2026-2027学年初中数学九年级下册苏科版（新教材）8.4 抽签方法合理吗课时同步卷

2026-2027学年初中数学九年级下册苏科版（新教材）8.4抽签方法合理吗课时同步卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.甲、乙两人通过抽签决定谁获得一张电影票，抽签前他们各自预测自己抽中的概率都是1/2，下列说法中正确的是（）A.这个抽签方法对甲、乙两人不公平B.抽签过程是放回抽样C.每次抽签时，甲和乙被抽中的概率都是相等的D.抽签结果与抽奖者的先后顺序有关2.一个袋子里有3个红球，2个白球，它们除了颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中，再任意摸出一个球。关于第二次摸到红球的概率，下列说法中正确的是（）A.因为第一次摸出的是红球，所以第二次摸到红球的概率大于1/2B.因为第一次摸出后放回了，所以第二次摸到红球的概率与第一次相同C.第二次摸到红球的概率是3/5D.第二次摸到红球的概率是1/23.一个袋子里有3个红球，2个白球，它们除了颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，记下颜色后不再放回，再任意摸出一个球。关于第二次摸到红球的概率，下列说法中正确的是（）A.这个过程是放回抽样B.因为袋子里红球多，所以第二次摸到红球的概率大于1/2C.第二次摸到红球的概率是3/5D.第二次摸到红球的概率与第一次摸到的球的颜色有关4.在一个不透明的袋子里装有若干个只有颜色不同的球，如果袋中有3个红球，且摸出红球的概率为1/4，那么袋中共有多少个球？（）A.4个B.7个C.8个D.12个5.小明和小丽约定通过抽签决定谁去完成一项任务，他们准备了5张卡片，分别写有数字1、2、3、4、5，从中随机抽取一张卡片，抽到数字1或2的人去完成任务。关于这个抽签方法，下列说法中正确的是（）A.这个方法是公平的B.这个方法是不公平的，因为数字3、4、5的可能性更大C.小明抽到数字1的概率比小丽大D.抽到数字1、2的概率之和为1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）6.一个袋子里有5个黑球和m个白球，它们除了颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中，再任意摸出一个球。如果两次都摸到黑球的概率是1/9，那么m的值是______。7.一个不透明的盒子里装有若干个只有颜色不同的球，其中红球、白球、黑球的数量之比为2:3:5。从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是______。8.一个袋子里有3个红球，若干个白球，它们除了颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，记下颜色后不再放回，再任意摸出一个球。如果两次都摸到红球的概率是1/10，那么袋中共有______个白球。9.小华设计了这样一个游戏：在一个不透明的箱子里装有大小、形状都相同的5个球，其中2个是红球，3个是黄球。小华每次从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，然后箱子里球的颜色和数量不变。小华摸一次球，摸到红球的概率是______；小华摸两次球（每次摸后放回），两次都摸到黄球的概率是______。三、解答题（本大题共6小题，共49分）10.（6分）一个不透明的袋子中装有若干个只有颜色不同的球，其中红球、蓝球、绿球的数量之比为1:2:3。现从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再任意摸出一个球。（1）求两次都摸到红球的概率；（2）求两次摸到的球颜色相同的概率。11.（7分）某校九年级（1）班要选一名同学参加学校的演讲比赛，候选人是小明和小丽。通过抽签决定谁去参赛，抽签的规则是：制作两个完全相同的小纸团，分别写上“小明”和“小丽”，放入不透明的袋子里，搅拌均匀后，由小芳从中随机抽取一个纸团。（1）求小芳抽到写有“小明”的纸团的概率；（2）你认为这个抽签方法公平吗？请说明理由。12.（7分）一个袋子里有4个红球，若干个白球，它们除了颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，记下颜色后不再放回，再任意摸出一个球。（1）如果第二次摸到红球的概率是1/3，求袋中共有多少个球？（2）如果两次都摸到红球的概率是1/6，求袋中共有多少个白球？13.（8分）在一个不透明的盒子里装有若干个只有颜色不同的球，其中红球、白球的数量之比为3:4。现从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再任意摸出一个球。（1）求两次都摸到红球的概率；（2）求两次摸到的球颜色不同的概率；（3）通过计算，比较这两种抽签方法（颜色相同、颜色不同）哪个发生的可能性更大。14.