吉林省吉林地区普通高中2025-2026学年高一上学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省吉林地区普通高中2025-2026学年高一上学期期末调研测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，所以.故选：C.2.设命题，则命题为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由命题，得命题，即命题为：.故选：A.3.已知函数，那么（）A. B.0 C.1 D.4【答案】C【解析】，.故选：C.4.为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】选项A：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项A正确；选项B：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项B错误；选项C：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项C错误；选项D：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项D错误；故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，对于A，，，，即，故A错误；对于B，，即，故B错误；对于CD，，即，故C错误，D正确．故选：D．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，即，解得.故选：A.7.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数与在上均是单调增函数，所以函数是上的单调增函数，因为，，又函数的图象连续不间断，所以函数的零点所在的区间为.故选：B.8.已知函数在区间内恰有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，则，又因为函数在区间上恰有2个零点，则，解得，所以的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件【答案】AD【解析】对于A和B：因为，所以，所以“”是“”的充分条件，而时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确B错误；对于C和D：因为，所以或或均为0，此时不一定为0，而时，且，此时，所以“”是“”的必要不充分条件，C错误D正确.故选：AD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数的图象关于点中心对称D.函数在上单调递增【答案】ABD【解析】由图象可知，，所以，由可得，.又函数最大值为2，最小值为，且，所以.因此.又函数图象过，所以，函数在上单调递增，故，也即，又，所以.因此函数解析式为.选项A：，A正确；选项B：正弦型函数的对称轴应满足，解得，当时，，故直线是对称轴，B正确；选项C：令，解得，即对称中心为因为不存在整数，使得，所以点不是对称中心，C错误；选项D：令，解得，所以函数的单调递增区间为，当时，递增区间为，又，所以函数在上单调递增，D正确.故选：ABD.11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（）A.函数为奇函数B.函数的图象关于点成中心对称图形C.若函数的图象关于点中心对称，且与的图象共有2026个交点，记为，则D.的解集为【答案】BCD【解析】对于A：因为函数，所以函数.令，所以，所以函数不是奇函数，A错误；对于B：因为，令，由于，所以为奇函数，即为奇函数，根据题意中函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．所以函数的图象关于点成中心对称图形，B正确；对于C：因为关于对称，也关于对称，且两个函数图象的交点个数为偶数，所以对称中心不是其交点，则，若，则，则交点的对称点也是交点，因此每对交点满足，即每对对称交点各自的坐标之和的总和为.2026个交点共1013对，所以总和为2026，C正确；对于D：，令，则或或，所以.因为，所以当时，要使不等式成立，则.解得或，又，所以；所以当时，要使不等式成立，则.解得，又，所以；综上，不等式的解集为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最小值为______．【答案】4【解析】已知，根据基本不等式可得，当且仅当，即时取等号.故答案为：4.13.点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为_______．【答案】【解析】设，由题意可知，且点在第二象限，所以，，所以，故答案为：.14.“长征”系列运载火箭为分级火箭，是中国自主研发的运载火箭．火箭方程描述了火箭速度增量与排气速度，初始质量和最终质量之间的关系，对于分级火箭，总速度增量是各阶段速度增量之和．一枚两级火箭，第一级火箭的排气速度，点火前总质量与燃烧结束质量比值为5；第二级火箭的排气速度，为了保证该火箭总速度增量不低于第一宇宙速度，则第二级火箭初始质量和最终质量比至少为_______．（）【答案】【解析】设第一级、第二级火箭速度增量为，第二级火箭初始质量和最终质量比为，，为了保证该火箭总速度增量不低于第一宇宙速度，则，即，解得，所以，第二级火箭初始质量和最终质量比至少为．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知．（1）求的值；（2）若为第三象限角，求及的值．解：（1）因为，所以，将分子分母同时除以，.（2）已知，且在第三象限，所以.由，设，，其中.由可得，解得，则，.所以.16.已知关于的不等式的解集为或．（1）求a，b的值；（2）当时，，求的最小值．解：（1）由题意得，，是方程的两根，且.则，解得.（2）当时，，由（1）得，，所以，当且仅当，且，即时等号成立，所以的最小值为.17.已知函数．（1）求的最小正周期，并求的最大值以及取得最大值时的集合；（2）若，求的值．解：（1）由题意，所以的最小正周期，由正弦函数的图象和性质可得当，即，时，取得最大值1，综上的最小正周期为，最大值为1，取最大值时的集合为.（2）由（1）可得，且，所以，余弦值为负，所以，所以，即.18.已知函数为偶函数，函数．（1）求实数的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数，若，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）已知函数为偶函数，则，即，则，即；（2）由（1）可知，所以，定义域为，因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增，所以函数在定义域内单调递增，若不等式恒成立，则恒成立，即，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数的取值范围为；（3）若，使得成立，则，由（2）可知，，函数为开口向下的抛物线，对称轴为，当时，函数在区间上单调递减，所以，不满足题意舍去；当时，函数在区间上单调递增，所以，则，解得，因为，所以；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，则，解得或，因为，所以此时无解；综上，实数的取值范围为.19.对于连续函数定义域为I，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点．已知函数，函数．（1）求函数的不动点；（2）若函数在上恰有2个不动点，求实数a的最小值；（3）．求函数的不动点，若函数有不动点，求实数m的取值范围．解：（1）当，使得，则称为函数的不动点，即方程的解，为函数的不动点，则，化简得，当时，解得或，所以函数的不动点或.（2）由，得，当时，即，化简得，当函数在上恰有2个不动点，即方程在上恰有2个解，当时，，由正弦函数性质可知，当时，，当时，，则当方程在上恰有2