分数阶微分记忆谱与相空间重构：量价特征时序平稳化与几何建模的联合升维选股模型

证券研究报告•金融工程深度报告机器学习应用系列量价特征时序平稳化与几何建模的联合升维选股模型——分数阶微分记忆谱与相空间重构摘要特征及其以何种形式进入模型，而这决定了模型能学特征升维角度进行两种不同方式的优化：其一，频单条序列展开为多档记忆谱，将特征历史记忆长度如迹，恢复被扁平化丢失的几何结构。本文从分分数阶差分记忆谱网络：FDS模型以GL分数阶差分在五档候选阶数上构建记每个特征配置可学习的记忆旋钮，融合输出与基线输入逐元素同构。经回测A等权指数年化超额收益率22.51%，相对基线模型提升4pp。相空间轨迹，以共享动力编码器沿延迟坐标维读形、经GRU多头最大回撤较FDS降低接近9pp。递归注意力偏置网络：RAB模型将几何路径相空间距离矩阵以−λ29.90%较FSDE降低1pp，多头组合回撤表现较前代模型进一步提升。Lyapunov谱系状态门控网络：LSG模型继承Lyapunov分析的相空间近邻框架，定义相对稀有度表示为门控状态，若当前状态突破自身历史形42.02%，相对万得全A等权指数年化超额收益率25.76%，多头组合年化收益相对RAB模型提升1.5pp，多空组合年模型，但最大回撤有所增大。风险提示：报告对应的相关结论完全基于公也不能保证未来的可持续性，亦不构成投资收益的保证或投资建议。西南证券研究院西南证券研究院执业证号：S1250522110001邮箱：zhengll@执业证号：S1250525100004邮箱：zhcy@相相关研究1.科技成长景气轮动与量化择时模型(2026-09-14)2.拥挤退潮，均衡而行——2026年第三季度金融工程策略报告(2026-08-28)到可复现策略的完整实践(2026-08-26)4.基于拥挤度的动态分域行业配置策略——微观结构异质性与因子有效性边界研究(2026-07-09)5.随机签名方法的时序特征提取与量化投资应用(2026-06-29)6.双轨最优传输分布纠偏与对抗生成式因子挖掘模型(2026-06-17)7.T2RL：端到端深度强化学习因子挖掘与组合优化框架(2026-04-01)8.从眼到手：OpenClaw如何究模式(2026-03-22)9.基于BLACK-LITTERMA产择时与风格轮动的资产配置研究(2026-02-26)10.多重周期嵌套下关注多主线与风格轮动再平衡——2026年度资产与基金组合配置策略(2026-01-09)机器学习应用系列1前言 11.1特征处理与结构识别的双重任务 11.2分数阶微分与GL分数阶差分 21.3Takens嵌入定理与相空间重构 31.4递归图理论与递归注意力偏置 41.5混沌理论与Lyapunov指数 51.6模型相关设定 62分数阶差分记忆谱网络 73相空间延迟嵌入网络 114递归注意力偏置网络 165Lyapunov谱系状态门控网络 206指数增强 246.1因子有效性检验及风格相关性检验 246.2沪深300指数增强策略 256.3中证1000指数增强策略 276.4中证500指数增强策略 287总结与展望 308风险提示 31图1：分数阶差分计算示意（假设时序长度5，分数阶数d=0.5） 8图2：FDS分数阶差分记忆谱网络 9 10图4：FDS模型因子分组-绝对净值 10图5：FDS模型因子分组测试-相对净值 10图6：FDS模型因子多头分年度净值 11图7：相空间延迟嵌入过程示意 12图8：FSDE相空间延迟嵌入网络 13图9：FSDE模型因子IC 14图10：FSDE模型因子分组-绝对净值 14图11：FSDE模型因子分组测试-相对净值 15图12：FSDE模型因子多头分年度净值 15图13：相空间距离矩阵D示意 16图14：RAB递归注意力偏置网络 17图15：RAB模型因子IC 18图16：RAB模型因子分组-绝对净值 18图17：RAB模型因子分组测试-相对净值 19图18：RAB模型因子多头分年度净值 19图19：Kantz分离曲线示意 20图20：LSG-Lyapunov谱系状态门控网络 21图21：LSG模型因子IC 22图22：LSG模型因子分组-绝对净值 22图23：LSG模型因子分组测试-相对净值 23图24：LSG模型因子多头分年度净值 23图25：LSG沪深300指数增强表现 25图26：LSG沪深300指数增强超额滚动回撤 25图27：LSG沪深300指数增强表现（近一月） 26图28：LSG沪深300指数增强表现（近三月） 26图29：LSG沪深300指数增强表现（近一年） 26图30：LSG沪深300指数增强表现（近三年） 26 27图32：LSG中证1000指数增强超额滚动回撤 27图33：LSG中证1000指数增强表现（近一月） 28图34：LSG中证1000指数增强表现（近三月） 28图35：LSG中证1000指数增强表现（近一年） 28图36：LSG中证1000指数增强表现（近三年） 28图37：LSG中证500指数增强表现 29图38：LSG中证500指数增强超额滚动回撤 29图39：LSG中证500指数增强表现（近一月） 29图40：LSG中证500指数增强表现（近三月） 29图41：LSG中证500指数增强表现（近一年） 30图42：LSG中证500指数增强表现（近三年） 30表1：不同差分处理方式的特性对比 3表2：Lyapunov指数与模型处理含义 6表3：模型训练特征 6表4：FDS模型因子测试效果 9表5：FDS模型因子10分组表现 9表6：FDS模型因子多头分年度超额表现 11表7：FSDE模型因子测试效果（对比前代模型FDS） 13表8：FSDE模型因子10分组表现 14表9：FSDE模型因子多头分年度超额表现 15表10：RAB模型因子测试效果（对比前代模型FSDE） 18表11：RAB模型因子10分组表现 18表12：RAB模型因子多头分年度超额表现 19表13：LSG模型因子测试效果（对比前代模型RAB） 22表14：LSG模型因子10分组表现 22表15：LSG模型因子多头分年度超额表现 23表16：各模型因子测试效果 24表17：各模型因子Barra因子风格相关性检验 24表18：沪深300指数成分股因子测试 25表19：沪深300指数增强策略回测结果 25表20：LSG沪深300指数增强策略分区间回测结果 26表21：中证1000指数成分股因子测试 27表22：中证1000指数增强策略回测结果 27表23：LSG中证1000指数增强策略分区间回测结果 27表24：中证500指数成分股因子测试 28表25：中证500指数增强策略回测结果 28表26：LSG中证500指数增强策略分区间回测结果 29机器学习应用系列111前言1.1特征处理与结构识别的双重任务当前深度学习因子挖掘工作大致可以分为三大部分内容：特征处理、模型搭建以及训练方式。