2026-2027学年初中数学九年级下册苏科版（新教材）5.4 二次函数与一元二次方程课时同步卷

2026-2027学年初中数学九年级下册苏科版（新教材）5.4二次函数与一元二次方程课时同步卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.二次函数`y=x²-4x+3`的图象与x轴的交点个数是(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个2.如果二次函数`y=ax²+bx+c`的图象与y轴交于点(0,-1)，且图象开口向上，那么(A)a<0,b=0(B)a>0,b=0(C)a<0,b≠0(D)a>0,b≠03.方程`x²-2x+1=0`的根是(A)x=1(B)x=-1(C)x₁=1,x₂=-1(D)x₁=1,x₂=14.若二次函数`y=(m-1)x²-3x+m`的图象的对称轴是直线`x=1`，则`m`的值是(A)2(B)-2(C)4(D)-45.二次函数`y=-2x²+4x-1`的图象的顶点坐标是(A)(1,3)(B)(1,-1)(C)(-1,3)(D)(-1,-1)6.如果关于x的方程`x²+mx+1=0`有两个不相等的负实数根，那么m的取值范围是(A)m>2(B)m<-2(C)m>2或m<-2(D)-2<m<27.二次函数`y=x²-mx+2`的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是(A)m<-2或m>2(B)m=±2(C)-2<m<2(D)m<-2或m>-28.已知二次函数`y=f(x)`的图象的顶点为(2,-3)，且图象与x轴相交，则对应的一元二次方程`f(x)=0`的根的情况是(A)有一个根(B)有两个相等且为负的根(C)有两个不相等的根，且都大于2(D)有两个不相等的根，且一个大于2，一个小于29.若二次函数`y=x²-bx+1`的图象的顶点在直线`y=-x`上，则b的值等于(A)2(B)-2(C)1(D)-110.二次函数`y=-x²+bx+c`的图象经过点(1,0)和(3,-2)，则该函数图象与y轴的交点坐标是(A)(0,1)(B)(0,-1)(C)(0,2)(D)(0,-2)二、多选题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得4分，部分选对但选不全的得2分，有选错的得0分。11.下列说法中，正确的有(A)二次函数`y=ax²+bx+c`的图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程`ax²+bx+c=0`有实数根(B)一元二次方程`ax²+bx+c=0`有两个不相等的实数根，则二次函数`y=ax²+bx+c`的图象与x轴有两个交点(C)二次函数`y=ax²+bx+c`的图象与y轴的交点坐标为(c,0)(D)若二次函数`y=ax²+bx+c`的图象的对称轴是y轴，则`b=0`12.已知二次函数`y=x²-kx+k`的图象经过点(2,3)，则下列结论中正确的有(A)该函数图象的对称轴是`x=1`(B)该函数图象与x轴一定有两个交点(C)当`x<1`时，函数值`y`随`x`的增大而减小(D)该函数图象的顶点在第一象限13.对于二次函数`y=2x²-4x+1`，下列说法中正确的有(A)该函数图象的顶点坐标为(1,-1)(B)该函数图象开口向上(C)当`x=-1`时，函数取得最小值-5(D)不论`x`取何实数，函数值`y`都大于014.如果关于x的方程`x²-mx-2=0`的一个根是`1-√3`，那么(A)方程的另一个根是`1+√3`(B)方程的两个根的倒数和为`-1`(C)二次函数`y=x²-mx-2`的图象与x轴的交点距离为`2√3`(D)二次函数`y=x²-mx-2`的图象的对称轴是`x=1`15.已知二次函数`y=a(x-1)²+4`的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），且对称轴为直线`x=-1`，则(A)`a<0`(B)函数图象的顶点坐标为(1,4)(C)AB的长度为4(D)当`x=0`时，函数值`y`大于0三、解答题：本大题共6小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分6分)已知关于x的方程`x²-(k+1)x+k=0`。(1)若该方程的一个根是`1`，求`k`的值；(2)求证：该方程总有两个实数根。17.(本小题满分7分)已知二次函数`y=x²-2x+m`的图象经过点(3,0)。(1)求`m`的值；(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴方程；(3)x取何值时，函数值`y`随`x`的增大而增大？18.(本小题满分7分)已知二次函数`y=-x²+bx+c`的图象经过点(1,-3)和点(2,-5)。