2026年人教版高二数学选修4-1第2章函数性质习题及答案

2026年人教版高二数学选修4-1第2章函数性质习题及答案第1页共1页2026年人教版高二数学选修4-1第2章函数性质习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-2参考答案：A2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C3.若函数h(x)=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，则b的取值范围是（）A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1]参考答案：B4.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π参考答案：A5.已知函数f(x)=x^2-2x+3，则f(x)在区间[1,3]上的最大值是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：D6.函数g(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)参考答案：A7.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：A8.函数g(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-2,2]上的最大值是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C9.若函数h(x)=x^2+ax+b在x=1处取得极小值，且其图像与x轴只有一个交点，则a与b的关系为（）A.a^2=4bB.a^2=-4bC.a^2+4b=0D.a^2-4b=0参考答案：A10.函数f(x)=sin(x)cos(x)在[0,π]上的最大值是（）A.1/2B.1C.√2/2D.√3/2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是______。参考答案：32.若函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是k，则k=______。参考答案：33.函数h(x)=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，则实数b的取值范围是______。参考答案：(0,1/e)4.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是______。参考答案：2π5.函数g(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______。参考答案：(1,+∞)6.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点个数为______。参考答案：27.函数h(x)=x^2+ax+b在x=1处取得极小值-1，则a=______，b=______。参考答案：a=-2，b=08.函数f(x)=sin(x)cos(x)在[0,π]上的最大值是______。参考答案：1/29.已知点A(1,2)在抛物线C：y^2=2px上，且点A到抛物线焦点F的距离为3，则p=______。参考答案：210.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a=______。参考答案：2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上存在两个极值点。参考答案：×2.若函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为3，则该函数在区间[-3,3]上单调递减。参考答案：×3.函数h(x)=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，当且仅当be。参考答案：×4.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为π。参考答案：√5.函数g(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，当且仅当a1。参考答案：√6.函数h(x)=x^2+ax+b在x=1处取得极小值，则该函数的对称轴方程为x=-a/2。参考答案：√7.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a=3。参考答案：√8.函数g(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-2,2]上的最大值为4。参考答案：√9.函数h(x)=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，当且仅当b≤0。参考答案：√10.函数f(x)=sin(x)cos(x)在[0,π]上的最大值为1/2。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极小值，求实数a的值。参考答案：a=32.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？此时x取何值？参考答案：最小值为3，此时x=-0.53.函数h(x)=e^x-bx在(0,+∞)上单调递增，求实数b的取值范围。参考答案：b≤e4.函数k(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递减，实数a的取值范围是多少？参考答案：0a15.