针对模型搭建过程，西南金工于2025年5月发布报告《PINN信息约束与时序截面双流网络选股模型》，其中提到用Transformer以及GAT网络搭建的时序截面双流网络模型；针对模型训练方式，西南金工于2026年6月发布报告《双轨最优传输分布纠偏与对抗生成式因子挖掘模型》，其中根据最优传输分布理论搭建针对模型多头的特殊损失函数，以及最优传输损失解耦形式的WGAN对抗训练方式。本文则主要针对“特征处理”问题进行深入研究。在金融时间序列建模中，模型表现的提升很多时候来自于输入特征以何种形式进入模型，而这往往决定了模型能够学习到的信息边界。量价、资金流、波动率及相关衍生指标虽然包含了丰富的市场信息，但这些信息通常混杂在非平稳趋势、长记忆依赖、噪声扰动和潜在非线性结构之中。若直接将原始序列输入模型，模型需要同时承担去噪、平稳化、记忆筛选和结构识别等多重任务，训练难度随之上升，泛化能力也容易受到影响。因此本文认为特征处理方式问题可以细分为如下两个层面：第一个层面是统计性质的处理，关注单序列的长记忆与平稳性。金融时序特征普遍存在均值、方差或分布形态随时间变化的现象，常规一阶差分虽能削弱趋势并改善平稳性，却会同时压缩序列中的长期记忆；完全保留原序列则可能将非平稳趋势误识别为可预测信号。因此，特征处理需要在平稳化与记忆保留之间建立连续可调的权衡机制。这一权衡的思想根源，可追溯至一个与金融无关的领域：水文学中对河流长期径流规律的观测。1951年，水文学家HaroldHurst在研究尼罗河水库容量设计问题时发现，尼罗河流量的长期波动幅度并不符合当时通行的随机游走假设。按照该假设，序列增量应相互独立，波动幅度应随时间的平方根增长；但尼罗河流量的实际波动表现出比这一假设更强的持续性。这一发现后来发展为重标极差分析方法。1963年，Mandelbrot在研究棉花期货价格时，发现价格变化的分布存在正态假设无法解释的厚尾现象，并注意到价格波动在不同时间尺度下呈现出相似的统计结构，即自相似性。他借助Hurst此前提出的统计量，将分形几何的语言系统地引入价格序列分析，这一工作经由Peters等人在1990年代进一步发展为分形市场假说，确立了Hurst指数与R/S分析作为刻画金融序列长记忆强度的标准工具。第二个层面是动力学结构的识别，关注如何从单一标量观测中还原背后的系统结构。单一观测序列只是市场系统在某个维度上的投影，其背后可能存在由多种状态变量共同驱动的高维演化过程。若缺少对这一潜在结构的显式刻画，模型只能依靠参数规模从数据中间接学习，结构信息的利用效率较低。这一思路的源头来自于气象学对大气系统可预测性的研究。1961年，气象学家Lorenz在重新运行一个大气对流数值模型时，发现输入数据舍入误差导致的极小差异，会在系统演化中被迅速放大，最终导致完全不同的结果，这一现象后来被称为对初始条件的敏感依赖，是混沌系统区别于规则系统的核心特征。1980年前后，Packard、Crutchfield、Farmer与Shaw等人提出，可以借助单一标量观测序列的延迟坐标，经验性地重构出背后动力系统的状态空间；1981年，数学家FlorisTakens为这一经验做法给出了严格证明，即Takens嵌入定理。1990年，Sugihara与May在《Nature》发表的研究，利用延迟坐标嵌入方法对生22态与流行病学时间序列进行非线性预测，展示了这套工具在真实、含噪数据上的实际效力，也带动了此后一段时期学界围绕金融市场是否存在类似低维混沌结构展开的争论与检验。进入机器学习阶段后，两个层面的问题又重新连接到同一个实际问题上。LópezdePrado于2018年出版的《AdvancesinFinancialMachineLearning》一书，将分数阶差分系统地引入量化特征工程，用于处理整数阶差分对长期记忆的压缩问题；与此同时，深度学习中以结构先验偏置注意力得分的做法，也为将动力系统重构的诊断结果转化为可训练的模型组件提供了工程路径。Grünwald-Letnikov分数阶差分为特征平稳化提供可调阶数的处理工具，服务于不同特征的历史保留与差分阶数选择。Takens嵌入定理与相空间重构为一维特征升维提供理论保证，递归图理论及递归注意力偏置将相空间中的状态相似关系转化为可供神经网络利用的结构先验，混沌理论与Lyapunov指数则进一步刻画序列的可预测性边界。由此，本章形成一条相对完整的技术路线：一方面通过记忆诊断与分数阶平稳化改善特征质量，另一方面通过相空间升维、递归结构编码和混沌诊断增强模型对序列内在结构的识别能力。差分是时间序列分析中最常见的平稳化工具。对序列Xt做一阶差分，可以写为ΔXt=Xt−Xt−1。这一操作能够有效削弱趋势项，使许多原本非平稳的序列更接近平稳过程。但从信息处理角度看，一阶差分也是一种强约束滤波，它主要保留相邻两期之间的变化，而更长周期的依赖关系却被大幅压缩。对于具备长记忆特征的金融变量，例如波动率、成交活跃度、资金流强度等，过强的差分处理会使模型失去一部分可利用的历史信息。分数阶微积分提供了介于不差分与整数阶差分之间的连续处理方式。其思想可追溯至17世纪末Leibniz与L'Hôpital关于半阶导数的讨论：如果一阶导数和二阶导数有明确定义，那么半阶导数是否同样具有数学意义。此后，Riemann、Liouville、Grünwald、Letnikov等人从不同路径发展出分数阶微分的形式化定义。其中Grünwald-Letnikov定义最适合离散时间序列，因为它直接以加权差分的形式给出，可自然用于金融特征的前置处理。