2026年湖南省长沙市第四中学高二数学第9章函数性质测试卷及答案

2026年湖南省长沙市第四中学高二数学第9章函数性质测试卷及答案第1页共1页2026年湖南省长沙市第四中学高二数学第9章函数性质测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.3B.2C.1D.0参考答案：B2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-3,3)上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B3.若函数h(x)=sin(ωx)+cos(ωx)的最小正周期是π，则ω的值为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B4.函数f(x)=e^x-x在定义域R上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A5.已知函数y=x^2-2x+1在区间[0,3]上的最大值是（）A.0B.1C.2D.3参考答案：A6.函数y=log_a(x)在x1时单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)参考答案：B7.函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数f'(1)的值为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：A8.函数y=|x-1|+|x+2|在x=-1处的导数是（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B9.若函数f(x)是偶函数，且在x0时单调递增，则f(-2)与f(1)的大小关系是（）A.f(-2)f(1)B.f(-2)f(1)C.f(-2)=f(1)D.无法确定参考答案：A10.函数y=e^x在定义域内是凹函数，则其图像在点(1,e)处的切线斜率是（）A.eB.2eC.e^2D.2e^2参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为______。参考答案：02.函数y=|x-1|+|x+2|在x=-1处的导数为______。参考答案：33.若函数f(x)是偶函数，且在x0时单调递增，则f(-2)的值与f(2)的值的关系为______。参考答案：相等4.函数y=e^x在定义域内是凹函数，则其图像在点(1,e)处的切线斜率为______。参考答案：e5.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为______。参考答案：26.函数h(x)=sin(ωx)+cos(ωx)的最小正周期为______。参考答案：2π/ω7.函数y=log_a(x)在x1时单调递增，则实数a的取值范围是______。参考答案：a18.函数f(x)=e^x-x在定义域R上的最大值为______。参考答案：19.函数y=x^2-2x+1在区间[0,3]上的最小值为______。参考答案：010.已知函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的切线方程为______。参考答案：y=-2x+2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为0。参考答案：√2.函数y=|x-1|+|x+2|在x=-1处的导数不存在。参考答案：×3.若函数f(x)是偶函数，且在x0时单调递增，则f(-2)f(2)。参考答案：√4.函数y=log_a(x)在x1时单调递增，则实数a1。参考答案：√5.函数f(x)=e^x-x在定义域R上的最大值为1。参考答案：×6.函数y=x^2-2x+1在区间[0,3]上的最小值出现在x=1处。参考答案：√7.函数h(x)=sin(ωx)+cos(ωx)的最小正周期为2π/ω。参考答案：√8.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a=3。参考答案：×9.函数y=e^x在定义域内是凹函数，则其图像在点(1,e)处的切线斜率为e。参考答案：√10.函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数为0。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求实数a的值。参考答案：a=32.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是多少？参考答案：33.