(1)求`b`和`c`的值，并写出该函数的解析式；(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴方程；(3)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标。19.(本小题满分8分)已知二次函数`y=f(x)`的图象的顶点坐标为(2,-1)，且图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），对称轴为直线`x=2`。(1)求关于x的方程`f(x)=0`的根；(2)若`f(x)=k`有一个根是`x=1`，求`k`的值及`f(x)`的解析式。20.(本小题满分9分)设二次函数`y=ax²+bx+c`的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，且与y轴交于点C(0,-3)。(1)求该二次函数的解析式；(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴方程；(3)讨论当`x`取何值时，函数值`y`大于0。21.(本小题满分11分)已知二次函数`y=x²-2mx+m²-1`。(1)求该函数图象的顶点坐标；(2)若该函数图象的对称轴与x轴重合，求m的值及此时函数的解析式；(3)若该函数图象在x轴上方的部分存在，求m的取值范围。试卷答案1.C2.D3.D4.A5.B6.C7.A8.D9.A10.B11.A,D12.A,B,C13.A,B,C14.A,B,C15.A,C,D16.(1)k=1;(2)证明见解析17.(1)m=3;(2)顶点(1,2),对称轴x=1;(3)x>118.(1)b=-4,c=-5,y=-x²-4x-5;(2)顶点(-2,1),对称轴x=-2;(3)(-1,0),(-5,0),(0,-5)19.(1)x₁=1,x₂=3;(2)k=-6,y=-x²-4x+320.(1)y=-x²+4x-3;(2)顶点(2,1),对称轴x=2;(3)1<x<321.(1)(m,m²-1);(2)m=0,y=x²-1;(3)m<-1或m>1解析1.令y=0，得x²-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3，故交点个数为2个。2.函数图象与y轴交点为(0,c)，由题意c=-1。图象开口向上，则a>0。选项中只有D符合a>0且b=0（对称轴x=-b/(2a)=0）。3.方程可化为(x-1)²=0，解得x₁=x₂=1。4.函数图象对称轴为x=-b/(2a)，由题意-(-3)/(2(m-1))=1，解得m=2。5.函数图象顶点坐标为(-b/(2a),-Δ/(4a))，代入得顶点坐标为(1,-1)。6.方程有两个不相等的负实数根，则Δ=b²-4ac>0且根的和(-b/a)<0且根的积(c/a)>0。即b²-4>0且-b>-2且1>0。解得b>2或b<-2，且-b>-2即b<-2。综上，m<-2。结合Δ=b²-4>0得m<-2或m>2。故m>2或m<-2。7.函数图象与x轴没有交点，则Δ=b²-4ac<0。即(-m)²-4(1)(2)<0，m²-8<0，解得-√8<m<√8，即-2√2<m<2√2。结合选项，只有A符合。8.顶点坐标为(2,-3)，说明对称轴为x=2，且图象开口向下(a<0)。图象与x轴相交，说明Δ>0。设交点为(x₁,0),(x₂,0)，则x₁+x₂=4,x₁x₂=-3。根的范围为x₁<2<x₂或x₂<2<x₁，即一个根小于2，一个根大于2。9.顶点坐标为(-b/(2a),-Δ/(4a))，代入得顶点坐标为(b/2,b²/4-1)。由题意b/2=-b，解得b=0。但需注意题干条件，若题意为顶点在直线y=-x上，则b/2=-(b²/4-1)，解得b=2或b=-2。因选项无-2，故b=2。10.将(1,0)代入y=-x²+bx+c得0=-1+b+c，即b+c=1。将(3,-2)代入y=-x²+bx+c得-2=-9+3b+c，即3b+c=7。联立方程组{b+c=1,3b+c=7}，解得b=6,c=-5。故解析式为y=-x²+6x-5。令x=0，得y=-5，故交点坐标为(0,-5)。11.A.函数图象与x轴有交点，说明Δ≥0，则方程有实数根，正确。B.方程有两个不相等的实数根，说明Δ>0，则图象与x轴有两个不同的交点，正确。C.令x=0，得y=c，即交点为(0,c)，正确。D.对称轴为x=-b/(2a)，若对称轴为y轴，则-(-b)/(2a)=0，即b=0，正确。12.将(2,3)代入y=x²-kx+k得3=4-2k+k，解得k=1。故函数为y=x²-x+1。(1)对称轴x=-b/(2a)=-(-1)/(2*1)=1/2，错误。(2)Δ=(-1)²-4(1)(1)=-3<0，图象与x轴无交点，错误。(3)函数开口向上，对称轴x=1/2，当x<1/2时，函数值y随x增大而减小，正确。(4)顶点坐标为(1/2,3/4)，在第一象限，正确。故正确选项为C,D。13.函数为y=2x²-4x+1。(1)顶点坐标为(-b/(2a),-Δ/(4a))，即(-(-4)/(2*2),-((-4)²-4*2*1)/(4*2))=(1,-1)，正确。(2)a=2>0，函数图象开口向上，正确。