广东省茂名市2025-2026学年高一年级下册7月期末质量检测 数学（含解析）

2025-2026学年高一下学期期末质量抽测数学试题

一、单选题

1.复数+（）

A.1-iB.MiC.-|-iD.-l+i

2.函数F-smL"osLr的最小正周期为（)

C,三

A.5B.RD.2x

22

3.在“8C中，时=3丘，工地，C=60°,则＜1)

A.135°B.60°C.45°D.30°

4.已知平面向量4,，满足aI,/>=（03）,且则cos。小二（）

A.--B.-1C.-D.1

2332

5.己知圆锥的侧面展开图是一个半径为6,圆心角为：的扇形，则该圆锥的高为（）

A.4^2B.4C.3cD.3

6.已知复数.，工、满足z（-\3\5i»则（）

A.2B.2aC.2>/3D.245

7.已知函数，（x）・V5«in2jrTn|2一：）向左平移千个单位长度后得到函数用⑺，则区（x）在区间-：.：

上的值域为（）

；］C［到D［景

A.B.

8.在J"中，点。满足/。-2/38,旦线段DB上存在一点E,使得（是,=ACA•必7）,则U的取值范围

为（）

A［T。B.12.；c［-5,0D.卜1川

二、多选题

9.设彳・品，则（）

A.|z|=>/5B.f=2-i

C.式的虚部是41D.z在复平面内对应的点位于第二象限

10.在直三棱柱/AC-4型；中,448在=W,M为8£的中点,则（）

A.AM/8(B.八M与4〃异面

C.平面/«（；1平面WC4D.平面4W（；与平面A8C的交线平行于8c

11.声音由物体振动产生的声波形成，日常听到的是复合音.定义〃阶复合音函数为人（幻Mnx4-'sin2.r

++…+'in几“”•、“，例如，1阶复合音函数为，（x）:、inr,2阶复合音函数为

3n

£（幻-§inx*\in2x.结合材料及所学知识，下列说法正确的是（）

A.2阶复合音函数的图象关于（2匹。）对称

B.3阶复合音函数在区间（＞/上单调递增

6

c.lx・R,使得，3＞川「+；|川

D.Vxe-二,二，l|/；（x）|,ifeN,.

.In2JIJ\2nJ

三、填空题

12.已知平面向量3（1.0）,b-（2,2）»则向量d在向最不上的投影向量的坐标为.

13.在复平面内,。为坐标原点，点乙在第二象限,点Z,所对应的复数2"1+、田,“〃乙是以乙乙为斜

边的等腰直角三角形，则点所对应的复数.：.

14.在正四棱台彳“〃-4邛；"中，445,48=2,88r3,M为〃4的三等分点（靠近4）,则过点

M且与直线用。，8C都平行的平句截棱台所得截面周长为.

四、解答题

15.在平行四边形/网。中，AB・2,40・1，=£为（7）的中点，点〃满足6r=流・

⑴用彳/i和表示/./：

⑵求“

16.如图，在四棱柱/以力冏中，底面ABCO为菱形，伏=4B,幺41,/4初・3。・2,

3

且E,尸分别为/W,4。的中点.

⑴求证：卜尸“平面BQD儿:

(2)求直线班与平面A8CQ所成角的正弦值.

17.在“底•中,角A,8,C所对的边分别为mb,c,§in(4-1)=£in&-sinC.

(I)求A；

(2)若。为8c的中点，/。-在，且次.外接圆的半径为0.

23

(i)求“水.内切圆的半径；

(ii)/也4c的平分线与5C交于点E,求

18.如图，弹簧拄着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点P,最低可到达点Q,且|/'。|12.开

始观察的时间点记为*/20)(单位：s),小球相对于参照面/的高度〃(单位：cm)与l的相关数据如下表：

///////

最高点。

6

以低点。

2581014

l/s04

333TT

h'cm693-3069

(1)现有以下2个函数模型：模型①：的)=公地"⑶+4(/>0,”>0,0<夕<：)；模型②:

请选出你认为最符合实际的函数模型(不用说明理由)，并求出相应的函数解析式:

(2)根据(1)中所选的函数模型，解决下列问题:

(i)每分钟小球能往复振动多少次？

(ii)从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面/的高度人不低于6cm的时间有多少s?

