吉林省吉林市毓文中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省吉林市毓文中学2025-2026学年高一下学期期中考试试题一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A2.已知向量，，若与共线，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D3.如图，是水平放置的的直观图，，则原△的面积为（）A. B. C.6 D.8【答案】A4.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则【答案】C5.在中，A，B，C所对的边分别为，，，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A6.如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（）A. B.C. D.【答案】A7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（）A.12 B. C.16 D.【答案】A8.已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4【答案】B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题正确的有（）A.长方体是平行六面体B.正四棱柱是正方体C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.棱台的侧面是梯形【答案】ACD10.在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（）A.若，则为等腰三角形或直角三角形B.若，则是锐角三角形C.若为锐角三角形，则D.若有两解，，，则【答案】ACD11.下列说法正确的是（）A.已知向量，，且，则B.向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件C.若，、分别表示、的面积，则D.在中，向量与满足，且，则为等边三角形【答案】AD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量的夹角为，则___________.【答案】13.已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______.【答案】14.已知是锐角的外接圆圆心，则实数的值为_____.【答案】四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值；（2）已知，求；（3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值．解：（1）由于为纯虚数，故且，解得.（2）,则.（3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根，故，即，则，因此且，解得，.16.在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求该三角形的周长；（3）若，，为的平分线，求的长．解：（1）因为，由正弦定理，可得，整理得，所以，即，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，即，又因为，所以.（2）由（1）知：且的面积为，可得，可得，因为，由余弦定理知，可得，可得，解得，所以的周长为.（3）因为为的平分线且，可得，由，可得，又因为，可得，整理得，所以.17.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由．（1）证明：平面，且平面；又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，.（2）证明：取PA的中点G，连接EG，BG；因为E，G，为PD，PA中点，所以，且；又因为，，所以，且；所以为平行四边形；所以；又因为平面，平面，所以平面.（3）解：在上存在的中点使得平面平面，证明如下：取的中点，连接CF，EF；因为E，F，为PD，AD中点，所以；又因为平面，平面，所以平面；又因为平面，且，平面；所以平面平面；在上存在点使得平面平面．18.如图，某区有一块的空地，其中，．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求人工湖用地的面积是假山用地面积的倍，试确定的大小；（3）如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？解：（1）因为，所以．在中，，，，由余弦定理，得，即．因为，所以，，所以是正三角形，其周长为6，即防护网的总长度为．（2）设，因为，所以，即．在中，由，得．由，得．因为，所以，，即．（3）设，由（2）知．在中，由，得，所以，当，即时，的面积最小，且最小值为．19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．（1）分别根据下列已知条件求：①，；②，；（2）若向量（，，），证明：；（3）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值．（1）解：因为，，因为，故不共线，又，所以；又，，所以，故共线，所以.（2）证明：当，不共线时，；当，共线时，，因为向量，共线，所