重庆求精中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆求精中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】C2.化简（）A. B. C. D.【答案】C3.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A4.5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（）A.60种 B.90种 C.150种 D.240种【答案】C5.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.【答案】D6.已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（）A.-80 B.80 C.-160 D.-120【答案】C7.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（）A. B. C. D.【答案】D8.已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，时，.若不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）9.象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（）A.共有120种排列方式B.若两个“车”相邻，则有24种排列方式C.若两个“马”不相邻，则有72种排列方式D.若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式【答案】ACD10.若，则（）A. B.C. D.【答案】AC11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递减，在上单调递增B.当时，C.若函数有两个零点，则D.设，若对，，使得成立，则【答案】BD二、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若，则__________【答案】713.如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为___________.【答案】8414.已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或简算步骤.）15.某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%．（1）从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率；（2）如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率．解：（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，由题可知，，则．（2）．16.已知函数，的图象在点处的切线为．（1）求a，b的值;（2）设，求最小值．解：（1），，由已知，得，解得，∴函数的解析式为．（2），则，令，则，当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增，∴．17.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望.解：（1）记这批产品通过检验为事件，则.（2）当时，的取值为800；当时，的取值为1600；当时，的取值为1000，所以的可能取值为800，1000，1600.，，.所以的分布列为：80010001600数学期望为：.18.已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.（1）求的方程；（2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，①证明：直线经过定点；②求的内切圆半径的范围.（1）解：依题意，解得，，所以的方程为.（2）①证明：因为不与轴重合，所以设的方程为，设点，，则联立，得，则，，因为点，，三点共线且斜率一定存在，所以，所以，将，代入化简可得，故，解得，满足所以直线过定点，且为椭圆右焦点②解：设所求内切圆半径为，因为，所以令，则，所以，因为，对勾函数在上单调递增，所以，则.所以内切圆半径的范围为.19.已知，（1）当时，证明：；（2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）证明：对任意的正整数，总有.（1）证明：，，则，定义域为令，则.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以当时.所以得证.（2）解：设.若对任意的，恒成立，则恒成立.又，设，则，且有，（i）当，时，显然中，则恒成立；（ii）当，时，，则单调递增，.所以在单调递增，所以，所以恒成立；（iii）当，时，，则单调递增，又，则