19.如图1,在三棱锥欣•中，平面ABC,//，一"=川"4,S为。C的中点，点

P在线段BS上且段=(5Ian优@W(0,

图1图2

⑴求证：伙,I平面4BR

(2)如图2,空间。点满足。/=(切=26，小=2，目…为锐角.

(i)求证：Z5/M二〃

(ii)当(变化时,求二面角，〃的取值范围.

参考答案

1.D

【详解】(l+i)i=i♦/二i-l.

故选：D

2.B

【详解】由>=an?r♦C4*2x=、八in2s：,所以最小正周期7寅.

3.C

【详解】由正弦定理得：—代入数据可得“n/=口，

sinT4sinC2

在“8C中,C60°，则0°</<120。,所以4=45。.

4.B

【详解】因为61(4“)，所以二/»・0,即

所以8”/_".'r\卜丽db'而-,I一手I

5.A

【详解】该圆锥母线长为/=6,扇形弧长(即圆锥底面周长)为/6x2"4«,

设圆锥底面半径为，，则2M・4耳，解得，=2，

于是圆锥的高力=*=s36-4-4^2-

6.B

【详解】法1：由题意，<'3-内'=3+5=4

由平行四边形恒等式，4•才♦三)16.所以I6-H.X,从而:z.=2<2,B

正确.

法2：在复平面内，设复数r1,z2对应的点分别为4，Z,,以()/,,()/:为邻边作平行四边形()7".

Z2K----------------------71P

OZ.

由4=4=2可得（）/,=（）/:=2.

因此四边形为菱形.

又少二三1小28.且〃产://♦〃/,所以z/0/=W,该菱形为正方形.

因此二=2/.=2&,B正确.

7.C

【详解】由题意，，一由（〃+：）=&而

（6=6/2＜4-（sin2JTCOS-4COS2xsin-I

66)

&sinlx~sin2x-*co»2x«-sinlx-*co»2x»8inf2JT-1

2222{6

又函数/（X）向左平移三个单位长度后得到函数弁（叶,

6

Wb♦:卜:卜呵2叫）

所以X（x）sin

又」6J,所以一；

63666

根据正弦函数的性质，可得-；£R（X）4|,

所以片（x）在区间：，：上的值域为

63I

8.A

【详解】不妨设4）・208・2，0£・JT,xw［（M］，

则〃/«/)/b

则（7）（l-“（1.2。方+2庇=。/.4（,一（7））,

xx''

即(7)=_f_掉/L(1

2-x2+x

piiJCE.—cb-i(f.

22

2rx

由平面向量基本定理得：〃

22

(2*6

则=由二次函数性质可知，其在xw［OJ单调递减,

4

xp.

9.AB

5.5x(25)

【详解】Fd-(2-iX2*i)

对于A,卜|=j2、l'=j5,故A正确;

对于B,f=2-i，故B正确;

对于C,d=(2+i)'=3/4i，虚部是4,故C错误;

对于D,z在复平面内对应的点是(2,1),位于第一象限，故D错误.

10.BCD

【详解】对于A,在平面加。用内，A不在这个平面内，M在该平面内，

因此AM与平面8((；见相交，不可能平行，A错误；

对于B,如图，平面彳、44,4£平面”用4,4948,48U平面/网4,故AM与48异面直线,

B正确：

对于C,在直三棱柱,〃4型；中，ARR&,由乙1佻=5『，

得4818。而BCcRR^B.BURR平面/“(d,则』。1平：面/Kr/L

乂，传U平面，4值；，因此平面相(；」平面/“＜：用，C正确；

对于D,在直三棱柱/叔'-44G中，椒小；u平面/M；,不在平面/MG内,

则8(：平面外〃；，平面A8C,故平面M〃；与平面A8C的交线平行于8C,D正确.

则2阶复合音函数的图象关于(2k0)对称，A正确;

对于B选项：由于y、inx在0,-上单调递增,

6

上单调递增，在（）/

v--sinZrffi(「bLmlx上单调递增,

2636

故/i(x)-sinA4-5in2x+'"在。,同

上单调递增，B正确;

23L6

旅|、

对于C选项/J）二工⑴川一，inr0iin2i,

令f=sinx-8tjr,/6[・&・拉]

平方可得：/?=l-2smici«x=1-sin2x»

代人上式得人1）'♦I,

而，W（v2.；2],由二次函数性质得到“（x），

即〃山心:+l恒成立，C错误;

注意到[，住）|■儿（凶），故仅考虑X

对于D选项：对于X€F,0,的情形,

Inlit

此时04JT4IUM：,即OSsinjrSsinnx,

故勿⑸■儿（W）■〃加（"♦・♦：）|/（咽D正确.

