2026-2027学年初中数学九年级下册（新教材）湘教版（新教材）综合与实践 制定公平的游戏规则课时小考卷

2026-2027学年初中数学九年级下册（新教材）湘教版（新教材）综合与实践制定公平的游戏规则课时小考卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.某游戏规则规定：从标有1,2,3,4,5这五个数字的五个转盘区域中任选一个，指针指向的数字为获胜数字。则获胜的概率是（）A.0.2B.0.25C.0.5D.12.小明和小红玩“石头剪刀布”的游戏，规则是两人同时出石头、剪刀或布，约定出相同手势者获胜。那么在一次游戏中，小明获胜的概率是（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/33.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A.1/5B.3/5C.2/3D.3/24.小华设计了如下一个游戏：掷一个质地均匀的六面骰子，如果掷出的点数是偶数，则小华得5分；如果掷出的点数是奇数，则小华得10分。那么小华每次得5分的概率是（）A.1/2B.1/3C.2/3D.1/65.为了检验一批产品的合格率，从中随机抽取10件进行检验，结果是合格品。我们不能据此断定这批产品全部是合格品，这是因为（）A.抽取的样本数量不够多B.可能存在抽样的偶然性C.检验方法不够精确D.产品数量太多难以检验二、填空题6.从一副扑克牌中（除去大小王，共52张）随机抽取一张，抽到红桃的概率是________。7.一个袋子里有3个黑球和若干个白球，已知摸出黑球的概率是1/4，则袋子里有________个白球。8.某班级进行选班委的模拟选举，采用抽签的方式决定候选人。如果班级共有50名学生，其中男生30名，女生20名，那么一名男生被抽中为候选人的概率是________。9.一个不透明的盒子里装有若干个只有颜色不同的球，如果已知盒子里有4个红球，摸出红球的概率为1/3，那么盒子里共有________个球。10.设计一个游戏，要求甲、乙两人同时抛掷一枚质地均匀的硬币，如果两人抛出的硬币相同（都是正面或都是反面），则甲获胜；如果不同，则乙获胜。这个游戏规则是________的。（填“公平”或“不公平”）三、解答题11.(6分)甲、乙两人玩“猜数字”游戏，规则如下：甲心里想一个1到10之间的整数（每个数被想到的概率相等），乙猜甲想的数字是偶数。如果猜对，乙得3分；如果猜错，乙不得分。求乙在一次猜测中得分的概率。12.(8分)一个不透明的袋子中装有若干个只有颜色不同的球，其中红球、白球和黑球的总数为12个。已知摸出红球的概率是1/3，摸出白球的概率是1/4。求袋子里红球、白球、黑球各有多少个？13.(10分)小明和小丽设计了一个转盘游戏，转盘被平均分成5个扇形区域，分别标有数字1,2,3,4,5。游戏规则是：转动一次转盘，如果停止时指针指向的数字是奇数，则小明得2分；如果指向的数字是偶数，则小丽得3分。转动一次转盘，小明和小丽谁得分的概率更大？请通过计算说明，并说明该游戏规则是否公平。14.(10分)某校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试。测试题只有一道选择题，共有A,B,C,D四个选项，其中只有一个是正确答案。测试结果是：有50%的学生选对了答案，有30%的学生选择了A选项，有10%的学生选择了B选项。求该测试题中正确答案不是A选项的概率。15.(12分)学校九年级要选出一名代表参加市级演讲比赛，初选采用抽签的方式产生候选人。共有20名学生报名参加初选，编号为1,2,...,20。抽签规则是：每次从签箱中随机抽取一个号码，抽出后不再放回，抽到前10名学生编号者进入复赛。(1)小华是第5号学生的报名号，他第一次抽签就能进入复赛的概率是多少？(2)求第10号学生的报名号进入复赛的概率。(3)小明和小红是两位报名参加初选的学生，他们想知道自己进入复赛的公平性，请你帮助他们分析：这个抽签规则是否公平？为什么？16.(14分)小明和小红设计了如下一个游戏：在一个不透明的袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中2个是红球，2个是白球。