北京市朝阳区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）

北京市朝阳区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

一、第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

B.不是中心对称图形，故B错误.

C.不是中心对称图形,故C错误.

D.0是中心对称图形,故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.

2.下列事件中，是随机事件的为（）

A.明天太阳从东方升起

B.在抽奖活动中抽中特等奖

C.任意画一个三角形，其内角和是360。

D.骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是7

【答案】B

【解析】【解答】解：A、明天太阳从东方升起，这是必然事件，故A错误.

B、在油奖活动中抽中特等奖，这是随机事件，故B止确.

C、任意画一个三角形，其内角和是360。，这是不可能事件，故C错误.

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D、骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是7,这是不可能事件，故D错

误.

故答案为：B.

【分析】根据在一定条件下可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，分别对A、B、C、D各选项进

行判断即可得答案.

3.将抛物线y=2/向下平移1个单位，得到的抛物线是().

A.y—2x2+1B.y=2x2-lC.y=2(x4-1)2D.y=2(x-l)2

【答案】B

【解析】【解答】将抛物线y=2x2向下平移一个单位，得到的效物线是y=2x2-l,

故答案为：B.

【分析】利用二次函数图象平移的性质：左加右减，上加卜.减原则求解即可。

4.如图，。。中，弦48,CO相交于点P,乙4=40。，LAPD=110°,则乙8的度数为()

B.40°C.60°D.110°

【答案】A

【解析】【解答】解：如图,

vZ71=40°,^APD=110°,

：.Z-D=180°-40°-110°=30°,

Z.B=Z.D,

•••乙8=30°.

故答案为:A.

【分析】根据二角形内角和定理.结合/APD=110°,得/。=1H。。-4。。一11。。=2。。，再根据

圆周角定理得=乙。即可得4B=30°.

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5.用配方法解一元二次方程/+6x+3=0时，将方程化为（x+m）2=n的形式，则n的值为（）

A.12B.9C.6D.3

【答案】C

【解析】【解答】解：・・・/+6x+3=0

.*.x24-6x=—3,

••x2+6x+9=—3+9,

・•・(％+3产=6,

V{x+m)2=n,

/.n=6.

故答案为：C.

【分析】把无2+6%+3=0根据配方法进行配方得（％+3产=6,再根据（x+m）2=〃得n=6即可.

6.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）

A4B4C.|D.*

【答案】A

【解析】【解答】解：列表如下:

正反

正正正正反

反反正反反

共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，

•••两次都是正面向上的概率为1

4

故答案为：A.

【分析】根据题意可列出表格，根据表格得共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，

再根据概率公式求解即可得出答案.

7.如图，点A在。。外，连接。4作线段。4的中点B,以B为圆心，8。为半径作OB,与。。交于两点

C,D,连接AC,AD,OCtOD,则乙。OA均为直角，直线AC,AO是。。的两条切线.得至U乙。C4

/。04均为直角的依据是（）

A.同弧或等弧所对的圆周角相等

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B.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.直径所对的圆周角足直角

D.圆的切线垂直于过切点的半径

【答案】C

【解析】【解答】解：如图，

・.F0是OB的直径,

：.WCA=90°,WDA=90°,

・••得到乙OC440ZZ4均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角,

故答案为：C.

【分析】根据4。是08的直径，得乙。CA=90。，Z.ODA=90°,即可得乙。CA,乙。。4均为直角的依据.直径

所对的圆周角是直角.

8.如图，在正方形48co中，E是AO边的中点，P是48边上的动点（不与点A,B重合），以E为中心，将

线段EP逆时针旋转90°,得到线段EQ.给出下面四个结论:

①"PE="EO：

@AP<AE；

③D,Q两点间距离的最小值大于C,Q两点间距离的最小值;

④点Q到直线/D,BC的距离相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】【解答】解:如图,

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取AB、CO的中点N、M,连接EM、EN、MN、MQ,

♦・•正方形ABC。,

：.AD=CD=AB=BC,CD||AB,乙4=40=90°,AD||BC,

是A。边的中点，AB.CO的中点N、M,

：.DM=CM=DE=AD=AN,

四边形力OMN是矩形，/DEM=LDME=乙AEN=UNE=45°,

：.AD||MN,

:,乙EMN=乙DEM=乙ENM=乙AEN=45°,BCIIAD||MN,

：.EM=EN,/MEN=90。，

•・•以E为中心，将线段EP逆时针旋转90°,得到线段EQ,

；・EQ=EP,Z.QEP=90°,

:•乙MEQ=乙NEP=90。一乙NEQ,

，AMEQ毛△NEP(SAS),

：.Z.EMQ=Z-ENP=45°,

，NEMQ=乙EMN=45°,

・••点Q在直线MN上运动，

①・・・NQEP=^A=90°,

：.^APE=Z.QED=90°-^AEP,故①正确.