若函数h(x)是偶函数，且在x0时单调递增，则h(-2)与h(2)的大小关系如何？参考答案：h(-2)=h(2)4.函数k(x)=e^x在定义域内是凹函数，则其图像在点(1,e)处的切线斜率是多少？参考答案：e5.函数m(x)=sin(ωx)+cos(ωx)的最小正周期是多少？参考答案：2π/ω6.函数n(x)=e^x-x在定义域R上的最大值是多少？参考答案：17.函数p(x)=x^2-2x+1在区间[0,3]上的最大值是多少？参考答案：48.已知函数q(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为2，求实数a的值。参考答案：a=5五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市为缓解交通压力，对一段道路进行限速改造。改造前，该路段的最高时速为v0米/秒，改造后，最高时速降为v1米/秒（v1v0）。已知某辆汽车在该路段匀速行驶，改造前需要t0秒通过该路段，改造后需要t1秒通过同一段路程。请根据以上信息，建立改造前后最高时速v0与v1之间的关系式，并说明理由。参考答案：v0/v1=t1/t02.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值。请先求出实数a的值，再判断该极值是极大值还是极小值，并说明理由。参考答案：a=3，极小值3.某科技公司研发了一种新型节能设备，其成本函数为C(x)=2000+50x（单位：元），其中x为生产数量。市场调研显示，该设备售价y与销售数量x满足关系式y=300-0.02x。请建立该设备的利润函数P(x)，并求出当销售数量为多少时，该设备的利润最大？最大利润是多少？参考答案：P(x)=250x-0.02x^2-2000，销售数量为1250时利润最大，最大利润为6250元4.已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为m。请先求出m的值，再判断函数g(x)在区间[-3,3]上是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。参考答案：m=3，存在最大值，最大值为55.某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=1000+10x（单位：元），其中x为生产数量。市场调研显示，该产品售价y与销售数量x满足关系式y=50-0.01x。请建立该产品的利润函数P(x)，并求出当销售数量为多少时，该产品的利润最大？最大利润是多少？参考答案：P(x)=40x-0.01x^2-1000，销售数量为2000时利润最大，最大利润为3000元6.已知函数h(x)是偶函数，且在x0时单调递增。请判断函数h(x)在x0时是单调递增还是单调递减，并说明理由。参考答案：单调递减7.已知函数k(x)=e^x在定义域内是凹函数，请判断函数k(x)在点(1,e)处的切线斜率是大于1还是小于1，并说明理由。参考答案：大于18.已知函数m(x)=sin(ωx)+cos(ωx)的最小正周期为T。请先求出ω的值，再判断函数m(x)在区间[0,T/2]上是单调递增还是单调递减，并说明理由。参考答案：ω=2，单调递减标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查函数的极值。由题意知f'(1)=0，即3×1^2-a=0，解得a=3。又因为f''(x)=6x，f''(1)=60，所以x=1是极小值点，故a=2。2.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数的性质。函数g(x)=|x-1|+|x+2|的图像是折线，在x=-2和x=1处取得拐点。在区间(-3,3)上，g(x)的最小值出现在x=-2处，此时g(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3。故最小值为2。3.参考答案：B解析：本题考查三角函数的周期性。函数h(x)=sin(ωx)+cos(ωx)=√2sin(ωx+π/4)，其最小正周期为T=2π/ω=π，解得ω=2。故ω的值为2。4.参考答案：A解析：本题考查指数函数与对数函数的性质。函数f(x)=e^x-x的导数f'(x)=e^x-1。当x0时，e^x1，所以f'(x)0；当x0时，0e^x1，所以f'(x)0。因此f(x)在(0,+∞)上单调递增。5.参考答案：A解析：本题考查二次函数的性质。函数y=x^2-2x+1=(x-1)^2在区间[0,3]上的最大值出现在x=3处，此时y=3^2-2×3+1=2。故最大值为3。6.参考答案：B解析：本题考查对数函数的性质。函数y=log_a(x)在x1时单调递增，则a1。故实数a的取值范围是(1,+∞)。7.参考答案：A解析：本题考查函数的导数。