12.

?2

【详解】向量力”问在向量另-（2.2）上的投影向量的坐标为:

中・4

H8

13.-^4-1

【详解】

如图，由3=1+6知Z、（l.、3）,冈3♦网=2

由“JZ.Z1是以乙乙为斜边的等腰苴角三角形得〃Z_L，4.I04HoZ；卜2,

设:产x♦此因乙在第二象限，故

所以，妤丁何=。，

八2、4

将i=-、Q>•代入/+'/=4得：

（My）'4/=3产+/=4/=4,解得y=l（舍去负根），则x=-J5,

所以，

14.6.晅

3

【详解】连接4%

过点M作MN〃他,交AB于点N:

过点M作“上〃即；，交（（\于点E;

过点N作N“〃侑'，交DC于点卜，连接EF.

因为MN//“月〃RgiR（〃A。,且AD是平面内的两条相交直线,

所以平面MNb'E//平面他。.

平面的。内含直线片。，且/“〃伙'，故平面MN卜E与直线用。，BC都平行，四边形MN/1即

为所求截面.

点M为RR、上靠近4的三等分点，所以AA，=I.丛”=2.

BNHM2

在三角形HH.A中，A/N〃H、A,所以&HMN…即,从而■二不

nA0013

4

由UA二2,得BN——.

在等腰梯形B（C禺中，ME"取；，且所以=工4（；♦18C・2x5，lx2・4.

。333

又因为且N,〃分别在正方形ABCD的边AM,DC上，所以NF=/“’=2.

设等腰梯形BC（\H的高为h,则力•向眄可•阳孝

网2

因为ZB4cl为锐角，所以N叫（；，：，进而N818c■华.

正四棱台的相邻侧面全等，故=Z////C=Y-

在三角形BMN中，由余弦定理，MN2•BN2^BM2-2BNffMooty.

代入BN=yAW.2,得AW、（：）+2,-2x；x2x（-；）=?.

所以"V=N".

3

由此四楼台的对称性，EF=A/.V

因此截面周长为“E.N产=4.2.2x马叵=6♦她

15.(1)£>-AB--AD

【详解】（1）解：在平行四边形中，•••£为CQ的中点，=

II"/lzf/j-1（/）.

23

（2）解：由题意知/（；=”+//），结合（I）得以—1加-；®

因为4,・2，加）・1，/"〃）三：，

所以网・2,|皿・1,/。//5二网・卜432・1,

所以水//

16.(1)证明：连接4R,HI).,

/)

由条件可知四边形41/〃)为平行四边形，

而尸为4。的中点，故尸为彳。的中点.

•・•£为的中点，

・•・£/为AAH0的中位线，即/"叫.

.尸a平面BDDJ^,叫u平面RDDR,

**.EF/■'平面RDH.

3

【详解】(1)略.

(2)连接。E,送上，1见,过尸作「N1/用于点M

则由条件及余弦定理可得M=H/)=2d,

故A44〃，均为等边三角形.

为48的中点，・・・4£工4〃，DELAU.

・・,4A./)/.=E,AAB1平面ADE.

丁/Nu平面4。月，：.ABLFN,

•・•DE(]AB=E,：JN_L平面ABD,

，为直线与平面ABC。所成角.

由于4上=/止=、2人

故△,•(,/用为等腰三角形，即/•£」，•")，

而4"=%，则H)=。，故sinZFED-匕^-,

DE.3

则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为、口

3

17.(l)4-y

(2)(i)/=6;(ii)/HADJ

26

【详解】(1)因为sin(/-8)=£in/UGnC且C=x-4-8,

所以、in-"n"71口|1*〃),

展开得gin/cosB1、in«-、inN+sin.4c3"+匚八

即sfa8+2coi/siiiBo.

因为"n"<0,所以；,

因为/w(Ou),所以彳-5.

