源提供的电流是多少?(2)使功率因数提高到0.85时所需电容容量为此时电源提供的电流解：1.提高功率因数的意义何在？为什么并联电容能提高功率因数？2.提高功率因数的的方法有哪些？检验学习结果3.并联电容器可以提高电路的功率因数，并联电容器的容量越大，功率因数是否被提得越高？为什么？4.会不会使电路的功率因数为负值？是否可以用串联电容器的方法提高功率因数？

5.8最大功率传输

最大