函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)=3x^2-3。当x=1时，f'(1)=3×1^2-3=0。故f'(1)的值为2。8.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数的导数。函数y=|x-1|+|x+2|在x=-1处的导数等于x=-1时左右导数的平均值。当x-2时，y'=-1；当-2≤x1时，y'=-1；当x≥1时，y'=1。因此y'(-1)=-1。故导数为1。9.参考答案：A解析：本题考查偶函数的性质。由题意知f(x)是偶函数，所以f(-2)=f(2)。又因为f(x)在x0时单调递增，所以f(2)f(1)。故f(-2)f(1)。10.参考答案：A解析：本题考查指数函数的导数。函数y=e^x的导数y'=e^x。在点(1,e)处，切线斜率等于y'在x=1时的值，即e。故切线斜率为e。二、填空题1.参考答案：0解析：本题考查导数的计算。首先对函数f(x)=x^3-3x+1求导，得到f'(x)=3x^2-3。然后将x=1代入导数表达式中，得到f'(1)=3(1)^2-3=0。因此，函数f(x)在x=1处的导数为0。2.参考答案：3解析：本题考查绝对值函数的导数。首先将函数y=|x-1|+|x+2|分段，得到y=-2x-1（x-2），y=3（-2≤x≤1），y=2x+1（x1）。然后将x=-1代入中间段，得到导数为3。3.参考答案：相等解析：本题考查偶函数的性质。由于f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)。因此，f(-2)=f(2)。所以f(-2)的值与f(2)的值相等。4.参考答案：e解析：本题考查指数函数的导数。首先对函数y=e^x求导，得到y'=e^x。然后将x=1代入导数表达式中，得到y'(1)=e。因此，函数y=e^x在点(1,e)处的切线斜率为e。5.参考答案：2解析：本题考查函数的极值。首先对函数f(x)=x^3-ax+1求导，得到f'(x)=3x^2-a。由于函数在x=1处取得极值，所以f'(1)=0。将x=1代入导数表达式中，得到3(1)^2-a=0，解得a=2。6.参考答案：2π/ω解析：本题考查三角函数的周期。首先将函数h(x)=sin(ωx)+cos(ωx)化简为h(x)=√2sin(ωx+π/4)。由于正弦函数的周期为2π，所以h(x)的最小正周期为2π/ω。7.参考答案：a1解析：本题考查对数函数的单调性。由于函数y=log_a(x)在x1时单调递增，所以a1。因此，实数a的取值范围是a1。8.参考答案：1解析：本题考查指数函数的性质。首先对函数f(x)=e^x-x求导，得到f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0，解得x=0。然后计算f(0)=e^0-0=1。因此，函数f(x)在定义域R上的最大值为1。9.参考答案：0解析：本题考查二次函数的性质。首先将函数y=x^2-2x+1化简为y=(x-1)^2。由于二次函数的顶点为(1,0)，所以函数在区间[0,3]上的最小值为0。10.参考答案：y=-2x+2解析：本题考查函数的切线方程。首先对函数f(x)=x^3-3x+1求导，得到f'(x)=3x^2-3。然后将x=1代入导数表达式中，得到f'(1)=0。因此，切线的斜率为0。由于切线过点(1,0)，所以切线方程为y=-2x+2。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查函数的导数。f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0，故正确。2.参考答案：×解析：本题考查绝对值函数的导数。y=|x-1|+|x+2|在x=-1处由左导数和右导数不相等导致导数不存在，故错误。3.参考答案：√解析：本题考查偶函数的性质。偶函数满足f(-x)=f(x)，且在x0时单调递增，则f(-2)=f(2)f(3)，故正确。4.参考答案：√解析：本题考查对数函数的单调性。y=log_a(x)在x1时单调递增，则a1，故正确。5.参考答案：×解析：本题考查指数函数的性质。f(x)=e^x-x在x=0处取得局部极大值f(0)=1，但不是全局最大值，故错误。6.参考答案：√解析：本题考查二次函数的性质。y=x^2-2x+1在x=1处取得最小值0，且在区间[0,3]上单调递增，故正确。7.参考答案：√解析：本题考查三角函数的性质。h(x)=sin(ωx)+cos(ωx)=√2sin(ωx+π/4)，最小正周期为2π/ω，故正确。8.参考答案：×解析：本题考查函数的极值。f'(x)=3x^2-a，f'(1)=3-a=0，得a=3。但需验证二阶导数f''(x)=6x，f''(1)=6≠0，故a=3时取得拐点而非极值，故错误。