(3)函数图象开口向上，顶点坐标为(1,-1)，故最小值为-1，当x=1时取得。错误。(4)a=2>0，开口向上，顶点y坐标为-1，故函数值y的最小值为-1，不可能总是大于0。错误。故正确选项为A,B,C。14.方程为x²-mx-2=0。一个根为1-√3。(1)若x₁=1-√3，则x₂=1+√3，正确。(2)根据韦达定理，x₁+x₂=m,x₁x₂=-2。则1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=m/(-2)=-m/2。由x₁x₂=-2得x₂=-2/x₁。则1/x₁+1/x₂=1/(1-√3)+1/(-2/(1-√3))=(1-√3)-(1-√3)/2=1/2。故-m/2=1/2，得m=-1。则方程为x²+x-2=0，解得x₁=-2,x₂=1。故方程的两个根的倒数和为1/(-2)+1/1=-1/2+1=1/2。错误。(3)方程为x²+x-2=0，解得x₁=-2,x₂=1。图象与x轴交点为(-2,0)和(1,0)。AB距离为|1-(-2)|=3。错误。(4)由(2)知m=-1。对称轴x=-b/(2a)=-(-1)/(2*1)=1/2。错误。故正确选项为A。15.函数为y=a(x-1)²+4。(1)图象与x轴交于A、B，且A在B左侧，说明图象开口向下，即a<0，正确。(2)函数图象顶点为(1,4)，错误。(3)对称轴为x=1。图象与x轴交点为A、B。设A(x₁,0),B(x₂,0)，则对称轴x=1是AB中点横坐标，即(x₁+x₂)/2=1，得x₁+x₂=2。AB距离|AB|=|x₂-x₁|=|x₁+(-x₂)|=|x₁-(x₂)|=|x₁-x₂|。由抛物线性质，AB=2√[(顶点纵坐标-0)²+(AB中点横坐标-顶点横坐标)²]=2√[4²+(1-1)²]=2√16=8。错误。(4)顶点为(1,4)，对称轴为x=1。当x=0时，y=a(0-1)²+4=a+4。因a<0，故a+4<4。函数值y不一定大于0。错误。故正确选项为A。16.(1)将x=1代入方程x²-(k+1)x+k=0得1-(k+1)*1+k=0，即1-k-1+k=0，1=0，矛盾。故此方程不可能有根x=1。或解方程x²-(k+1)x+k=0得(x-1)(x-k)=0，解得x=1或x=k。若一个根是1，则k=1。需检验k=1时方程是否成立。将k=1代入得x²-2x+1=0，即(x-1)²=0，解得x=1。成立。故k=1。(2)方程x²-(k+1)x+k=0的判别式Δ=(k+1)²-4k=k²+2k+1-4k=k²-2k+1=(k-1)²。因为(k-1)²≥0对所有实数k恒成立，所以Δ≥0。根据根的判别式定理，当Δ≥0时，方程总有两个实数根。17.(1)将点(3,0)代入y=x²-2x+m得0=3²-2*3+m，即0=9-6+m，解得m=-3。(2)由(1)知函数为y=x²-2x-3。配方得y=(x-1)²-4。顶点坐标为(1,-4)。对称轴为x=1。(3)函数图象开口向上，对称轴为x=1。当x>1时，函数值y随x增大而增大。18.(1)将点(1,-3)代入y=-x²+bx+c得-3=-(1)²+b(1)+c，即-3=-1+b+c，得b+c=-2。将点(2,-5)代入y=-x²+bx+c得-5=-(2)²+b(2)+c，即-5=-4+2b+c，得2b+c=-1。联立方程组{b+c=-2,2b+c=-1}，解得b=-1,c=-1。故解析式为y=-x²-x-1。检验：将b=-1,c=-1代入点(1,-3)得-1-1-1=-3，符合。代入点(2,-5)得-4-2-1=-5，符合。(2)由y=-x²-x-1配方得y=-(x+1/2)²+3/4。顶点坐标为(-1/2,3/4)。对称轴为x=-1/2。(3)令y=0，得-x²-x-1=0，即x²+x+1=0。判别式Δ=1²-4*1*1=-3<0，方程无实数根。故图象与x轴无交点。令x=0，得y=-0²-0-1=-1。故图象与y轴交点为(0,-1)。19.(1)对称轴为x=2，图象与x轴相交于A、B两点，且A在B左侧。则两根为x₁=1,x₂=3。(2)若f(x)=k有一个根是x=1，则k=f(1)。因顶点为(2,-1)，对称轴为x=2，故f(2)=-1。图象关于x=2对称，故f(1)=f(3)。所以k=f(1)=f(3)=-1。设f(x)=a(x-2)²-1。因图象与x轴交于(1,0)和(3,0)，代入得0=a(1-2)²-1，即0=a-1，得a=1。故f(x)=(x-2)²-1=x²-4x+3。(3)由(2)知f(x)=x²-4x+3。令y=0，得x²-4x+3=0，即(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。故图象与x轴交点为(1,0),(3,0)。AB距离为|3-1|=2。或利用顶点，AB=2√[顶点纵坐标²+(AB中点横坐标-顶点横坐标)²]=2√[(-1)²+(2-2)²]=2√1=2。20.(1)设函数为y=ax²+bx+c。由题意得三个点的坐标：A(1,0),B(3,0),C(0,-3)。将A代入得a(1)²+b(1)+c=0，即a