已知函数f(x)=x^2+ax+b在x=1处取得极小值，且其顶点在直线y=x上，求a和b的值。参考答案：a=-2，b=06.函数m(x)=sin(x)cos(x)在[0,π]上的最大值是多少？此时x取何值？参考答案：最大值为1/2，此时x=π/4或3π/47.函数n(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值为5，最小值为-28.若函数p(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值为5，最小值为3五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.医院消毒液浓度为15%的溶液200毫升，需要加入多少毫升的水才能得到浓度为12%的消毒液？参考答案：100毫升2.某城市地铁线路长80公里，计划每天早上6点至晚上10点运行，如果每趟车运行间隔为10分钟，那么一天需要多少趟车？参考答案：104趟3.一个长方体水箱，长5米，宽3米，高4米，如果水箱中水的高度为2.5米，那么水箱中水的体积是多少立方米？参考答案：30立方米4.某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件20元，如果工厂每月固定支出为5000元，那么每月至少需要销售多少件产品才能不亏本？参考答案：500件5.一个圆锥形沙堆，底面半径为3米，高为2米，如果沙子的密度为1.5吨/立方米，那么这个沙堆的重量是多少吨？参考答案：14.13吨6.某学校图书馆有1000本书，其中小说类占60%，科普类占25%，其他类占15%，如果学校计划购买更多图书，那么应该优先购买哪一类图书？请说明理由。参考答案：小说类7.一个圆柱形水桶，底面半径为5厘米，高为10厘米，如果水桶中水的高度为6厘米，那么水桶中水的体积是多少立方厘米？参考答案：471立方厘米8.某公司生产一种产品，成本为每件50元，售价为每件100元，如果公司每月固定支出为20000元，那么每月至少需要销售多少件产品才能不亏本？参考答案：400件标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查函数的极值点。f'(x)=3x^2-a，由题意f'(1)=0，得3-a=0，解得a=3。经检验，a=3时f(x)在x=1处取得极大值，符合题意。2.参考答案：C解析：本题考查绝对值函数的性质。g(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为两点间的距离3。3.参考答案：B解析：本题考查函数的单调性与导数的关系。h'(x)=e^x-b，由题意h'(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立，即e^x-b≥0，得b≤e^x在(0,+∞)上恒成立，所以b≤1。4.参考答案：A解析：本题考查三角函数的周期性。f(x)=sin(x)+cos(2x)=sin(x)+1-2sin^2(x)=-2sin^2(x)+sin(x)+1=-2(sinx-1/4)^2+9/8，最小正周期为π。5.参考答案：D解析：本题考查二次函数在闭区间上的最值。f(x)=(x-1)^2+2，对称轴x=1，区间[1,3]在对称轴右侧，函数单调递增，最大值为f(3)=3^2-2×3+3=4。6.参考答案：A解析：本题考查对数函数的单调性。g(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则0a1。7.参考答案：A解析：本题考查函数的极值点。f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1或x=1，f''(-1)=60，f''(1)=-60，故x=-1为极小值点，x=1为极大值点，极值点个数为2。8.参考答案：C解析：本题考查绝对值函数的性质。g(x)=|x-1|+|x+1|表示数轴上x对应点到1和-1对应点的距离之和，在x=-2时取得最大值|-2-1|+|-2+1|=3。9.参考答案：A解析：本题考查函数的极值与图像性质。h(x)=(x+1/2)^2+b-1/4，对称轴x=-1/2，由题意h'(x)在x=1处为0，得a=-2，此时h(x)=(x-1)^2+b，图像与x轴只有一个交点，则Δ=0，即1-4b=0，得a^2=4b。10.参考答案：B解析：本题考查三角函数的最值。f(x)=sin(x)cos(x)=1/2sin(2x)，在[0,π]上，2x∈[0,2π]，sin(2x)取最大值1时，f(x)取得最大值1/2。二、填空题1.参考答案：3解析：本题考查函数的单调性与最值。首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-1，f(-1)=2，f(1)=-1，f(2)=2。因此最大值为3。2.参考答案：3解析：本题考查绝对值函数的性质。函数g(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2时取最小值3，在x=1时取最小值3。因此最小值k=3。3.参考答案：(0,1/e)解析：本题考查函数的单调性。求导h'(x)=e^x-b，令h'(x)≥0得b≤e^x。由于x0，所以b≤1/e。4.参考答案：2π解析：本题考查三角函数的周期性。函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的周期为T，需满足sin(x+T)+cos(2(x+T))=sin(x)+cos(2x)。最小正周期为2π。5.参考答案：(1,+∞)解析：本题考查对数函数的单调性。函数g(x)=log_a(x+1)单调递增需a1。6.参考答案：2解析：本题考查函数的极值点。求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f''(x)=6x，f''(-1)0，f''(1)0。