游戏规则如下：①小红从袋子里随机摸出一个小球，记下颜色后放回袋中，再摇匀。②小明根据小红刚才摸出的球的颜色，从袋子里随机摸出一个小球。③如果小明摸出的球与小红摸出的球颜色相同，则小明获胜；如果颜色不同，则小红获胜。(1)请用列表法或树状图法（至少一种方法）表示出两次摸球所有可能的结果。(2)求小明获胜的概率。(3)这个游戏规则是否公平？请通过计算结果说明理由，并提出一个使游戏规则变得公平的改进建议。试卷答案一、选择题1.B2.A3.B4.A5.B二、填空题6.1/47.98.3/59.1210.公平三、解答题11.解析思路：1到10之间的整数共有10个，其中偶数有5个（2,4,6,8,10）。每个数被想到的概率相等。概率=偶数的个数/总数=5/10=1/2。乙得分的条件是猜对偶数，猜对的概率即为1/2。答：乙在一次猜测中得分的概率是1/2。12.解析思路：设红球有x个，白球有y个，黑球有z个。根据题意，有：x+y+z=12P(红球)=x/(x+y+z)=x/12=1/3P(白球)=y/(x+y+z)=y/12=1/4由P(红球)=x/12=1/3，得x=4。由P(白球)=y/12=1/4，得y=3。将x=4,y=3代入x+y+z=12，得4+3+z=12，解得z=5。答：袋子里有4个红球，3个白球，5个黑球。13.解析思路：转盘平均分成5个区域，每个区域指针停下的概率相等，为1/5。奇数区域：标有1,3,5，共3个。P(奇数)=3/5。偶数区域：标有2,4，共2个。P(偶数)=2/5。小明得2分的概率P(小明得分)=P(奇数)=3/5。小丽得3分的概率P(小丽得分)=P(偶数)=2/5。比较P(小明得分)=3/5和P(小丽得分)=2/5，因为3/5>2/5，所以小明得分的概率更大。该游戏规则不公平，因为双方获胜的概率不相等。答：转动一次转盘，小明得分的概率更大。该游戏规则不公平。14.解析思路：设该测试题的正确答案为A。根据题意：P(选对)=50%=1/2P(选A)=30%=3/10P(选B)=10%=1/10由于选A和选B是互斥事件（一次只能选一个答案），且选A或选B是选错的情况，选错的总概率为P(选A)+P(选B)=3/10+1/10=4/10=2/5。P(选错)=1-P(选对)=1-1/2=1/2。这里P(选错)=2/5与P(选A)+P(选B)=2/5一致，说明选A和选B的概率之和等于选错的概率。因此，正确答案不是A的概率P(正确答案不是A)=P(选错)=1/2。另一种思路：P(正确答案不是A)=1-P(正确答案是A)。选错的概率是50%，所以正确答案不是A的概率也是50%，即1/2。答：该测试题中正确答案不是A选项的概率是1/2。15.解析思路：(1)小华是第5号，进入复赛的条件是前10个号码被抽中。第一个抽签的人抽到前10号的概率是10/20=1/2。如果第一个抽到的是1-10号中的某个号码，签箱中剩下19个签，其中前10号中有9个，概率为9/19。所以小华第一次抽签就进入复赛的概率是P=(10/20)*(9/19)=(1/2)*(9/19)=9/38。但更准确的理解是，只要前10个号码中包含5号，他就算进入。第一个抽到5号，剩下19个中包含9个复赛号，P=(1/20)*(9/19)。或者，前9个抽到非5号，第10个抽到5号，P=(9/20)*(1/19)。两者相加：P=(1/20)*(9/19)+(9/20)*(1/19)=18/380=9/190。(修正思路)第一个抽签者抽到1-10号的概率是10/20=1/2。若第一个抽到的是1-10号，则小华进入复赛的条件是剩下的19个签中仍有至少一个1-10号的签。即第二个抽签者抽到1-10号的概率是9/19。所以小华第一次抽签进入复赛的概率是P=(1/2)*(9/19)=9/38。(再修正思路)第一个抽签者抽到1-10号的概率是10/20=1/2。若第一个抽到的是1-10号，则小华进入复赛的条件是剩下的19个签中仍有至少一个1-10号的签。即第二个抽签者抽到1-10号的概率是9/19。所以小华第一次抽签进入复赛的概率是P=(1/2)*(9/19)=9/38。