9.参考答案：√解析：本题考查指数函数的凹凸性。y=e^x是凹函数，二阶导数y''=e^x，在点(1,e)处切线斜率为y''(1)=e，故正确。10.参考答案：×解析：本题考查函数的二阶导数。f''(x)=6x，f''(1)=6≠0，故错误。四、简答题1.参考答案：a=3解析：本题考查函数的极值。由题意知，函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，因此f'(1)=0。求导得f'(x)=3x^2-a，代入x=1得3-a=0，解得a=3。进一步验证，f''(x)=6x，代入x=1得f''(1)=60，说明x=1处为极小值点，符合题意。2.参考答案：3解析：本题考查绝对值函数的性质。函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值出现在x=-2处，此时g(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3。其他点处的值均大于等于3，因此最小值为3。3.参考答案：h(-2)=h(2)解析：本题考查偶函数的性质。由题意知，函数h(x)是偶函数，因此h(-x)=h(x)。代入x=2得h(-2)=h(2)，即h(-2)与h(2)相等。4.参考答案：e解析：本题考查指数函数的导数。函数k(x)=e^x在定义域内是凹函数，因此其二阶导数k''(x)0。求导得k'(x)=e^x，k''(x)=e^x。在点(1,e)处，切线斜率k'(1)=e，符合题意。5.参考答案：2π/ω解析：本题考查三角函数的周期性。函数m(x)=sin(ωx)+cos(ωx)可以化简为√2sin(ωx+π/4)。因此其最小正周期为2π/ω。6.参考答案：1解析：本题考查指数函数的性质。函数n(x)=e^x-x在定义域R上的最大值出现在x=1处，此时n(1)=e-1。求导得n'(x)=e^x-1，令n'(x)=0得x=1。进一步验证，n''(x)=e^x0，说明x=1处为极大值点，因此最大值为1。7.参考答案：4解析：本题考查二次函数的性质。函数p(x)=x^2-2x+1在区间[0,3]上的最大值出现在x=3处，此时p(3)=9-6+1=4。其他点处的值均小于等于4，因此最大值为4。8.参考答案：a=5解析：本题考查函数的导数。由题意知，函数q(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为2，因此q'(1)=2。求导得q'(x)=3x^2-3，代入x=1得3-3=0≠2，说明题意有误，无法求解。重新命制题目：已知函数q(x)=x^3-ax+1在x=1处的导数为2，求实数a的值。求导得q'(x)=3x^2-a，代入x=1得3-a=2，解得a=1。五、应用题1.参考答案：v0/v1=t1/t0解析：本题考查函数性质中的反比例关系。由题意可知，汽车在该路段匀速行驶，因此改造前后速度与时间成反比关系。设该路段长度为L，则有v0=L/t0，v1=L/t1，因此v0/v1=t1/t0。该关系式反映了改造前后速度与时间之间的反比例关系。2.参考答案：a=3，极小值解析：本题考查函数的极值问题。由题意可知，f(x)在x=1处取得极值，因此f'(1)=0。先求f'(x)=3x^2-a，代入x=1得3-a=0，解得a=3。再求f''(x)=6x，代入x=1得f''(1)=60，因此f(x)在x=1处取得极小值。该题融合了导数与极值的关系，以及二次导数判断极值类型的考点。3.参考答案：P(x)=250x-0.02x^2-2000，销售数量为1250时利润最大，最大利润为6250元解析：本题考查函数性质中的最值问题。利润函数P(x)=xy-C(x)=(300-0.02x)x-(2000+50x)=-0.02x^2+250x-2000。该函数是开口向下的抛物线，因此最大值在顶点处取得。顶点横坐标x=-b/2a=-250/(2(-0.02))=1250，代入得P(1250)=-0.021250^2+2501250-2000=6250元。该题融合了二次函数与实际应用，考查了学生建立函数模型并求解最值的能力。4.参考答案：m=3，存在最大值，最大值为5解析：本题考查函数性质中的绝对值函数。函数g(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示为：g(x)=-2x-1(x-2)，g(x)=3(x=-2≤x≤1)，g(x)=2x+1(x1)。因此，在区间[-3,3]上，g(x)的最小值为m=3。当x=-3时，g(x)=7；当x=3时，g(x)=7；当x=1时，g(x)=3。因此，g(x)在区间[-3,3]上的最大值为5。该题融合了绝对值函数与函数最值，考查了学生分段函数的求解能力。5.参考答案：P(x)=40x-0.01x^2-1000，销