2025-2026西南师大版高三数期末测验卷

2025-2026西南师大版高三数期末测验卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

2025-2026西南师大版高三数期末测验卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域是

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-∞,-1)∪(3,+∞)

D.R

2.若复数z=1+i满足z²+az+b=0，则实数a和b的值分别为

A.a=2,b=2

B.a=-2,b=2

C.a=2,b=-2

D.a=-2,b=-2

3.在等差数列{aₙ}中，若a₅=10，a₁₀=25，则该数列的通项公式为

A.aₙ=3n-8

B.aₙ=2n+3

C.aₙ=5n-10

D.aₙ=4n-15

4.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

5.若函数f(x)=sin(x+π/3)的图像向右平移φ个单位后与原图像重合，则φ的最小正值为

A.π/3

B.2π/3

C.π

D.2π

6.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²=b²+c²-bc，则角A的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

7.设函数f(x)=x³-3x+2，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为

A.6,-2

B.6,0

C.4,-2

D.4,0

8.若向量a=(1,2)，b=(3,k)的夹角为钝角，则实数k的取值范围是

A.k<3/2

B.k>3/2

C.k<-2

D.k>-2

9.在直角坐标系中，点P(a,b)到直线x+2y-1=0的距离为√5，则a²+b²的值为

A.5

B.10

C.25

D.30

10.已知样本数据：3,5,7,9,11，则该样本的中位数和方差分别为

A.7,4

B.7,9

C.8,4

D.8,9

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-2)，则a+b+c的值为

2.复数z=2-3i的模长为

3.在等比数列{bₙ}中，若b₁=1，b₄=16，则该数列的公比为

4.圆x²+y²-6x+8y-11=0的半径长为

5.函数f(x)=cos(2x-π/4)的最小正周期为

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的余弦值为

7.设函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)在区间[-3,3]上的最小值为

8.向量a=(2,-1)，b=(-1,3)的向量积为

9.直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于两点，则k的取值范围是

10.已知一组数据：4,x,6,8,10的众数为6，则这组数据的平均数为

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的有

A.y=2^x

B.y=log₁/₂(x)

C.y=x²

D.y=-x³

2.关于复数z，下列说法正确的有

A.若z²是实数，则z一定是实数

B.若z₁+z₂是实数，则z₁和z₂互为共轭复数

C.若|z|=1，则z²也是单位复数

D.若z₁²=z₂²，则z₁=z₂或z₁=-z₂

3.下列数列中，一定是等差数列的有

A.aₙ=n²

B.aₙ=2n-1

C.aₙ=3n+1

D.aₙ=aₙ₋₁+d(n为正整数，d为常数)

4.下列直线中，与圆x²+y²-4x+6y-3=0相切的有

A.x=1

B.y=-1

C.2x+3y=6

D.x+y=0

5.下列函数中，周期为π的有

A.y=sin(2x)

B.y=cos(π/2-x)

C.y=tan(x)

D.y=sec(x)

6.在△ABC中，下列条件能确定唯一一个△ABC的有

A.边a=3，边b=4，角C=60°

B.边a=5，边c=7，角B=45°

C.边b=6，角A=30°，角B=60°

D.边a=4，边b=5，边c=6

7.下列向量中，与向量a=(1,2)平行的有

A.b=(2,4)

B.c=(-1,-2)

C.d=(3,6)

D.e=(2,0)

8.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a²>b²

B.若a²>b²，则a>b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b>0，则√a>√b

9.下列曲线中，是椭圆的有

A.x²/9+y²/4=1

B.x²-y²=1

C.4x²+9y²=36

D.x²/4+y²/9=1

10.下列统计量中，不受极端值影响的有

A.平均数

B.中位数

C.众数

D.方差

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2

2.若复数z满足z²=z，则z一定是0或1

3.在等差数列中，若aₙ=a₁+(n-1)d，则该数列的任意三项aₘ,aₙ,aₚ(其中m<n<p)也成等差数列

4.圆x²+y²=1与直线x-y=1相切

5.函数f(x)=tan(x)的图像关于原点对称

6.在△ABC中，若a²=b²+c²，则△ABC一定是直角三角形

7.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上的图像关于原点对称

8.向量a=(1,0)与向量b=(0,1)的向量积为(1,0)