因此极值点为x=-1和x=1。7.参考答案：a=-2，b=0解析：本题考查函数的极值。由h'(1)=2+a=0得a=-2。由h(1)=1+a+b=-1得b=0。8.参考答案：1/2解析：本题考查三角函数的有界性。函数f(x)=sin(x)cos(x)=1/2sin(2x)，在x=π/4时取最大值1/2。9.参考答案：2解析：本题考查抛物线的性质。抛物线焦点F坐标为(1/2p,0)。由|AF|^2=(1-1/2p)^2+2^2=9，解得p=2。10.参考答案：2解析：本题考查函数的极值。由f'(1)=3-a=0得a=3。又f''(1)=60，因此x=1处为极小值点。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查函数的极值点。f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-60，f''(1)=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。因此f(x)在[-2,2]上存在两个极值点，结论正确。2.参考答案：×解析：本题考查绝对值函数的性质。g(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2时取得最小值3。在区间[-3,-2]上g(x)=-2x-1单调递减，在[-2,1]上g(x)=3单调递增，在[1,3]上g(x)=2x+1单调递增。故g(x)在[-3,3]上并非单调递减。3.参考答案：×解析：本题考查指数函数与对数函数的单调性。h'(x)=e^x-b，当be时，h'(x)0，函数单调递减；当be时，h'(x)0，函数单调递增；当b=e时，h'(x)≥0，函数单调递增。故h(x)在(0,+∞)上单调递增的条件是be。4.参考答案：√解析：本题考查三角函数的周期性。f(x)=sin(x)+cos(2x)=sin(x)+2cos^2(x)-1=sin(x)+2(1-sin^2(x))-1=-2sin^2(x)+sin(x)+1。令t=sin(x)，则y=-2t^2+t+1。该函数的周期为2π，但sin(x)和cos(2x)的周期均为π，故f(x)的最小正周期为π。5.参考答案：√解析：本题考查对数函数的单调性。g'(x)=1/(a(x+1))ln(a)，当a1时ln(a)0，且x+10，故g'(x)0，函数单调递增；当0a1时ln(a)0，g'(x)0，函数单调递减。故g(x)在(0,+∞)上单调递增的条件是a1。6.参考答案：√解析：本题考查二次函数的极值与对称轴。h(x)=x^2+ax+b在x=1处取得极小值，则h'(1)=2+a=0，得a=-2。对称轴方程为x=-a/2=1，结论正确。7.参考答案：√解析：本题考查函数的极值点。f'(x)=3x^2-a，令f'(1)=0得3-a=0，解得a=3。8.参考答案：√解析：本题考查绝对值函数的性质。g(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1时取得最小值2，在x=1时取得最小值2。在区间[-2,-1]上g(x)=-2x单调递增，在[-1,1]上g(x)=2单调递增，在[1,2]上g(x)=2x-2单调递增。故g(x)在[-2,2]上的最大值为g(-2)=6或g(2)=6，最大值为4。9.参考答案：√解析：本题考查指数函数与对数函数的单调性。h'(x)=e^x-b，当b≤0时，h'(x)e^x0，函数单调递增。结论正确。10.参考答案：×解析：本题考查三角函数的性质。f(x)=sin(x)cos(x)=1/2sin(2x)，在[0,π]上，2x∈[0,2π]，sin(2x)在[0,π]上取得最大值1，在[π,2π]上取得最大值-1。故f(x)在[0,π]上的最大值为1/2。四、简答题1.参考答案：a=3解析：本题考查函数的极值。首先求导f'(x)=3x^2-a，由题意f'(1)=0，代入得3-a=0，解得a=3。再验证二阶导f''(x)=6x，f''(1)=60，说明x=1处为极小值点，故a=3。2.参考答案：最小值为3，此时x=-0.5解析：本题考查绝对值函数的性质。函数g(x)由三个部分组成：当x-2时g(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时g(x)=3；当x1时g(x)=2x+1。由图像可知，当x=-0.5时取得最小值3。3.参考答案：b≤e解析：本题考查指数函数与对数函数的单调性。求导h'(x)=e^x-b，由题意h'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即e^x≥b，因为e^x在(0,+∞)上取值范围为(1,+∞)，所以b≤1。又因为b=e时h'(x)≥0成立，故b≤e。4.参考答案：0a1解析：本题考查对数函数的单调性。求导k'(x)=1/(ln(a)(x+1))，由题意k'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，即ln(a)0，解得0a1。又因为a0，故0a1。5.参考答案：a=-2，b=0解析：本题考查二次函数与一次函数的关系。由题意f'(1)=0且f(1)=1，代入得3+a+b=0且1+a+b=1，解得a=-2，b=0。再验证顶点坐标(-a/2,f(-a/2))，即(1,0)在直线y=x上，符合题意。6.参考答案：最大值为1/2，此时x=π/4或3π/4解析：本题考查三角函数的性质。令m(x)=sin(x)cos(x)=1/2sin(2x)，由2x∈[0,2π]可知sin(2x)的最大值为1，故m(x)的最大值为1/2，此时2x=π/2或3π/2，即x=π/4或3π/4。7.参考答案：最大值为5，最小值为-2解析：本题考查三次函数的性质。求导n'(x)=3x^2-3，令n'(x)=0得x=±1，计算n(-2)=