对序列，阶数为d的GL分数阶差分可表示为：其中(,)为广义二项式系数，权重可通过递推式0=1、=−1(−1−)/k计算。在实践中，由于远期滞后权重会逐渐衰减，通常按照权重阈值或最大回看长度对无限求和进行截断。GL分数阶差分的关键在于阶数d可以在0到1之间连续取值。当d=0时，序列基本保持原始形态，记忆保留最充分，但平稳化能力较弱；当=1时，GL形式退化为常规一阶差分，平稳化能力最强，但长期记忆保留最少；当0<<1时，历史观测以逐渐衰减的权重参与当前值计算，形成介于二者之间的处理方式。相较于整数阶差分对历史信息的硬切断，分数阶差分更像是对历史记忆施加连续衰减，从而保留一部分长周期依赖。33处理方式平稳化能力记忆保留适用情形原始序列=0较弱最强序列本身接近平稳，或希望完整保留趋势信息一阶差分=1较强较弱趋势显著、长记忆信息相对有限的序列分数阶差分0<<1可调可调需要同时控制非平稳性与历史记忆损失的序列1.3Takens嵌入定理与相空间重构经过平稳化与记忆诊断后，特征的统计性质得到改善，但金融序列的另一个重要问题仍然存在：观测到的单变量序列往往只是复杂系统的低维投影。价格变化可能同时受到流动性、风险偏好、交易拥挤度、资金约束和外部冲击等变量影响，但在建模时，研究者常常只能直接观察到其中一部分变量。若仅从标量序列本身出发，模型所看到的是压缩后的轨迹，尚未包含驱动轨迹形成的完整状态。相空间是动力系统理论中用于描述系统状态的抽象空间，为刻画上述问题提供了恰当的数学语言。若一个系统的演化规律可以写成状态向量()关于自身的常微分方程/= ()，则()所在的空间即为该系统的相空间，其维度等于唯一确定系统未来演化所需的独立状态变量个数，系统随时间的演化对应相空间中的一条轨迹。以一个简化的价格动态为例：若某一价格类指标的变化率同时取决于其当前水平与近期净买卖压力的大小，那么完整刻画这一系统的状态就需要同时给出价格水平与净买卖压力两个坐标，二者共同构成一个二维的相空间；而实际可观测到的往往只有价格这一个坐标，其余状态变量并不直接可见。相空间的重构问题，其难点正是能否仅从这类不完整的标量观测出发，还原出完整状态所在的相空间结构。（2）Takens嵌入定理Takens嵌入定理正是为这类相空间重构问题提供理论支撑。在一定条件下，即使只能观测到高维动力系统的一个标量函数，也可以通过该标量序列的延迟坐标恢复原系统的相空间结构。这一定理使从单变量时间序列重构潜在状态空间成为具有数学保证的方法，而不只是经验性的滞后拼接。Takens定理表明，若原始动力系统具有有限维吸引子，并且观测函数满足一般性条件，则当嵌入维度足够大时，由延迟坐标构造出的相空间轨迹能够与原系统状态空间保持拓扑等价。常见表述中，嵌入维度可参考≥2+1的条件，其中表示原吸引子的维度。这里所说的一般性条件，是一个测度意义上的通用性结果：除了观测函数与延迟时间的选择恰好落入某些特殊退化情形之外（其在全部可能的选择中只占测度为零的一小部分延迟坐标向量到原系统状态空间之间几乎总是存在一个光滑可逆的对应关系。而这可以进一步说明重构轨迹能够在几何结构上等价于真实轨迹。经过合适的延迟嵌入后，原本看似一维的时间序列可以展开为高维状态向量，且该向量保留了原系统的关键几何结构。44（3）延迟坐标的构造与嵌入参数选择给定标量观测序列Xt，选取延迟时间τ与嵌入维度m，可构造延迟坐标向量：=(,−,−2,…,−(−1))和的选择直接影响重构效果。延迟时间的常见选择依据是互信息法：计算Xt与Xt+τ之间的互信息I(τ)，该指标衡量二者之间包括非线性关系在内的整体依赖程度。过小时，与+几乎重复同一份信息，构造出的延迟坐标彼此高度相关，携带冗余；过大时，二者的动力学关联趋于消失，延迟坐标之间近乎独立，无法反映系统的连续演化。实践中通常取()首次出现局部极小值时对应的，作为兼顾信息量与独立性的折中选择。嵌入维度m的常见选择依据是伪近邻法：在维嵌入下为每个状态点寻找最近邻点，再将嵌入维度提高至+1，观察该近邻点与原状态点的距离是否显著增大。若距离显著增大，说明这一近邻关系是嵌入维度不足所致的伪近邻，即两个在低维投影中偶然靠近、但在真实状态空间中并不相邻的点；若增加维度后近邻关系依然稳定，则说明该近邻是真实的。逐步提高直至伪近邻比例趋近于零，所得到的维度即可作为的估计。关联维数估计（Grassberger-Procaccia算法）作为另一种方法，其从相空间中点对距离的标度行为出发，独立给出吸引子维度d的另一种估计方式，可与伪近邻法相互印证。相空间重构之后，序列不再只是时间轴上的一串数值，而是一条在高维空间中演化的轨迹。接下来的问题是，如何识别这条轨迹中是否存在周期、自相似、状态回访或混沌纹理等结构。如果系统的演化是确定性的，或者接近确定性，那么相空间中两条距离足够近的轨迹，在此后一段时间内也会保持接近，二者的分离速度取决于系统自身的动力学性质。这一性质意味着，如果能在历史轨迹中找到与当前状态足够接近的时刻，那么该历史时刻此后的演化路径，就可以为当前状态接下来可能的演化提供参考，这一方法通常称为类比预测法。递归图理论，正是将这种寻找历史类比的过程系统化、可视化的工具。递归图由Eckmann等人在1987年提出，目的正是将相空间轨迹中的重复状态可视化。其基本思想很直接：如果系统在两个不同时刻处于相近状态，那么这两个时刻之间存在一次递归。给定相空间状态向量Yi与Yj，递归矩阵可定义为：其中ϵ为距离阈值，Θ为阶跃函数。当两个状态之间的距离小于阈值时，=1，表示系统在时刻与处于相近状态，构成一次递归，系统在这两个时刻处于足够接近、可以彼此视为历史对比的状态；否则，=0。将所有组合为矩阵并绘制成图，即得到递归图。不同类型的系统会在递归图中呈现出不同的纹理：周期系统通常形成规则的平行对角线，具有趋势漂移的系统可能出现递归密度的局部变化，混沌系统常表现出局部规则与整体不规则并存的纹理，接近随机的序列则更接近离散散点。55递归图还可以进一步发展为递归定量分析。常见指标包括递归率、确定性、平均对角线长度和层流性等。递归率衡量状态回访的整体频率，确定性衡量递归点形成对角线结构的比例，平均对角线长度与系统在相近演化轨迹上保持一致的时间有关。