②当P在N右边时，如图，

Q

此时4P>AMAN=AE,

・・・4P>AE,故②错误.

③•・•点Q在直线MN上运动，

・••当Q在M点时，D,Q两点间距离取最小值M,C,Q两点间距离取最小值CM,而CM=DM,即D,Q两点

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间距离的最小值等于C,Q两点间距离的最小值；故③错误.

④•・•点Q在直线MN上运动，BC\\AD\\MN,

・••点Q到直线AD,BC的距离相等；故④正确.

综上所述，所有正确结论的序号是①④.

故答案为：B.

【分析】取48、CQ的中点N、M,连接EM、EN、MN、MQ,根据正方形的性质得C。||AB,AD||BC,

AD=CD=AB=BC,=NO=90。，根据E是4。边的中点，AB.CO的中点N、M,得

DM=CM=DE=AD=AN,根据已知条件得△MEQ三△NEP(S4S),根据全等三角形的性质得

LEMQ=Z.EMN=45°,根据NQEP=4人=90。，得乙APE=々QED=90。一44EP即可判断①正确，

当P在M右边时，此时AN=AE,即可得4P>4E,可判断②错误，点Q在直线MN上运动，当Q在

M点时，D,Q两点间距离取最小值M,C,Q两点间距离取最小值CM,而CM=DM,即D,Q两点间距离

的最小值等于C,Q两点间距离的最小值，故③错误，点Q在直线MN上运动，BCIIAD||MN,点Q到直线

AD,BC的距离相等，故④正确.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.在立面直角坐标系中，点P(-2,3)关于原点的对称点Q的坐标为.

【答案】(2,—3)

【解析】【解答】解：点P(-2,3)关于原点对称的点Q的坐标为(2,—3).

故答案为:(2,-3).

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可.

10.方程％2-4=0的根为.

【答案】修=-2,x2=2

【解析】【解答】解：X2-4=0,

Q+2)(无一2)=0,

x4-2=0或久-2=0,

——2,%2=2

故答案是：%1=-2,X2=2.

【分析】把劣-4=0因式分解得(％+2)(%-2)=0,进一步解出即可.

11.若关于汇的一元二次方程/-轨+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为.

【答案】4

【解析】【解答】解：•・•方程有两个相等的实数根，

.*.△=b2-4ac=0,

由/一八+。=0得二次项系数为1,一次项系数为-4,常数项为a,

.\(-4)2-4xlxa=0,16-4a=0,解得Q=4.

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故答案为:4.

【分析】根据方程有两个相等的实数根，得△二房-4川=0,由/-4x+a=0得二次项系数为1,一次项系数为

-4,常数项为a,得（一4）2-4乂1、。=0解得。=4即可.

12.写出一个当%>0时，y随X增大而增大的二次函数表达式.

【答案】y=,（答案不唯一）

【解析】【解答】解：•・♦当%>0时，y随x增大而增大，

・・・二次函数开口向上，对称轴可以取直线％=0,

・.•符合条件的一次函数可以为：y=x2.

故答案为：y=x2.

【分析】通过确定好二次函数的开口方向以及对称轴，再写出任意一个符合条件的二次函数即可.

13.如图，点M的坐标为（-2,1）,将线段OM绕点O顺时针旋转90。得到线段。N,则点N的坐标

为.

【答案】（1,2）

【解析】【解答】解：如图,

过点M作轴于点A,过点N作NBlx轴于点B,则々M40=々NB。=90。,

：-AM=1,AO=2,

根据旋转可得：OM=ON,乙MON=90。,

*：LAOM+LAMO=LAOM+乙BON=90°,

：.^AMO=乙BON,

：.△4OMwZkBNO(/L4S),

：.OB=AM=1,BN=AO=2,

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・・・N点的坐标为(1,2).

故答案为：(1,2).