9.若函数f(x)在区间I上单调递增，则其反函数也在区间I上单调递增

10.样本数据：3,4,6,7,8的中位数为6

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的顶点坐标为(0,-2)，求a,b,c的值

2.已知复数z=a+bi(a,b为实数)，若|z|=5且arg(z)=π/3，求z的代数形式

3.在等比数列{bₙ}中，若b₁=2，b₄=16，求b₃与b₅的值

4.求函数f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π]上的单调递增区间

5.在△ABC中，若边a=5，边b=7，角C=60°，求边c的长度

6.已知向量a=(3,-2)，向量b=(-1,4)，求向量a+b与向量a-b的坐标

7.求圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标和半径长

8.判断函数f(x)=|x-2|在区间[1,3]上的单调性

9.已知样本数据：2,4,4,6,8，求这组数据的平均数和方差

10.若直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于两点，求k的取值范围

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域要求x²-2x+3>0，解不等式得(x-1)²+2>0，对任意x∈R恒成立，故定义域为R。

2.B

解析：z²+az+b=0，z=1+i代入得(1+i)²+a(1+i)+b=0，即1+2i-1+a+ai+b=0，即(a+b)+(2+a)i=0，实部虚部分别为0，解得a=-2,b=2。

3.C

解析：a₅=a₁+4d=10，a₁₀=a₁+9d=25，两式相减得5d=15，d=3，代入a₅得a₁+12=10，a₁=-2，故通项公式aₙ=a₁+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5。

4.C

解析：圆方程x²+y²-4x+6y-3=0配方得(x-2)²+(y+3)²=16+9-3=22，圆心坐标为(2,-3)。

5.B

解析：函数f(x)=sin(x+π/3)的周期为2π，要使图像向右平移φ个单位后与原图像重合，需满足f(x-φ)=f(x)，即sin((x-φ)+π/3)=sin(x+π/3)，φ+π/3=k2π，k∈Z，最小正φ为2π/3-π/3=π/3。

6.C

解析：a²=b²+c²-bc，利用余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，比较得-2bc*cosA=-bc，cosA=1/2，A=60°。

7.A

解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-10，f(-1)=5，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=6，最大值为6，最小值为-10。

8.A

解析：向量a与b的夹角为钝角，则a·b<0，a·b=1*3+2*(-k)=3-2k<0，k>3/2。

9.C

解析：点P(a,b)到直线x+2y-1=0的距离d=|a+2b-1|/√5=√5，|a+2b-1|=5，a+2b=6或a+2b=-4，a²+b²=(a+2b)²-4ab=36-4ab，要使a²+b²最小，ab需最大。设a=6-2b，ab=b(6-2b)=-2(b-3)²+18，当b=3时，ab最大为18，此时a²+b²=36-72+18=18。另一种情况a+2b=-4，ab最大为8，此时a²+b²=16-32+8=2，故a²+b²的值为18。

10.A

解析：样本排序为3,5,7,9,11，中位数为第3个数7，方差s²=[(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²]/5=[16+4+0+4+16]/5=40/5=8。修正：计算错误，方差应为(16+4+0+4+16)/5=40/5=8。题目中选项A为7,4，与计算不符。重新计算：(3-7)²=16,(5-7)²=4,(7-7)²=0,(9-7)²=4,(11-7)²=16,方差=(16+4+0+4+16)/5=40/5=8。题目选项有误。

二、填空题答案及解析

1.-1

解析：f(1)=a(1)²+b(1)+c=a+b+c，将顶点(1,-2)代入f(x)得f(1)=a(1)²+b(1)+c=a+b+c=-2。

2.√13

解析：|z|=√(2²+(-3)²)=√(4+9)=√13。

3.2

解析：b₄=b₁q³，16=1*q³，q³=16，q=2。

4.5

解析：圆方程配方得(x-3)²+(y+3)²=3²+4²-(-11)=9+16+11=36，半径r=√36=6。修正：计算错误，应为√(36-11)=√25=5。

5.π

解析：函数f(x)=cos(2x-π/4)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

6.√2/2

解析：角A=60°，角B=45°，角C=180°-60°-45°=75°，cosC=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4=√2/4。修正：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4=(√3-1)/(2√2)。题目要求余弦值，cosC=(√3-1)/(2√2)。

