26.4 实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

新人教版·九年级上册第二十六章

二次函数26.4实际问题与二次函数26.4.3实物抛物线问题情境导入这些桥都有什么特点？温故知新

如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？实际问题：水面上升1m，水面宽度为多少AB几何问题：如图，求

AB.探究新知思考：如何把拱桥的纵截面转化为二次函数图象呢？抛物线形拱桥建立数学模型二次函数解析式第1步：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立适当的平面直角坐标系第2步：将实际建筑数学化，根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题；第3步：明确具体的数量关系，如函数解析式；第4步：分析所求问题，代入解析式求解.探究新知怎样建立直角坐标系比较简单呢？动态演示不同建系方式放映状态下点击图片方案1中顶点在原点，没有一次项和常数项，计算量最小，是最适当的坐标系。

xyO（2）在建立的直角坐标系中，怎样求出抛物线形拱桥的函数表达式？（-5，-4）-5-45（5，-4）解：如图所示，建立平面直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2.将点(5，-4)代入解析式，可得-4=a×52.探究新知（3）突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少，转化为二次函数问题求什么量？xyO（-5，-4）-5-45（5，-4）-3

水面上升1m，即此时y=-3.答：此时水面的宽度大约是8.7m.①水面在拱顶下方，纵坐标为负数

易错提醒：探究新知利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤①

建系：根据图形特征，选择顶点、中点、端点为坐标原点，建立平面直角坐标系（优先选择让顶点在坐标轴上、对称建系，简化计算）；②

找点：结合题目已知数据，转化出抛物线上关键点的坐标；③

求式：根据坐标特点，选择顶点式、交点式、一般式，用待定系数法求二次函数解析式；④

求解验根：根据问题需求，代入自变量或函数值计算，结合实际范围取舍结果，规范作答.注意：抛物线实际问题中，自变量、函数值均有实际意义，计算结果必须符合实际场景.探究新知设这条抛物线的解析式为:y=ax²+4.当拱桥离水面4m时,水面宽10m,yxo∴这条抛物线所对应的二次函数为

.当水面上升1m时,水面的纵坐标为1,这时有

0=a×52+4，a=.即抛物线过点(5,0),解法二:如图所示,建立平面直角坐标系xoy，抛物线的顶点为(0,4)探究新知设这条抛物线的解析式为y=a(x-5)²+4.yxo当水面上升1m时,水面的纵坐标为1,这时有

∴这条抛物线所对应的二次函数为

.

∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-5)²+4.∴a=.解法三:如图所示,建立平面直角坐标系.抛物线的顶点为(5,4)新知应用一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示.这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗?xyO

3

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探究新知判断船能否安全通过桥洞，汽车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法：①固定船(汽车)的宽，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小）；②固定高，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数的解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小）.新知应用1.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=－0.2x²+3.85的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l.解：当y=3.05时，代入解析式得：－0.2x²+3.85=3.05，解得：x1=2，x2=－2（舍去）.即篮筐所在位置为：(2,3.05)，则：l=3.2+2=5.2(m).答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2m.

拓展如图是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．喷灌器OA与围墙的距离OB为多少？拓展(1)求该抛物线的函数解析式；

如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．拓展

如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式；

拓展(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计)．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．拓展

(1)求球飞行过程中的最大高度；

(2)求球飞行过程中的最大水平距离．

∴球飞行过程中的最大水平距离为8m．(1)求小明这次试掷的成绩；

答：小明这次试掷的成绩是10m．(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m．

∴铅球行进高度不能达到4m．

3.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽(AB)为4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m.当水面下降2.5m时，求水面的宽度增加了多少．

解得x＝±3.∴水面宽度增加了2×