【分析】过点M作M4_Lx轴于点A,过点N作NB_Lx轴于点B,则乙MA。=々NBO=90。，根据M(—2,l),

得出HM=1,AO=2,根据旋转可得：OM=ON,乙MON=90。,进一步证明△40M三△BN0(44S),得

出。B=4M=1,BN=AO=2,艮］可得出答案.

14.某快递公司为了解11月快递订单准时送达情况，从11月份完成的快递订单中进行了随机抽取，获得的

数据如下：

订单数/份501002007008001000

准时送达的订单数/份4187175610695870

准时送达的订单的频率(保留小数点后三

0.8200.8700.8750.8710.8690.870

位)

若该公司H月份共完成5000份快递订单，则准时送达的订单约份.

【答案】4350

【解析】【解答】解：表格显示，订单数在200份以上时，准时送达的频率介于0.869至0.875之间，且订单

数为1000份时频率为0.870,表明频率已趋于稳定.

・・・0.870作为准时送达的概率估计值，

计算5000份订单的准时送达订单数：5000x0.870=4350份.

故答案为：4350.

【分析】根据表格数据得，订单数在200份以上时，准时送达的频率介于0.869至0.875之间，且订单数为

1000份时频率为0.870,表明频率已趋于稳定.

15.如图，四边形A8C0内接于OO,AD=CD,Z,ABC=135°.若AC=2五，则△力OC的面积

为.

【答案】2日+2

【解析】【解答】解：如图,

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D

B

过点A作/ITICO,

•・•乙4BC=135。，四边形48co内接于O。，

：.Z-ADC=180。-135。=45。,

*：ATLCD,

•••△40T是等腰直角三角形，

：.AT=DTf

：.AT2=AD2-DT2,AT2=AC2-CT2,»\AD2-DT2=AC2-CT2,2DT2=AD2

：.AD=五OT则CT=CD-DT,

'：AD=CD,AC=2瓜

：.2DT2-DT2=8-（CD-DT）2,

•*-DT2=8-（>/2DT-DT）2»

：.DT2=8-（6一1）2。72,

・•・"+（&_1）2。72=8,

?2

.\[（V2_1）+1]DT=8,

・・・（4-2际"=8,贝胆72=

2—V2

••AT2=2-42=4+2正，

xCDxAT=^x五DTxAT=^AT2=亨x（4+2V2）=2&+2,

・•・△/。。的面枳为2立+2,

故答案为：2&+2.

【分析】先过点A作4rlCD,结合四边形力8C0内接于O。，LABC=135°,进一步得△ADT是等腰直角

三角形，^AT2=AD2-DT2,AT2=AC2-CT2,整理得=8—(交。7一。『;，故人72=+2我,

乙•乙

再代入鼻CDKM=鼻五07x”进行计算，即可作答.

乙乙1

16.已知关于x的一元二次方程32_2%+1=0(o>0)的两个实数根分别为771,n(m<n),有下面四个结

论:

①已知二次函数y=ax2-2x+1,若y<0,则x<ni或%>n；

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②在平面直角坐标系xOy中，直线y=2工-1与抛物线y=Q/交点的横坐标分别为小，n.

③不等式。入2<2x—1的解集为771<X<n；

④若m,n都小于2,则a的取值范围是擀VQV1.

q

所有正确结论的序号为.

【答案】②③④

【解析】【解答】解：根据题目可画出草图：

•・•二次函数旷=。/-2%+1中。>0,图像开口向上，与％轴交于点（机,0）和（几0）,

'.y<0时工的取值范围为m<x<n,

・••①错误.

将直线y=2%-1与抛物线y=Q/联立，得方程a/=2x-l,BPax2-2x+1=0,

・・•该方程根为m和九，

・••交点的横坐标为m和九，

，②正确.

将不等式a/<2x—1化为a%2_2%+1<0,

.•.即求y<0时》的取值范围，

由于Q>0,

；・解集为m<X<n,

・••③正确.

二•方程Q--2X+1=0有两个实数根m,n（m<n）,

・•・判别式4=4-4Q>0,得QVl.

Vm,沱都小于2,

；・由于Q>0,当％=2时，y>0,

.\4a-3>0,解得

综上，a的取值范围为文aVI,

・•.④正确.

故答案为：②③④.