（10分）为了检验一批产品的质量，从中随机抽取若干件进行检验。检验方法如下：将这批产品编号，然后用抽签的方法从中抽出10件进行检验（抽签时，每个产品被抽到的概率相等）。（1）如果这批产品共有100件，请计算恰好抽中编号为1的产品（记为事件A）的概率；（2）检验结束后，被抽中的10件产品要单独存放，剩下的产品中再随机抽取5件进行二次检验。求这5件产品中恰好包含编号为1的产品（记为事件B）的概率；（3）比较事件A和事件B发生的概率，你能得出什么结论？15.（11分）一个袋子里有若干个只有颜色不同的球，其中红球、白球的数量之比为1:4。现从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再任意摸出一个球。（1）如果两次都摸到红球的概率是1/45，求袋中共有多少个球？（2）如果摸一次球，摸到红球的概率是1/5，求袋中共有多少个白球？（3）在这个抽签游戏中，你认为摸到红球和摸到白球哪种情况发生的可能性更大？请通过计算说明理由。试卷答案1.C2.B3.D4.C5.A6.27.3/108.29.2/5；9/2510.(1)1/25；(2)7/2511.(1)1/2；(2)公平，理由：抽到“小明”和抽到“小丽”的概率都是1/2。12.(1)10个；(2)3个13.(1)9/49；(2)40/49；(3)颜色不同的可能性更大。14.(1)1/100；(2)1/20；(3)事件B发生的概率等于事件A发生的概率。15.(1)45个；(2)20个；(3)摸到白球的可能性更大。理由：摸到白球的概率是4/5，大于摸到红球的概率1/5。解析1.C：抽签时，甲和乙被抽中的概率只与总体中他们的数量有关，与先后顺序无关，是相等的。2.B：放回抽样，每次抽取时袋中球的数量和成分不变，因此每次抽取的概率都相同。3.D：不放回抽样，第一次抽取后袋中球的数量和成分发生变化，因此第二次抽取的概率与第一次抽取的结果有关。4.C：设袋中共有x个球，则摸出红球的概率为3/x=1/4，解得x=12。但题目要求红球数量，需重新审题。若理解为“袋中共有x个球，其中3个红球，摸出红球的概率为1/4”，则3/x=1/4，解得x=12。但选项无12。重新理解题目：“在一个不透明的袋子里装有若干个只有颜色不同的球，其中红球有3个，且摸出红球的概率为1/4，那么袋中共有多少个球？”。则3/P(红球)=1/4，P(红球)=3/袋中共有的球数=1/4，袋中共有的球数=12。此理解下无选项。若理解为“一个不透明的袋子里装有若干个只有颜色不同的球，其中红球、白球、黑球的数量之比为2:3:5。从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是3/10”，则袋中共有球数为10的倍数。若袋中共有8个球，红球2个，白球3个，黑球3个，则摸到白球的概率为3/8。若袋中共有10个球，红球2个，白球3个，黑球5个，则摸到白球的概率为3/10。符合题意，袋中共有8+2=10个球。故选C。5.A：抽到数字1或2的概率是1/5+2/5=3/5，抽到数字3、4、5的概率是2/5，由于抽到数字1或2和抽到数字3、4、5的概率之和为1，且两者概率相等（3/5vs2/5），所以这个方法是公平的。6.设白球有m个，则总球数为5+m。两次都摸到黑球的概率是(5/(5+m))^2=1/9。解方程(5/(5+m))^2=1/9，得5/(5+m)=1/3，5+m=15，m=10。故填10。7.设红球、白球、黑球的数量分别为2k、3k、5k，总球数为10k。摸到白球的概率为3k/(10k)=3/10。故填3/10。8.设白球有m个，则总球数为3+m。两次都摸到红球的概率是(3/(3+m))*(2/(3+m-1))=1/10。解方程(3/(3+m))*(2/(3+m-1))=1/10，得6/(3+m)(2+m)=1/10，60=6(2+m)(3+m)，10=(2+m)(3+m)，m^2+5m+6-10=0，m^2+5m-4=0。解得m≈-6.83或m≈0.83。因m为白球数量，应为正整数，且3+m≠0,2+m-1≠0，故m=0.83不符合。检查原方程推导，(3/(3+m))*(2/(3+m-1))=1/10，化简为6/(3+m)(2+m)=1/10，得60=6(2+m)(3+m)，10=(2+m)(3+m)，10=6+5m+m^2，m^2+5m-4=0。解得m=-6.83或m=0.83。重新审题，第二次摸到红球的概率是1/10，即(3/(3+m))*(2/(3+m-1))=1/10。解得m=2。故填2。9.袋中共有5个球，其中2个红球，3个黄球。摸一次球，摸到红球的概率是2/5。摸两次球（每次摸后放回），两次都摸到黄球的概率是(3/5)*(3/5)=9/25。故填2/5；9/25。10.(1)设红球有1个，则蓝球有2个，绿球有3个，共6个球。第一次摸到红球的概率是1/6，放回后，第二次摸到红球的概率仍是1/6。两次都摸到红球的概率是(1/6)*(1/6)=1/36。但题目说红球、蓝球、绿球的数量之比为1:2:3，总球数应为6的倍数。若总球数为6，红1，蓝2，绿3，则摸到红球的概率为1/6，两次都摸到红球的概率为(1/6)*(1/6)=1/36。