初中三年级数学《相似三角形的判定（二）》教案

初中三年级数学《相似三角形的判定（二）》教案一、教学目标知识与技能：掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理；能准确识别“两边成比例”和“夹角相等”的条件；能运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决相关的证明和计算问题（如通过判定相似求对应边的长度）。过程与方法：通过类比全等三角形“边角边”判定定理，经历“猜想—验证—总结”的定理探究过程，体会“类比迁移”思想（从全等的“边相等”到相似的“边成比例”）；在运用定理时，培养“对应关系”意识（明确成比例的两边和对应的夹角）。情感态度与价值观：感受几何定理的逻辑性（条件与结论的严谨对应），体会“边和角结合”判定相似的合理性；通过定理应用，增强几何推理的条理性。二、教学重难点重点：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理；运用该定理判定三角形相似（准确找出成比例的两边和对应的夹角）。难点：定理中“夹角”的理解（必须是成比例两边的夹角，而非任意角）；复杂图形中识别“对应边”和“对应夹角”（避免将非夹角的角当作对应角）。三、教学准备多媒体课件：展示全等三角形“边角边”与相似三角形“两边成比例且夹角相等”的对比图、定理推导的动态演示（两边成比例且夹角相等时第三边成比例）、例题图形（标注成比例的边和相等的夹角）、反例图（两边成比例但非夹角相等时不相似）。教具：可调节边长和角度的三角形模型（能固定两边比例和夹角相等）、直尺（测量边长）、量角器（测量角度）。练习题：基础题（判断是否满足定理条件）、提升题（结合定理证明相似并计算）。四、教学过程（一）导入：从“全等判定”引相似判定（5分钟）教师提问：“全等三角形的‘边角边’判定定理是什么？（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）如果将‘边相等’改为‘边成比例’，能否判定三角形相似？今天我们学习相似三角形的第二种判定定理——两边成比例且夹角相等。”（二）新授：判定定理的“内容与验证”（20分钟）定理内容文字表述：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。符号表示：在△ABC和△A'B'C'中，若\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k（k为比例系数），且∠A=∠A'（AB与AC的夹角，A'B'与A'C'的夹角），则△ABC∽△A'B'C'。定理验证（几何直观）演示：在几何画板中画△ABC，再画△A'B'C'，使\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=2，∠A=∠A'=60°。观察：测量第三边BC与B'C'的比（等于2），对应角∠B=∠B'、∠C=∠C'，两三角形相似。反例：若两边成比例但夹角不相等（如\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=2，∠A=60°，∠A'=90°），则两三角形不相似（角度不对应相等）。关键强调“夹角”必须是成比例两边的夹角（如AB与AC的夹角是∠A，A'B'与A'C'的夹角是∠A'）；若相等的角不是夹角（如成比例的边是AB、AC，相等的角是∠B），则无法判定相似。（三）例题：定理的“应用示范”（15分钟）例题1（直接应用定理）已知：在△ABC和△DEF中，AB=4cm，AC=6cm，DE=2cm，DF=3cm，∠A=∠D=50°，判断两三角形是否相似。解答：①计算边的比例：\frac{AB}{DE}=\frac{4}{2}=2，\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2→\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}；②确定夹角：∠A是AB与AC的夹角，∠D是DE与DF的夹角，且∠A=∠D；③由判定定理：△ABC∽△DEF。例题2（结合公共角判定）已知：如图，\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}，求证：△ADE∽△ABC。证明：①∵\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}（已知）；②又∵∠A=∠A（公共角，且是AD与AE、AB与AC的夹角）；③∴△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等）。例题3（计算对应边长度）已知：△ABC∽△DEF，\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{2}{3}，∠A=∠D，AB=4cm，AC=5cm，求DE和DF的长。解答：①由\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}得\frac{4}{DE}=\frac{2}{3}→DE=6cm；②由\frac{AC}{DF}=\frac{2}{3}得\frac{5}{DF}=\frac{2}{3}→DF=7.5cm。易错点解析误将非夹角当作对应角：认为“两边成比例且任意一角相等”就能判定相似（错误，如两边成比例但相等的角是其中一边的对角，不满足夹角条件）。对策：在图形中标注成比例的两边，用弧线标出它们的夹角，明确“夹角”的位置。对应边比例错误：将AB与DF作比、AC与DE作比（比例不相等，对应关系错误）。对策：按“AB对应DE，AC对应DF”的顺序找对应边，确保比例一致。（四）练习：定理的“综合应用”（15分钟）基础练习（判断）①在△ABC和△A'B'C'中，\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=1.5，∠B=∠B'，则两三角形______（相似）；②在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=60°；在△DEF中，DE=4，DF=6，∠D=120°，则两三角形______（不相似，夹角不相等）。提升练习（证明与计算）已知：如图，\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}，∠BAD=∠CAE，求证：△ABD∽△ACE。证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE；又∵\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}，∴△ABD∽△ACE（两边成比例且夹角相等）。讨论：“两边成比例且其中一边的对角相等，两个三角形一定相似吗？”（不一定，展示反例图：如AB=2，AC=4，DE=1，DF=2，∠B=∠E，但三角形不相似）（五）总结：判定定理二的“核心要点”（5分钟）教师梳理：“今天学习的判定定理可以总结为‘一个定理、两个条件、一个关键’：一个定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两个条件：①两边对应成比例；②这两边的夹角对应相等（缺一不可）；一个关键：‘夹角’是成比例两边的夹角，非任意角。应用时要先确定对应边，再找对应夹角，避免混淆条件。”五、课堂练习（10分钟）选择题：下列条件中，能判定△ABC∽△DEF的是（）A.\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}，∠B=∠EB.\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}，∠A=∠DC.\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}，∠A=∠DD.\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}，∠C=∠F答案：C（两边成比例且夹角相等）填空题：已知△ABC∽△DEF，\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}，AB=4，AC=5，∠A=70°，则DE=，DF=，∠D=______°（6；7.5；70）解答题：已知：在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，∠B=60°；DE=3，EF=4，∠E=60°，判断两三角形是否相似，并说明理由（相似，\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=2，且∠B=∠E是夹角）。六、板书设计相似三角形判定定理（二）及示例一、判定定理二内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似符号表示：在△ABC和△A'B'C'中，∵\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}，∠A=∠A'∴△ABC∽△A'B'C'条件解读：两边成比例：对应边的比相等（如AB对应A'B'，AC对应A'C'）夹角相等：成比例两边的夹角（∠A是AB与AC的夹角）二、反例警示（不满足定理的情况）错误类型示例结论非夹角相等\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}，但∠B=∠B'（非夹角）不相似夹角不相等\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}，但∠A≠∠A'不相似三、例题解析例1：判断相似已知：AB=4，AC=6，DE=2，DF=3，∠A=∠D判断：△ABC与△DEF是否相似解：\frac{AB}{DE}=\frac{4}{2}=2，\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2→比例相等∠A是AB、AC的夹角，∠D是DE、DF的夹角且∠A=∠D∴△A