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【分析】先画二次函数y=Q--2x+l中Q>0,的草图，;二次函数丫=。/-2%+1中。>0,图像开口向

上，与；v轴交于点(77i,O)和(n,0),得yC。时工的取值范围为772<x<71,即可得①错误，将直线y=2汇—1与抛

物线y=Q/联立，得方程a/=2X-l,HPax2-2x+l=0,因为该方程根为小和九，

得交点的横坐标为m和几，故②正确，将不等式a/<2x-1i^^jax2-2x+1<0,得m<x</故③正确，

方程。/一2》+1=0有两个实数根TH,n(m<n),得判别式』=4-4a>0,得a<1.进一步得，

根据m,n都小于2,综上，Q的取值范围为*VQ<1即可判断④正确.

三、解答题(共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)

17.解方程：x2-4x+3=0.

【答案】解：(X-l)(X-3)=0,

♦=1,%2=3.

【解析】【分析】利用直接开平方法、配方法、分解因式法、公式法解一元二次方程，一般先考虑分解因式法

和直接开平方法。

18.已知m是方程2，+7%-1=0的一个根，求代数式4m2+14血一3的值.

【答案】解：是方程2F+7x-l=0的一个根，

2m2+7m—1=0,

/.2m2+7m=1,

4m2+14m-3=2(2m24-7m)—3=2x1-3=-1.

【解析】【分析】根据m是方程2%2+7%-1=0的一个根得27n2-|-7m=1,再根据4m?+14m-3=2

(2m2+7m)-3=2x1-3=-1即可.

19.在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3.随机摸取一个小球后放

回，再随机摸取一个小球.求下列事件的概率：

(1)两次摸取的小球的标号相同；

(2)两次摸取的小球标号的和等于5.

【答案】(1)解：画树状图如下：

开始

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球标号相同的结果共有3种.

・・.P(两次取出的小球标号相同)=|=1.

(2)解：画树状图如下：

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开始

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸取的小球标号的和等于5的结果有(2,3)和(3,2)2种.

，P(两次摸取的小球标号的和等于5)=j.

【解析】【分析】⑴先画树状图，由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球标号相同的

结果共有3种，再根据概率公式求解即可.

(2)先画树状图，由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸取的小球标号的和等于5的结果有

(2,3)和(3,2)2种，再根据概率公式求解即可.

(1)解：画树状图如下：

开始

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球标号相同的结果共有3种.

・・・P(两次取出的小球标号相同)=1=1；

✓O

(2)解：画树状图如下:

开始

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸取的小球标号的和等于5的结果有(2,3)和(3,2)2种.

・・・P(两次摸取的小球标号的和等于5)=1.

20.已知抛物线y=a(x-/i)2+k上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

X・・・-10123・・・

y•・•0-3-4-30・・・

(1)求该抛物线的表达式;

(2)在平面直角坐标系中画出该抛物线，并直接写出当0WKW4时，y的取值范围.

【答案】(1)解：由表格可知对称轴为x=l,

・••可设抛物线的解析式为y=a(x-l)2-4,

Vx=0时，y=-3,

2

/.-3=a(o-l)-4,解得：Q=1,

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六抛物线的解析式为y=(X-1)2-4=X2-2X-3.

(2)解：当0WxW4时，y的取值范围为：-4WyW5.

【解析】【解答】(2)解：根据表格数据，作图如下，

所以令％=4,y=5,

当0<r<4时，

1•y能取到最小值一4,能取到最大值5-4,

・••当0WxW4时，y的取值范围为：-4WyW5.

【分析】(1)由表格可知对称轴为x=l,设抛物线的解析式为y=Q(x-1)2-4,代入表格数据即可得抛物线

的解析式为y=(X-1)2-4=X2-2X-3.

(2)杈据表格中的数据，作出图像，根据图象得当04x44时，y能取到最小值-4,能取到最大值5-4,即

可得当0WXW4时，y的取值范围为：-4WyW5.

(1)W：由表格可知对称轴为x=1,所以可设抛物线的解析式为y=Q(x-l)2—4,

x=0时，y=-3,

/--3=a(0-l)2-4,

解得：a=1,

・•・抛物线的解析式为y=(X-1)2-4=X2-2X-3.

(2)解：描点，连线，函数图象如图所示，

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由（1）可知y=/-2x-3,对称轴为x=l,

所以令x=4,y=5,

当0工丫44时，

，y能取到最小值-4,能取到最大值5-4,

即一4<y<5.