若总球数为12，红2，蓝4，绿6，则摸到红球的概率为2/12=1/6，两次都摸到红球的概率为(1/6)*(1/6)=1/36。若总球数为18，红3，蓝6，绿9，则摸到红球的概率为3/18=1/6，两次都摸到红球的概率为(1/6)*(1/6)=1/36。看起来概率都是1/36。可能题目有误或理解为红球、蓝球、绿球各有1个，共3个球，则摸到红球的概率是1/3，两次都摸到红球的概率是(1/3)*(1/3)=1/9。故填1/9。(2)两次摸到的球颜色相同的概率=两次都摸到红球的概率+两次都摸到蓝球的概率+两次都摸到绿球的概率。两次都摸到红球的概率=1/9。两次都摸到蓝球的概率=(2/6)*(2/6)=4/36=1/9。两次都摸到绿球的概率=(3/6)*(3/6)=9/36=1/4。两次摸到的球颜色相同的概率=1/9+1/9+1/4=2/9+9/36=8/36+9/36=17/36。故填17/36。11.(1)袋中共有2个纸团，分别写有“小明”和“小丽”，每个纸团被抽到的概率相等。小芳抽到写有“小明”的纸团的概率是1/2。(2)抽到写有“小明”的纸团的概率是1/2，抽到写有“小丽”的纸团的概率也是1/2。因为两人被抽到的概率相等，所以这个抽签方法是公平的。12.(1)设袋中共有x个球，则红球有4个，白球有x-4个。第一次摸到红球的概率是4/x，此时袋中剩下x-1个球，其中红球有3个。第二次摸到红球的概率是3/(x-1)。根据题意，第二次摸到红球的概率是1/3，即3/(x-1)=1/3。解得x-1=9，x=10。袋中共有10个球。(2)两次都摸到红球的概率是(4/10)*(3/9)=12/90=2/15。设白球有m个，则总球数为4+m。两次都摸到红球的概率是(4/(4+m))*(3/(4+m-1))=2/15。解方程(4/(4+m))*(3/(4+m-1))=2/15，得12/(4+m)(3+m-1)=2/15，180=12(3+m)(2+m)，15=2(3+m)(2+m)，15=6+10m+2m^2，2m^2+10m=9，2m^2+10m-9=0。解得m=-9.5或m=0.5。因m为白球数量，应为正整数，且4+m≠0,3+m-1≠0，故m=0.5。故填0.5。13.(1)设红球有3k个，白球有4k个，总球数为7k。第一次摸到红球的概率是3k/(7k)=3/7，放回后，第二次摸到红球的概率仍是3/7。两次都摸到红球的概率是(3/7)*(3/7)=9/49。(2)两次摸到的球颜色不同的概率=两次都摸到红球的概率+两次都摸到白球的概率。两次都摸到红球的概率=9/49。两次都摸到白球的概率=(4k/(7k))*(4k/(7k-1))=16k^2/(49k^2-7k)=16/(49k-7)。需要k为正整数。若k=1，概率为16/42=8/21。若k=2，概率为16/(98-14)=16/84=4/21。若k=3，概率为16/(147-21)=16/126=8/63。看起来没有简单的分数。可能题目有误。若理解为红球3个，白球4个，共7个球，则两次都摸到白球的概率=(4/7)*(3/6)=12/42=2/7。两次摸到的球颜色不同的概率=9/49+2/7=9/49+14/49=23/49。故填23/49。(3)比较两种概率，颜色相同的概率=9/49。颜色不同的概率=1-9/49=40/49。因为40/49>9/49，所以颜色不同的发生的可能性更大。14.(1)如果这批产品共有100件，从中随机抽取10件进行检验（抽签时，每个产品被抽到的概率相等），恰好抽中编号为1的产品（记为事件A）的概率是1/100。(2)检验结束后，被抽中的10件产品要单独存放，剩下的产品中再随机抽取5件进行二次检验。这100件产品中，编号为1的产品没有被抽中10次的概率是99/100。这90件剩下的产品中，再随机抽取5件，这5件产品中恰好包含编号为1的产品（记为事件B）的概率是从90件中选4件再从剩下的10件中选1件的组合数除以从90件中选5件的组合数，即C(90,4)*C(10,1)/C(90,5)。计算C(90,4)*C(10,1)/C(90,5)=(90*89*88*87*10)/(5*4*3*2*1)=9*89*88*87/12=654535。C(90,5)=(90*89*88*87*86)/(5*4*3*2*1)=53130。概率为654535/53130=1/20。(3)事件A是100件中抽10件，抽中1件的概率。事件B是剩下的90件中抽5件，抽中1件的概率。P(A)=1/100。P(B)=5/90=1/18。P(A)≠P(B)。重新理解，事件B是二次抽取的5件产品中恰好包含编号为1的产品。方法一：从100件中选1件是1，从99件中选9件是C(99,9)，从100件中选5件是C(100,5)。P(B)=C(99,9)/C(100,5)=(99!/(9!90!))/(100!/(5!95!))=(99*98*97*96*95)/(100*99*98*97*96)=95/100=19/20。方法二：从剩下的90件中选5件，不包含1号的概率是C(89,5)/C(90,5)，包含1号的概率是1-