7.5

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|，在区间[-3,-1]上f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；在[-1,1]上f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；在[1,3]上f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。f(x)在[-1,1]上恒为2，最小值为2。修正：在[-1,1]上f(x)=2。在[-3,-1]上f(x)=-2x-2，最小值为-2(-1)-2=0。在[1,3]上f(x)=2x，最小值为2(1)=2。故最小值为min{0,2}=0。题目选项有误。

8.(-6,8)

解析：a×b=(1,2)×(-1,3)=1*3-2*(-1)=3+2=5。修正：向量积计算错误，a×b=(1,2)×(-1,3)=1*3-2*(-1)=3+2=5。向量积结果应为标量5，不是(-6,8)。题目选项有误。

9.k<-2√2或k>2√2

解析：直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交，圆心(0,0)到直线kx-y+1=0的距离d=|1|/√(k²+1)≤2，√(k²+1)≥1/2，k²+1≥1/4，k²≥-3/4，对任意k成立。修正：应为|1|/√(k²+1)≤2，√(k²+1)≥1/2，k²+1≥1/4，k²≥0，k∈R。题目条件不构成相交关系，无法得到k范围。

10.6

解析：众数为6，即出现次数最多的数为6。平均数=(4+x+6+8+10)/5=(28+x)/5。要使平均数为6，需(28+x)/5=6，28+x=30，x=2。平均数=(4+6+6+8+10)/5=34/5=6.8。修正：平均数计算错误。数据为4,x,6,8,10，众数为6，x必为6。平均数=(4+6+6+8+10)/5=34/5=6.8。题目选项有误。

三、多选题答案及解析

1.A,D

解析：y=2^x单调递增；y=x²在[0,+∞)单调递增；y=log₁/₂(x)单调递减；y=-x³单调递减。

2.A,C,D

解析：若z²是实数，z=a+bi，z²=a²-b²+2abi，若为实数则2abi=0，b=0，z=a为实数。若|z|=1，则z=cosθ+isinθ，z²=cos(2θ)+isin(2θ)，也是单位复数。若z₁²=z₂²，则(a₁+bi₁)²=(a₂+bi₂)²，a₁²-b₁²+2a₁bi₁=a₂²-b₂²+2a₂bi₂，实部虚部分别相等，得a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，2a₁b₁=2a₂b₂，即(a₁-a₂)(a₁+a₂)=0，(b₁-b₂)(b₁+b₂)=0，所以a₁=a₂且b₁=b₂或a₁=-a₂且b₁=-b₂，即z₁=z₂或z₁=-z₂。B错，z₁+z₂为实数，则2a₁b₁=0，不一定b₁=b₂。

3.B,C,D

解析：aₙ=2n-1，aₙ₋₁=2(n-1)-1=2n-3，aₙ-aₙ₋₁=(2n-1)-(2n-3)=2，为常数，是等差数列。aₙ=3n+1，aₙ₋₁=3(n-1)+1=3n-2，aₙ-aₙ₋₁=(3n+1)-(3n-2)=3，为常数，是等差数列。aₙ=aₙ₋₁+d，是等差数列定义。aₙ=n²，aₙ-aₙ₋₁=n²-(n-1)²=2n-1，不是常数，不是等差数列。

4.A,B

解析：圆心(2,-3)，半径√(2²+(-3)²)=√13。直线x=1到圆心距离为|2-1|=1<√13，相切。直线y=-1到圆心距离为|-3-(-1)|=|-2|=2<√13，不相切。直线2x+3y=6即2x+3y-6=0，到圆心距离d=|2*2+3*(-3)-6|/√(2²+3²)=|4-9-6|/√13=|-11|/√13>√13，不相切。直线x+y=0即x+y=0，到圆心距离d=|2+(-3)|/√(1²+1²)=|-1|/√2<√13，相切。

5.A,B,C

解析：y=sin(2x)的周期T=2π/2=π。y=cos(π/2-x)=sin(x)，周期为2π。y=tan(x)的周期为π。y=sec(x)=1/cos(x)，周期为2π/|ω|，若cos(x)的ω=1，周期为2π。若cos(x)的ω=-1，周期为-2π，周期为2π。故周期为π的有y=tan(x)。

6.A,B,D

解析：A，a²=b²+c²且C=60°，由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cos60°=b²+c²-bc，所以bc=0，b=0或c=0，不可能，故唯一确定。B，a=5,c=7,B=45°，由正弦定理a/sinA=c/sinC，5/sin60°=7/sin45°，sinA=5*√2/(2*7)=