这些指标为比较不同特征的结构复杂度提供了可量化依据。递归图本身偏向可视化与诊断：它们判断的是某条序列整体上是否存在、以及存在多少可供类比的结构，但并未给出在预测某一具体时刻时，应当如何动态地利用这些类比。若要将其纳入神经网络，需要将二值递归关系转化为连续、可微且可参与训练的形式。递归注意力偏置则可以理解为递归图理论在注意力机制中的工程实现。具体而言，可以用相空间距离构造软递归分数，例如：或采用高斯核形式：距离越近，分数越高。随后，将该分数作为加性偏置注入自注意力得分：(,)∝(/sqrt()+)在这一构造下，注意力机制对历史时刻的加权，不再仅由查询向量与键向量之间习得的相关性决定，还会受到相空间中状态相似程度的引导：与当前状态构成历史类比的时刻，会在注意力计算中获得更高的先验权重。这一构造可以看作是对类比预测法的一种可微分、可训练的推广：递归图给出的是历史类比关系的硬性判断，递归注意力偏置给出的是同一关系的连续化表达，并将其交由神经网络在训练中权衡使用。前一节讨论的类比预测方法隐含一个前提：找到的历史类比时刻，其后续演化会在一段时间内保持与当前时刻相近，这段时间越长，类比的参考价值就越大。但这段时间本身是有限的，其长度由系统的动力学性质决定，而这正是混沌理论所要回答的问题。混沌理论中，对初始条件的敏感依赖，即Lorenz提出的蝴蝶效应现象，是许多确定性系统本身固有的动力学属性。Lyapunov指数正是用于定量刻画这种敏感依赖强度的工具，其严格定义为：λ=limt→∞lim‖δY(0)‖→0(1/t)·ln(‖δY(t)‖/‖δY(0)‖)其中λ为最大Lyapunov指数。其含义为：相空间中两条初始无限接近的轨迹，其间距随时间增长的平均指数速率。在实际估计中，由于观测数据长度有限且含有噪声，通常改用近似关系；设相空间中两条初始距离为||(0)||的邻近轨迹，经过时间t后距离近似满足：当>0时，邻近轨迹以指数速度分离，初始误差会被持续放大，系统具有混沌性；当=0时，系统处于临界状态，误差既不快速收敛，也不快速发散；当<0时，邻近轨迹趋于收敛，系统表现出更强稳定性。对预测任务而言，λ的大小直接关系到可预测视野。66最大Lyapunov指数越大，历史信息对较远未来的解释力衰减越快；最大Lyapunov指数越小，序列状态在较长时间内保持可追踪的可能性越高。最大Lyapunov指数动力学含义>0邻近轨迹指数发散，混沌性较强=0临界或准周期状态<0轨迹趋于收敛，结构相对稳定以上讨论的最大Lyapunov指数，只是完整Lyapunov谱中的第一项。对于嵌入维度为m的相空间，理论上共存在个Lyapunov指数λ1≥λ2≥⋯≥λm，分别刻画相空间中个相互正交方向上邻近轨迹的平均分离或收敛速率，其中最大的λ1即为前文所讨论的最大Lyapunov指数。1.6模型相关设定本文训练模型所需要用到的时序特征信息如下：表3：模型训练特征序号特征中文名称特征助记符特征计算方法1开盘价open开盘价2收盘价close收盘价3最高价最高价4最低价最低价5成交量vol成交量6均价vwap均价7日换手率turnoverrate日换手率85日指数移动平均线910日指数移动平均线20日指数移动平均线离差值dif10_20信号线dea7基于过去7日DIF值的指数移动平均规模size股票总市值的自然对数非线性市值no_linear_sizesize因子的三次方对size因子的正交增量股票超额收益日序列和市值加权指数超额收益日序列进行WLS的回归系数，beta表示股票相对于指数涨跌的弹性大小账面市值比book_to_price上个季度公司净资产除以公司当前的市值盈利earning_yield0.68倍的盈利预期加上0.21倍的现金流量比加上0.11倍的历史盈利市值比成长growth0.18倍的长期利润率预期加上0.11倍的短期净利润预期加上0.24倍的长期历史净利率加上0.47倍的长期历史销售率杠杆leverage0.38倍的市场杠杆加上0.35倍的资产负债比加上0.27倍的账面杠杆77序号特征中文名称特征助记符特征计算方法流动性0.35倍的月度换手率加上0.35倍的季度换手率加上0.3倍的年度换手率动量长期动量减去短期动量，采用指数加权移动平均方法残差波动率0.74倍的超额收益率化波动加上0.16倍的年度超额收益率离差加上0.1倍模型训练方式等其他模型设定如下：（1）训练数据：所有个股过去10年内的时序特征，预测标签未来10日的累计收益；（2）训练集验证集比例：80%：20%；（3）时序尺度选择：40天；（4）数据处理：时序标准化（与最后一个时间步比值），截面标准化（均值标准差）。（5）模型训练设定：每年末滚动历史10年数据重新训练模型，未来一年测试。例如2025年1月1日至2025年12月31日为测试集。本文展示所有回测结果均为测试集测试结果（样本外）；（6）调仓频次及交易费率：调仓频次10日频；交易费率双边千4；（7）模型超参数：batch=截面个股数，lr=5e-5，损失函数1-IC；所有模型均采用三个不同的随机数种子训练后取平均。2分数阶差分记忆谱网络深度学习因子挖掘的基线模型通常采用“数据预处理+序列编码”的两段式范式：输入特征经标准化后直接进入Transformer编码器，输出截面因子得分。该范式在输入端存在一个长期被忽视的结构性不足，即记忆-平稳性两难。金融特征是高度非平稳的，价格序列携带趋势，量能序列携带漂移，而经典时序建模要求序列平稳以保证训练稳定与分布一致。传统做法只能在两个端点之间硬选：保留原始序列（趋势完整但不平稳，训练易受分布漂移干扰或做一阶差分（彻底平稳但抹去趋势，这恰恰是趋势承载着大量收益信息）。更隐蔽的问题在于一刀切：23个输入特征的最优记忆长度本应不同，比如价格的趋势持久，成交量的噪声快速衰减，而固定整数阶差分必然对大部分特征并不是最优解决方案的，而基线模型的Transformer只能被动读取预处理好的序列，对各个特征的输入时间窗口固定，没有任何“记忆调节”的自由度，这往往也可能是量价类深度学习模型瓶颈所在。