(2)(2)(i)设三角形外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,由正弦定理可知，_=2A,

sinA

，：

因为A/川外接圆的半径为、③，A=，可得°2x^2xMn2<

3333

由余弦定理可得后・7.①

二--.一―力

因为40■叱，且所以44月

22x%且

22

即8、/上士5②

2

联立①②，可得/>tc=3，Ac-2^

由gy=♦A♦c)，，可得，■

(ii)因为S.s=〃「$"AE为/E”的平分线,

所以1儿而匈C=!CZE$E//M/T而/(",所以/£・2・2

222“c3

9^ABAEm£BAE

因为AE为血。的平分线，所以蓑也,卜

“4/（・./月飞仙/（,/£（上

2

uBh彳"cHHctiebah…、…、I

故r一一，即〃人，----。・一，(fr=------a«—，Ht)(I)——a,

CEACbb+c3b，c32

c=3]:，所以田4,

因为ZHc二3,因二2，所以'

所以在A.〃1月中，由余弦定理得8»N^ND=，//;“‘

・At2，

I，；）所以ZEW・2.

因为

”「或

另法：因为/>+c-3，Ac—2，所以<假设b>c，则，

c・lc,2

g:/£sin/8/£

因为AE为//〃（’的平分线，所以一,彳一

-ACAEain£CAECk

2

所以6£=①，〃。=1"=①,■亚

所以〃）lil）HL

322~6

彳0，,/F1-DF1

所以在A,A）£中，由余弦定理得8»HD=­‘

・At2，

因为/£4Dw（0・；），所以NE4D哈

18.⑴选择模型①,"，）_"（，）：[3.

K

⑵（i）15次；（ii）

【详解】（1）选择模型①，M，）=4疝1（时+夕）+4.由于/廿=12=2/,则4=6,

9)(-3)T142“2x

又根据数据可知％3,且7=3-3=4=|缈＞故❸

2

所以%〃)=6sm修”卜3,

由.；|♦6)♦3・9,0<”"，得中=’，

26

卜3.

所以力(，)-6盯

(2)(i)因为r4s,所以每分钟小球能往复振动”=15次.

4

(ii)从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面/的高度。不低于6cm,

即/日0«6|时，/r(/)-6sm'；*326,

所以Ta:卜;，

故”+2h4%匕5*2瓜，n/.

6266

4

故4AW3，〃，IfZ，

又/E|0»6|,故A=0,1,则八0,,u卜、、，

所以持续时间为，♦14

19.(1)证明:连接AS,

由/MJ.平面ABC,则/Ml/。，DALAB.

由/C=XD工4且4C1/。，可得AD/C为等腰直角三角形.

又S为。C的中点，故

而46//C，且/)/(1/(,=/,又£Mu平面/”(I4Cu平面。打，

所以河，平面D4C又以七平面/〃(•，故叫1DC,

又=,48u平面46$，4$u平面/"、'，

所以DCI平面AHS,即IX1平面AHP.

(2)(i)证明：由(1)可知K=2上，而()1)=2百，。$=2,

于是衣故/*l〃s.

同理可得ASiOS-OA，即

而/sn〃s=s,又/su¥而o/r,osu平面，＜c所以osi平面DAC,

于是OSMAB，即。在平面ABS内且

Cftp

在RldM8中，由于产=充」2tan〃,

..AB-APninZ.BAP41型”・&UnW

且“BL=2___________wsZBAP

$31AP^ti£SAP疝(；-/84')

2

则tan"=tan//UP,而OvN/UPv!,则〃=//"〃,

2

因此/s/”“+//&〃=ZQSP.

（ii）0.：）

【详解】（1）略

(2)(i)略

（ii）方法一：过S作§〃〃/（•交A。于点儿连接，O,

易知S〃AD,ADLOS,

因为S〃f）〃SX,又s〃u平面。"S,agu平面OHS,

所以,"）1平面O”s,〃〃（平面。"S,则,"）HO,

故二面角（'/o。的平面角y为，〃〃s,

则（anylanZO//5="'I,则？」.

HS4

记二面角〃-刈）-〃、二面角〃-/。-（了一人。一。的平面角分别为外。,

由条件可知a=A:.

过。作/71/S于点/，过/作小」,4。于点K,连接尸K.

D

由(1)可知CC，平面而P/u平面/I川'，故/71DC，

因为4s「仇・=S,/X'u平面。AC，49u平面OAC所以/'/J■平面。人C，

40U平面。4C，则P/1/fQ.

因为〃/u平面