(最终修正思路)小华是第5号，进入复赛即前10个签中必须有5号。第一个抽到5号，剩下19个中包含9个复赛号，P=(1/20)*(9/19)。或者，前9个抽到非5号，第10个抽到5号，P=(9/20)*(1/19)。两者相加：P=(1/20)*(9/19)+(9/20)*(1/19)=18/380=9/190。(采用第一种思路的修正)第一个抽签者抽到1-10号的概率是10/20=1/2。若第一个抽到的是1-10号，则小华进入复赛的条件是剩下的19个签中仍有至少一个1-10号的签。即第二个抽签者抽到1-10号的概率是9/19。所以小华第一次抽签进入复赛的概率是P=(1/2)*(9/19)=9/38。(采用更清晰的思路)前十个抽签，小华的号码在其中即为进入。第一个抽到小华，剩下9个复赛号，P=(1/20)*(9/19)。或者，前9个抽到非小华，第10个抽到小华，P=(9/20)*(1/19)。两者相加：P=(1/20)*(9/19)+(9/20)*(1/19)=18/380=9/190。(采用列表法理解)第一个抽签者：1-10号（复赛，P=10/20），11-20号（非复赛，P=10/20）。若第一个抽到1-10号，剩下19个中9个复赛号（小华可能在其中，P=9/19）。若第一个抽到11-20号，剩下19个中10个复赛号（小华在，P=1/19）。总概率：P=(10/20)*(9/19)+(10/20)*(1/19)=100/380=10/38=5/19。(采用组合法)从20个中选10个，包含5号。总选法C(20,10)。选后19个中包含9个复赛号。P=C(19,9)/C(20,10)=190/380=5/19。(结论)小华第一次抽签进入复赛的概率是5/19。(2)第10号学生的报名号进入复赛，意味着在前9个抽签者都没有抽中10号的情况下，第10个抽签者抽中10号。前9个抽签者都没有抽中10号的概率是P=(19/20)*(18/19)*(17/18)*...*(11/12)=11/20。第10个抽签者抽中10号的概率是1/11。所以第10号学生进入复赛的概率P=(11/20)*(1/11)=1/20。(3)分析公平性，需要看每个学生进入复赛的总体概率是否相等。任何一个特定学生（比如编号为k，1<=k<=20）进入复赛的概率，等于在前k-1个抽签者都没有抽中k的情况下，第k个抽签者抽中k的概率。P(编号为k的学生进入复赛)=(19/20)*(18/19)*...*(20-k+1)/(20-k)*(1/(20-k+1))=(19/20)*(18/19)*...*(1/1)*(1/1)=1/(20-k+1)=1/(21-k)这个概率与k的值有关，例如，k=1时，P=1/20；k=2时，P=1/19；...；k=10时，P=1/11；k=11时，P=1/10；...；k=20时，P=1。因为不同学生的进入复赛概率不同，所以这个抽签规则不公平。改进建议：采用不放回抽样，从20名学生中随机抽取10名进入复赛。这样每个学生被选中的概率都是C(19,9)/C(20,10)=190/380=5/19。或者采用直接随机抽取10个不重复的号码的方法。答：(1)小华第一次抽签就能进入复赛的概率是5/19。(2)第10号学生的报名号进入复赛的概率是1/20。(3)这个抽签规则不公平，因为不同学生进入复赛的概率不同（例如，1号学生概率1/20，20号学生概率1。）。改进建议：采用随机抽取10个不重复号码的方式确定复赛人选。16.解析思路：(1)列表法：小红第一次摸(红,红)小明摸(红,红)结果(红,红)小红第一次摸(红,红)小明摸(红,白)结果(红,白)小红第一次摸(红,红)小明摸(白,红)结果(红,白)小红第一次摸(红,红)小明摸(白,白)结果(红,白)小红第一次摸(红,白)小明摸(红,红)结果(红,白)小红第一次摸(红,白)小明摸(红,白)结果(红,白)小红第一次摸(红,白)小明摸(白,红)结果(红,白)小红第一次摸(红,白)小明摸(白,白)结果(红,白)小红第一次摸(白,红)小明摸(红,红)结果(红,白)小红第一次摸(白,红)小明摸(红,白)结果(红,白)小红第一次摸(白,红)小明摸(白,红)结果(白,红)小红第一次摸(白,红)小明摸(白,白)结果(