针对上述不足，本节的分数阶差分记忆谱网络提出两点优化：其一，以分数阶差分谱完成第一级升维——对候选阶数集合D={0,0.25,0.5,0.75,1.0}中各阶分别计算GL加权序列并堆叠为谱张量[batch,40,23,5]，在频率域展开“记忆选项”，把“该记住多少”从建模假设变成摆在明面上的选项；其二，以可学习的d注意力为每个特征配置记忆旋钮——融合输出与基线输入逐元素同构（[batch,40,23]），下游模型端不做改动，且当所有特征的旋钮收敛至0时模型自动退化为基线，安全网天然存在。机器学习应用系列机器学习应用系列请务必阅读正文后的重要声明部分本章所需的理论基础来自分数阶微积分。Grünwald-Letnikov(GL)分数阶差分给出d阶差分的离散化定义：其中Wk=(-1)k·d(d-1)…(d-k+1)/k!,表示d阶分数阶差分中分配值的权重，即广义二项式系数。其权重语义构成记忆谱的理论支柱，d=0时仅当期权重为1(即为原样保留);d=1时退化为普通一阶差分(只留增量);0<d<1时权重按幂律衰减，构成"部分记忆",因此d越接近0则记忆越长。同时对特征f的谱融合采用高斯核注意力：特征f的最终序列里，第d档分数阶差分序列记忆版本的权重占比，经softmax归一化后连续可微，可参与端到端的损失函数梯度下降。GL权重序列并构造卷积矩阵，谱构建在GPU上以卷积矩阵并行完成(每只股票、每个特征、每个阶数的加权和);其次在模型侧实现d注意力(μ及σ以可学习参数进行初始化),码器，取末时间步经融合头输出因子得分，训练采用截面IC损失。请务必阅读正文后的重要声明部分特征升维特征升维d维自适应注高斯权重个股时序特征谱维加权融合5个阶次d取最后时间步特征降维收益预测0.1128,多头组合年化收益率为37.95%,相对万得全A等权指数年化超额收益率22.51%,表现。(IC测试中“***”、“**”、“*”分别代表参数在1%、5著,下同，不再特殊强调。除特殊说明外，多头组合表现对比基准均为万得全A等权指数)表4:FDS模型因子测试效果单边10日从分组角度来看，多头组合(组1)年化收益率37.95%,最大回撤40.07%;空头组合 (组10)年化收益率-27.95%,最大回撤93.42%;多空组合(组1/组10)年化收益率91.47%,最大回撤17.33%,具备一定单调性。表5:FDS模型因子10分组表现10请务必阅读正文后的重要声明部分10年化波动多/空从相对万得全A等权指数的超额情况来看，FDS模型多头组合于2024年2月超额波动仍然较大，但2026年7月后，FDS模型超额弹性表现较好。整体来看FDS多头组合2024年后相较于2024年前超额波动有所变大。请务必阅读正文后的重要声明部分分年度来看，FDS模型多头组合自2019年至2026年8月近8年均跑赢万得全A等权指数，其中2021年相对万得全A等权年化超额收益率24.46%,超额最大回撤5.14%;2022全年相对万得全A等权年化超额收益率28.18%,超额最大回撤仅1.97%。FDS因子多头组合今年以来表现优于基线模型，2026年初至8月14日，累计超额收益率12.17%,超额最大回撤6.37%,其中基线模型累计超额收益率9.11%,超额最大回撤率8.49%。分年度对比来看，FDS模型因子多头组合均跑赢基线模型多头组合。3相空间延迟嵌入网络图6:FDS模型因子多头分年度净值点在状态空间中移动留下的轨迹，轨迹的弯曲(动量变化)、递归(状态回访)、发散(状时，这些几何结构全部隐没于数值关系之中。更具体地，位置编码只能告诉模型“两个时刻相隔几天”(时间距离),却无法告诉它“两个时刻的状态有多接近”(状态距离),可以理解为两个相隔多个交易日、但市场状态相似的时刻，在标准注意力构性联系优势，即状态相似性只能经由QK内容匹配被间接、有损地捕捉，且依赖模型从数据中学到这一关联。“这次和上次很像”这一技术分析命题，分数阶差分构上难以显式捕捉。成第二级升维，具体做法为对每个特征取今天、3、6、9、12天前"五个值打包为五维坐标，为用一层小卷积沿延迟坐标维滑动读形，23个特征共享同一个卷积核，把每个(时刻，特征)将几何路径与时序路径的输出特征拼接并进入融合头。根据动力系统与拓扑学相关内容，Whitney(1936)嵌入定理保证任意m维光滑流形可光滑嵌入R2m,即升维可以保证不丢信息；Takens(1981)将这一保证具体化为延迟重构：设一个维度为d的动力系统产生状态序列，观测到其标量投影X,则延迟坐标向量机器学习应用系列后的第四维特征的维数。在m≥2d+1时与原状态流形微分同胚，完整保留。此处d是隐藏动力系统的状态空间维度，即描述系统完整状态所需的独立变量个数。对于个股收益预测数据而言，产生序列的真实系统有多少自由度难以获取，因此d本身近邻法确定并受定理下界约束。本文取T=3、m=5,嵌入需额外(m-1)t=12天以保证最后的延迟坐标向量时序长度满足40天。图7:相空间延迟嵌入过程示意(a)一维观测序列与延迟采样(T=3,m=5)(b)相空间重构轨迹(五维状态投影到三维)时刻t(交易日)形状变化：单特征序列[40]→延迟坐标向量[40,5];整批输入[N.40.23]→[N.40.23.5](每只股票、每个特征各有一条五维相空间轨迹；红色点=最后时刻t=39的状态)此外，本文使用1维卷积神经网络共享动力编码器对相空间延迟嵌入特征的延迟维m行读形运算：h=Covn1d₁→32,k=3(x(回看(40+12)与双谱设计，其中时序路径沿用FDS的40天谱(与FDS逐元素一致，保证时序侧零漂移),几何路径用52天谱，嵌入输出完整40步与时序路径逐位对齐；其次，嵌入本身是纯切片操作(零参数、零学习),在GPU进行Takens嵌入；再次，几何路径依次经过共享卷积读形、GRU时间聚合；最后，两路径向量特征拼接进入融合头，端到端以截面IC损失训练。请务必阅读正文后的重要声明部分请务必阅读正文后的重要声明部分特征升维特征升维几何路径延迟嵌入的时序信息52天回看d维自适应注意差分谱构建5个阶次d时序路径[batch,40,23][batch,4谱维加权融合升维特征处理降维取最后时间步0.1132,多头组合年化收益率为40.96%,相对万得全A等权指数年化超额收益率24.79%,平均单边换手率0.58X。