广西壮族自治区玉林市五校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

2026年10月高二年级试题数学（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．）1．下列向量中与a=(0,1,2)A．(1,0,2) B．(1,2,3) C．(0,2,4) D．(0,2,-1)2．直线y=k A． B． C． D．3．点P(1,-1)与圆x2A．点P在圆上 B．点P在圆外C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心4．已知四面体OABC中，D是BC的中点，则OA+A．AD B．OD C．BD D．DO5．已知两条不重合的直线l1:ax+2y-1=0和l2:xA．-2 B．-2或1 C．1 D．-1或26．点P(1,0)，点Q是圆x2+y2=4上的一个动点，则线段PQA．x-122C．x2+y-7．已知动点P在直线l:x-y=0上，过P总能作圆C:(x-a)2+y2=1A．(-4,0]∪(0,4) BC．(-22,0]∪(0,28．直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-A．2 B．22 C．42 D二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题意的．）9．下列命题正确的是（）A．经过点B(-2,0)，且与x轴垂直的直线方程是B．斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是yC．经过A(-1,8)，B(4,-2)两点的直线方程是D．在y轴上的截距是2，且与x轴平行的直线方程是y10．关于方程x2+A．圆心在直线y=-x上 B．其圆心在xC．过原点 D．半径为211．在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为A1D1的中点，动点M在线段A．直线PM与直线BD1B．当M是AB中点时，BM与平面AB1PC．三棱锥P-A1AB1外接球球心到平面D．若BN∥平面AB1P，则直线CC1与第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l13．已知|a|=1，b=(1,2,-2)，a与b的夹角为120°，则14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2=2|x|+2|y|四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A(1,1)，B(-1,3)，（1）求直线BC的方程；（2）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程；（3）求直线BC与直线l交点的坐标．16．（15分）如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°（1）用{a,b,c}为基底表示向量（2）求cosBD17．（15分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向22 km处设立观测点A，在平台O的正东方向12 km处设立观测点B，规定经过O，A，B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；（2）试求经过O，A，B三点的圆的标准方程；（3）某日经观测发现，在该平台O正南方向10 km的C处，有一艘轮船正以每小时87 km的速度沿北18．（17分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=1，E是（1）证明：PA∥平面BDE（2）求点D到平面PBC的距离；（3）求平面BDE与平面PAB夹角的正弦值．19．（17分）如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径，OA=OP，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧TB⌒的中点，D是BP（1）证明：CD∥平面APT（2）若AT⌒=TC⌒=CB⌒，求直线（3）若平面APT和平面BPT的夹角为θ，求cosθ《2026年10月高二年级试题》参考答案题号1234567891011答案CBCBAADDADACAC12．π4 13．19 14．15．（1）x+y-2=0 （2）x-解析：（1）直线BC的斜率kBC=3-0-故直线BC的方程为y=-(x-2)，化简得x（2）因为直线l与直线BC垂直，故kl⋅kBC所以kl=1， 直线l的方程为y-1=x-1，化简得（3）联立x+y-2=0解得x=1y=1，即所以直线BC与直线l交点的坐标为(1,1)． 13分16．（1）BD1=b+c-解析：（1）记AB=a，AD=则|a|=|b∴a⋅b=BD1=BABD12=∴BD1=2，即BD1（2）AC=a+b故AC=3， 由（1）知BD1=故B=b2+a∴cosBD117．（1）A(-2,2)，B(12,0)，|AB|=102 （（3）轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶12解析：（1）由题意知：|OA|=22，|OB|=12，∠∴A(-2,2)，B(12,0)∴|AB|=(-2-12)2（2）设经过O，A，B三点的圆的方程为：x2∴F=04+4-2D解得：D=-12E=-16F∴所求圆的一般方程为：x2则经过O，A，B三点的圆的标准方程为：(x-6)（3）由题意知：C(0,-10)，则轮船航向所在直线方程为：y=x-由（2）知：经过O，A，B三点的圆的圆心为(6,8)，半径r=10， 10∴圆心(6,8)到直线x-y-10=0的距离d∴直线x-y-10=0与圆(x设直线与圆的交点为E，F，则|EF|=2r2-d则轮船在安全预警区内会行驶4787=118．（1）证明见解析 （2）2 （3）6解析：（1）如图，连接AC，交BD于点F，连接EF， 1分由题意可知E，F分别为PC，AC的中点，故PA∥EF， 又EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE．（2）因为PD⊥平面ABCD，CD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥CD，PD又PD=CD=2，E为PC的中点，所以DE=2，且DE⊥PC．又BC⊥CD，PD⊥BC，PD∩CD=D，PD，CD所以BC⊥平面PCD， 7又DE⊂平面PCD，所以BC又DE⊥PC，且PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，所以DE⊥平面所以点D到平面PBC的距离等于线段DE的长，即点D到平面PBC的距离为2． 10分（3）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 11分则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,2)，DE=(0,1,1)，DB=(1,2,0)，PA=(1,0,-2)设n=(x,y,z则n⋅DE=y+z设m=(x,y,z则m⋅AB=2y=0m设平面BDE与平面PAB的夹角为θ，则cosθ=n所以平面BDE与平面PAB夹角的正弦值为66． 1719．（1）证明：连接OD，OC，OT，如图所示；OD为△PAB的中位线，则OD而PA⊂平面PAT，OD⊄平面PAT，得OD∥平面PAT，由AB是圆锥底面圆的直径，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧TB⌒得∠BAT=12∠而AT⊂平面PAT，OC⊄平面PAT，得OC∥平面又OC∩OD=O，OC，OD⊂平面OCD，得平面OCD∥平面而CD⊂平面OCD，得CD∥平面PAT． （2）若AT⌒=TC⌒因为PO⊥圆锥底面，AB在圆锥底面内，所以PO以O为原点，分别以OB，OP所在直线为y，z轴，过O垂直于AB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示：不妨设OA=OP=2，则B(0,2,0)，T3,-1,0，P得BT=3,-3,0，AP=(0,2,2)，AT设平面PAT的法向量为n=(得n⋅AP=2y+2z=0n⋅AT设直线BT与平面PAT所成角为β，则sinβ故直线BT与平面PAT所成角的正弦值为277． （3）以O为原点，分别以OB，OP所在直线为y，z轴，过O垂直于AB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示：不妨设OA=OP=2，则点T在圆O：x2+设T2cosα,2sinα,0，0≤α<2π而B(0,