整体来看，FSDE模型多头组合相对于FDS模型多头组合年化收益提升3pp,IC表现几乎没有提升。可以看出在输入端将原始三维特征经Takens延迟嵌入以在维持截面IC的同时有效改善模型的多头组合表现。单边10日请务必阅读正文后的重要声明部分图9:FSDE模型因子IC从分组角度来看，多头组合(组1)年化收益率40.96%,最大回撤31.18%;空头组合(组10)年化收益率-28.51%,最大回撤93.49%;多空组合(组1/组10)年化收益率97.19%,最大回撤17.02%,具备一定单调性。且多头组合最大回撤表现显著优于前代FDS模型，空头组合收益与回撤表现同样优于前代FDS模型。表8:FSDE模型因子10分组表现从相对万得全A等权指数的超额情况来看，FSDE模型多头组合于2024年2月虽然仍然具备较大的超额波动，但波动幅度明显小于前代FDS模型，但2026年7月后，FSDE模型超额弹性表现较好。整体来看FSDE多头组合同样于2024年后相较于2024年前超额波动有所变大。请务必阅读正文后的重要声明部分图11:FSDE模型因子分组测试-相对净值分年度来看，FSDE模型多头组合自2019年至2026年8月近8年均跑赢万得全A等权指数，其中2021年相对万得全A等权年化超额收益率30.74%,超额最大回撤3.04%;2023全年相对万得全A等权年化超额收益率33.85%,超额最大回撤仅2.59%。表9:FSDE模型因子多头分年度超额表现FSDE因子多头组合今年以来收益表现优于FDS模型，超额波动表现提升明显。2026年初至8月14日，累计超额收益率14.06%,优于FDS超额收益的12.17%,超额最大回撤率4.81%,其中FDS超额收益的12.03%,超额最大回撤率6.37%。分年度对比来看，自2019年至今接近8年内，除2019年与2022年以外，其余几年FSDE因子多头组合均跑赢FDS因子多头组合。机器学习应用系列4递归注意力偏置网络否相似；注意力矩阵的每一个元素只由QK内容但没有把形状信息直接交给注意力。相空间距离矩阵D(深色=状态相近)对角线三自身(距率23距离小(深色)其一，以连续递归图度量状态距离，具体做法为跨23个特征平均的相空间距离矩阵，即其中D(t,s)表示时刻t与时刻s在相空间中的状态距离，取值越小场状态越相近；F为特征数，Z(t)为特征f在时刻t的延迟坐标向量；请务必阅读正文后的重要声明部分其三，λ为每层一个的可学习标量并以clamp约束λ≥0,保证语义方向不可逆，距离只能抑制注意力，λ=0时递归偏置完全失效，注意力行为退化为相空间延迟嵌入模型。根据非线性时间序列分析相关内容，Eckmann(1987)提出递归图：R(t,s)=0(ε-||x(t)-x其中R(t,s)为递归图在时刻对(t,s)处的取值，1表示两个时刻状态重复、0表示不重于阈值记为1、否则记为0"的二值化。递归图的纹理编码系统的确定性、周期与状态转换，态远离；位置编码提供时间距离，递归偏置提供状态距离，两者互补而不冲突。图14:RAB递归注意力偏置网络特征升维特征升维升维特征处理降维几何路径进行低维映射取最后时间步d维自适应注意取最后时间步注意力注入时序路径(递归注意力偏置)延迟嵌入时序信息差分谱构建5个阶次d谱维加权融合52天回看本节测试递归注意力偏置网络(RecurrenceAttentionBias,RAB)的表现。自2019年1月至2026年8月，RAB模型模型因子10日调仓IC(以RankIC表征)均值为0.1152,多头组合年化收益率为40.51%,相对万得全A等权指数年化超额收益率24.38%;与此同时，RAB因子多头组合最大回撤29.90%,平均单边换手率0.59X。整体来看，RAB模型多头组合相对于FDS模型多头组合年化收益基本没有提升，同时IC表现提升效果并不显著,请务必阅读正文后的重要声明部分请务必阅读正文后的重要声明部分请务必阅读正文后的重要声明部分同状态检索),可以在维持截面IC的同时有效改善模型多头组合的最大回撤表现。表10:RAB模型因子测试效果(对比前代模型FSDE)单边10日从分组角度来看，多头组合(组1)年化收益率40.51%,最大回撤29.90%;空头组合(组10)年化收益率-29.89%,最大回撤94.47%;多空组合(组1/组10)年化收益率100.41%,最大回撤16.90%,具备一定单调性，且RAB因子多空组合表现、多头组合最大回撤表现显表11:RAB模型因子10分组表现请务必阅读正文后的重要声明部分从相对万得全A等权指数的超额情况来看，RAB模型多头组合于2024年2月虽然仍有一定的超额波动，但2026年7月后，RAB模型超额弹性表现较好。整体来看RAB多头组合同样于2024年后相较于2024年前超额波动有所变大。图17:RAB模型因子分组测试-相对净值分年度来看，RAB模型多头组合自2019年至2026年8月近8年均跑赢万得全A等权指数，其中2021年相对万得全A等权年化超额收益率29.44%,超额最大回撤3.12%;2023全年相对万得全A等权年化超额收益率30.02%,超额最大回撤仅3.43%。表12:RAB模型因子多头分年度超额表现图18:RAB模型因子多头分年度净值RAB因子2019年及2022年显著跑赢，其余年份小幅跑输FSDE因子。其中2019年跑赢FSDE因子5.34%,2022年跑赢FSDE因子多头组合4.97%。RAB因子多头组合今年以来收益表现小幅跑输FSDE因子，超额波动表现提升明显。2026年初至8月14日，累计超额收益率13.45%,跑输FSDE超额收益的14.06%。请务必阅读正文后的重要声明部分机器学习应用系列5Lyapunov谱系状态门控网络λ=lim.(1/t)·In(lli(CIl/分离，λ<0表示轨道收敛。但传统的Lyapunov指数计算需要无限长的时间，具体操作下以Kantz(1994)近邻方法进行局部估计，其中Kantz近邻方法可表示为在相空间里为每个时刻找k个近邻，跟踪它们在多个时间跨度△t后的分离距离，取对数平均形成分离曲线S(△t),具体公式如下：表示局部的Lyapunov指数估计值，截距水平S(0)表(a)近邻对的分离过程(相空间轨迹)相空间坐标1(x_t)S(△t)(动态分离速率)s(0):近邻初始距离(水平项=稀有度)(ts)时间跨度△t(天)此处本文取水平项作为门控状态，主要原因包含以下几点特征波动率的截面排序相关约0.44,相关性较高，而截距项与波动率相关性仅0.24,相关性相对较低；其次，门控环节主要为了捕捉当前状态是否携带新的信息，而截距项表示最近邻与当前状态的初始距离，即刻画了当前状态与历史状态的差距，差距越大表示当前状态相对于历史状态新的信息越多。特征升维特征升维升维特征处理降维几何路径(状态激活门控)延迟嵌入时序信息取最后时间步特征拼接预测头d维自适应注意注意力注入时序路径(递归注意力偏置)构建归一化距离矩阵DGL分数阶差分谱构建5个阶次d52天回看自归一化取最后时间步用以度量状态的信息含量，改变量计算步骤如Step1:计算前文递归偏置注意力相空间距离矩阵D;Step2:取相空间距离矩阵D的最后一行，该行表示T日的状态到过去40个历史时刻的距离，同时排除自身，剩余39个候选距离；Step3:在39个历史距离中找最近的k个，表示和T日最像的k个时刻，对这k个元素取平均值，得到相对稀有度r_rel。相对稀有度r_rel刻画了T日状态在量价时序特征相空间状态下的稀有程度。若r_rel小则，表示T日在时间序列上能找到相空间状态较近的先例，空间状态和T日的差别仍然很大。其次，本文在几何路径上对几何路径特征进行系数放大：近等于1,模型退化为前代递归偏置注意力模型RAB。请务必阅读正文后的重要声明部分请务必阅读正文后的重要声明部分请务必阅读正文后的重要声明部分本节测试Lyapunov谱系状态门控网络Lyapunov-LineageStateGatingNetwork,LSG)的表现。自2019年1月至2026年8月，LSG模型模型因子10日调仓IC(以RankIC表征)均值为0.1167,多头组合年化收益率为42.02%,相对万得全A等权指数年化超额收益率25.76%,平均单边换手率0.59X。整体来看，LSG模型多头组合相对于RAB模型多头组合年化收益提升1.5pp,IC表现几乎没有提升，但最大回撤率有所增大。可以看出在几何何发言权，可以在小幅提升多头组合表现，但同表13:LSG模型因子测试效果(对比前代模型RAB)单边10日从分组角度来看，LSG因子多头组合(组1)年化收益率42.02%,最大回撤33.37%;空头组合(组10)年化收益率-29.93%,最大回撤94.39%;多空组合(组1/组10)年化收益率102.68%,最大回撤18.55%,可见LSG因子多空组合表现显著优于前代所有优化模型。表14:LSG模型因子10分组表现请务必阅读正文后的重要声明部分A等权指数的超额情况来看，LSG模型多头组合于2024年2月波动幅度模型，但2026年7月后，LSG多头组合同样于2024年后相较于2024年前超额波动有所变大。表15:LSG模型因子多头分年度超额表现分年度来看，LSG模型多头组合自2019年至2026年8月近8年均跑赢万得全A等权指数，其中2021年相对万得全A等权年化超额收益率37.12%,超额最大回撤3.21%;2022全年相对万得全A等权年化超额收益率31.36%,超额最大回撤仅1.30%;2023年相对万得全A等权年化超额收益率30.51%,超额最大回撤3.62%。机器学习应用系列LSG因子多头组合今年以来收益小幅跑输前代RAB模型。2026因子多头组合累计超额收益率12.10%，跑输RAB超额收益率的13.45%，超额最大回撤率5.81%。分年度对比来看，自2019年至今接近8年内，除2019年与2026年以外，其余几年LSG因子多头组合均跑赢RAB因子多头组合。6指数增强6.1因子有效性检验及风格相关性检验下表为前文提到的5个模型在全A范围内的测试结果，回测时间2019年1月至2026Top10%组合年化收益率年化波动率信息比率最大回撤率单边10日平均换手率年化超额收益率基线4.2233.18%24.92%36.38%4.9737.95%25.64%40.07%22.51%40.96%24.18%31.18%24.79%40.51%24.18%29.90%24.38%42.02%24.28%33.37%25.76%与此同时本文测试包括基线模型因子在内的Barra因子风格相关性表现情况，计算方式为不同截面5个深度学习因子与BarraCNE5的10个一级风格因子的相关系数，随后不同截面取平均，测试时间为2019年1月至2026年8月。整体来看，5个深度学习因子主要暴露风格为流动性及残差波动率，与流动性因子相关性绝对值均高于30%，与残差波动率因子相关性绝对值均高于25%；其中分数阶差分优化后的模型在流动性因子及残差波动率上暴露明显超过基线模型，可见FDS模型表现提升主要体现在风格的极致暴露上。但是引入相空间延迟嵌入几何路径后，因子与流动性及残差波动率相关性绝对值有所下降，其中最终优化模型LSG与流动性因子相关性绝对值最小为31.10%，与残差波动率相关性绝对值最小为26.91%，可见后续模型表现提升主要可以归因于学到了除流动性及残差波动率以外的信息。此外与其余四个模型因子相比，LSG因子与除beta、成长因子、杠杆因子以外的7个风格因子相关性绝对值均为最低。-9.52%9.66%-3.42%3.80%-33.91%MOMENTUM-12.92%-29.24%SIZE-13.96%-20.65%-11.95%-3.76%4.78%-36.04%-12.52%-31.42%-14.44%-19.60%-10.65%9.24%-2.92%3.62%-32.41%-10.63%-28.26%-12.14%-17.93%-10.31%9.45%-3.07%3.23%-32.10%-10.88%-28.23%-12.29%-17.45%-10.02%8.71%-2.95%3.29%-31.10%-10.43%-26.91%-12.00%-17.34%请务必阅读正文后的重要声明部分在本节中，本文基于LSG模型构建沪深300指数增强策略。首先在构建指数增强策略之前，本文分别测试了前文中提到的基于基线模型优化的4个模型分别在沪深300指数成分股内表现。1)个股权重偏离：个股权重偏离不超过0.5%;2)行业权重偏离：申万一级行业偏离不超过2%;3)成分股权重限制：指数成分股权重不少于80%;4)交易费率：双边千四；5)回测时间2019年1月至今，10日频调仓，调仓当日以wap价格成交。整体来看，LSG模型沪深300指数增强策略年化超额收益率15.11%。根据LSG指数增强超额表现来看，历史上LSG沪深300指数增强在2021年2月前后、2024年2月至5月以及2025年的8月、2026年6月后均出现较大幅度的超额回撤。全区间超额最大回撤图26:LSG沪深300指数增强超额滚动回撤图25:图26:LSG沪深300指数增强超额滚动回撤表20:LSG沪深300指数增强策略分区间回测结果指数增强(近一年)指数增强(近三年)指数增强(近一月)指数增强(近三月)分区间来看，截至2026年8月14日，LSG模型沪深300指数增强近一个月、三个月、一年、三年超额收益率分别为3.32%、3.07%、8.14%以及13.75%(超过一年计算年化收益率，不足一年计算累计收益率，后续不再赘述)。图27:LSG沪深300指数增强表现(近一月)226-07-162026-07-172026-08-10226-07-162026-07-172026-08-10图图29:LSG沪深300指数增强表现(近一年)图图28:LSG沪深300指数增强表现(近三月)指数收益(近三月)图图30:LSG沪深300指数增强表现(近三年)请务必阅读正文后的重要声明部分请务必阅读正文后的重要声明部分请务必阅读正文后的重要声明部分在本节中，本文基于LSG模型构建中证1000指数增强策略。首先在构建指数增强策略之前，本文分别测试了前文中提到的4个优化模型分别在中证1000指数成分股内表现。表22:中证1000指数增强策略回测结果整体来看，LSG模型中证1000指数增强策略年化超额收益率24.58%。根据LSG指数增强超额表现来看，历史上LSG中证1000指数增强在2024年2月至7月、2026年5月开始出现了较大幅度的超额回撤，超额最大回撤-15.08%,发生于2026年7月初。图31:LSG图31:LSG中证1000指数增强表现202509-19202509-19指数增强(近一年)指数增强(近三年)指数增强(近一月)指数增强(近三月)分区间来看，截至2026年8月14日，LSG模型中证1000指数增强近一个月、三个月、一年、三年超额收益率分别为10.13%、9.21%、9.10%以及13.25%。请务必阅读正文后的重要声明部分图35:LSG中证1000指数增强表现(近一年)图34:LSG中证1000指数增强表现(近三月)2026-05-182026-06-172026-05-182026-06-172026-08-13图36:LSG中证1000指数增强表现(近三年)在本节中，本文基于LSG模型构建中证500指数增强策略。首先在构建指数增强策略之前，本文分别测试了前文中提到的4个模型分别在中证500指数成分股内表现。表24:中证500指数成分股因子测试表25:中证500指数增强策略回测结果请务必阅读正文后的重要声明部分整体来看，LSG模型中证500指数增强策略年化超额收益率17.32%。根据LSG指数增强超额表现来看，历史上LSG中证500指数增强在2024年2月至7月、2026年5月开始出现了较大幅度的超额回撤，其中全区间超额最大回撤12.03%,发生于2026年7月初。图38:LSG中证500指数增强超额滚动回撤图37:LSG中证500指数增强表现图38:LSG中证500指数增强超额滚动回撤2002-10-132023-12-152002-10-132023-12-15226-07-17分区间来看，截至2026年8月14日，LSG型中证500指数增强近一个月、三个月、一年、三年超额收益率分别为7.28%、6.93%、7.67%以及11.48%。表26:LSG中证500指数增强策略分区间回测结果指数增强(近一年)指数增强(近三年)指数增强(近一月)指数增强(近三月)-10.19%图40:LSG中证500指数增强表现(近三月)图39:LSG图40:LSG中证500指数增强表现(近三月)--图41:LSG中证500指数增强表现(近一年)202508-14202509-12202511-19202512-18202508-14202509-12202511-19202512-182211-102211-10—指数增强近一年)指数收益(近一年)2026-04-172026-04-17图42:LSG中证500指数增强表现(近三年)本文围绕量价时序输入特征表达与几何结构利用的命题，从IC损失优化的基线Transformer出发，逐步构建了覆盖频率域、空间域与注意力结构先验的升维方法体系。丢失两大结构性盲区，因子虽具备基本排序能力，但记忆长度在不改动下游结构的前提下，IC均值提升1pp、多头组合年化收益相对基线提升4pp。然后本文继续构建相空间延迟嵌入网络，该模型以Takens延迟嵌入完成空间域升维、提升3pp,多头回撤显著改善；本文进一步构建递归注意力偏置网络，将相空间距离矩阵以步收窄1pp。最后本文构建Lyapunov谱系状态门控网络，该模型回答几何信息何时最有价值，取Kantz分离曲线的截距项为门控状态，定义为相对稀有度，在状态突破自身历史形态的时刻放大几何路径特征，模型多头组合年化收益相对RAB提升1.5pp,多空组合表现显著优于前代所有模型。从记忆谱平稳化到相空间重构再到状态即给输入塞进更明确的升维结构，并且让模型对这份结构的使用越来越有选择性。展望未来有以下几个可以优化的方向：方向一：把寻找相似历史状态的视野拉长。当前模型里检索相似状态这个动作出现在两处：一是递归注意力偏置，每个时刻都在40天窗口内检索与它状态相近的时刻并给予更高注意力；二是稀有度状态，在40天历史中找与今天最像的5个先例来决定门控放大系数。两处共用同一张40×40的距离矩阵，检索视野被这张矩阵锁死在最近两个月；可以考虑将距离矩阵改造成非对称的长记忆结