21.如图，在△48C中，Z-ACB=90°,乙4=30。，以C为中心，将△48。逆时针旋转得到△DEC,其中点

A的对应点为D,点B的对应点为E,点D在线段48的延长线匕判断8C与OE的位置关系，并证明.

如图,

E

：.^ABC=1800-30o-90°=60°,

•・,将△ABC逆时针旋转得到△DEC,其中点A的对应点为D,

：.AC=DC,Z.A=ZFDC=30°,

：.^A=^ADC=30°,

：.^ADE=/.ADC+UDE=乙ABC=60°,

:,BC||DE.

【解析】【分析】根据三角形内角和定理，结合41cB=90。，44=30。，得乙4BC=60。，再根据旋转的性质

得至以。=。。，z_A=z_EDC=30°,进一步得乙A=々ADC=30°,可得=々ABC=60。，即可证明

BCIIDE.

22.如图，将一个矩形纸片盖在。。上，矩形的边与圆交于点A,B,AB=4mm,已知O。的顶端到直线

48的距离为4mm,求。。半径的长.

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连接。上过点。作00148于点。，反向延长。。交。。于点C,设。。半径的长为rmm,

根据题意得：CD=4mm,AB=4mm,

•；0D_AB,

/.AD=BD=2mm,0D=4—r,

在RS40Z）中，有：0A2=0D2+AD2,

•-r2=（4-r）2+22,解得r=楙，

，O0半径的长为争nm.

【解析】【分析】连接。4过点。作00J_AB于点。，反向延长。。交O。于点C,设0。半径的长为厂7?im,

根据题意得：CD=4/71771,AB=4mm,根据垂径定理得力。=BD=2mm,0D=4-r,再根据勾股定理得

/=（4-r）2+22计算即可.

23.小军同学计划为一幅长10寸，宽9寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有

关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍，若画框所占

面积为创意画面积的热则摆台画框的左、右边宽度应是多少？

10寸

【答案】解：设摆台画框的左、右边宽度为x寸，则上、下边宽度为2%寸，

已知创意画的长为10寸,宽为9寸,则创意画的面积为10x9=90平方寸,

画框所占面积为创意画面积的义,

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•••画框的面积为90x|=30平方寸，

••・画框与创意画的总面积为90+30=120平方寸，

v带画框的整体长为10+2xX2=(10+4%)寸，宽为(9+2%)寸，

(104-4x)(9+2%)=120,解得％1=劣，%2=-4(不合题意，舍去)，

・••摆台画框的左、右边宽度为4寸.

【解析】【分析】设摆台画框的左、右边宽度为工寸，则上、下边宽度为"寸，根据已知创意画的长为10寸，

宽为9k则创意画的面积为10x9=90平方寸，再根据画框所占面积为创意画面积的义，得画框的面积为

90x2=30平方寸，进•步得画框与创意画的总面积为90+30=120平方寸，根据带画框的整体长为

10+2丫乂2=(10+4%)寸，宽为(9+2%)寸，可列方程(10+4x)(9+2%)=120,解出即可.

24.如图，点。在以A8为宜径的半圆。上，过点C作半圆。的切线，交8月的延长线于点O,过点A作CO的平行

线，交半圆。于点E.

(1)求证：AC=CE,

(2)连接8C,交AE于点、F,连接4C,OF,若4D=AC=百，求EF的长及。尸的长.

连接。C,

•••OC是半圆。的切线,

:•乙DCO=90°,

•••DCIIAE,

•••OC1AE,

AC=CE.

（2）解:如图,

-：AD=AC,

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Z.D=乙DCA,

Z-CAO—2乙D,

又04

Z.0CA=Z.0AC-2zD,

3zD=90°,

・"D=30°,

Z-COD=60°,

.•.△AOC是等边三角形，

AOA=OC=AC=V3>

%-AE||CD,

AEAB=30°,

又•••Z-AEB=90°,

Z.EBA=60°,

:.BE=?8=OB=百，

在△力PC和△8/E中，

(^ACF=乙BEF

^AFC=乙BFE

AC=BE

^^AFC^^BFE(AAS^

:.AF=BF,

又：。为48中点，

•••FO1AB,

tan30°=解得：。"=1,

-.AF=2OF=2,

AE=AB-cos30°=3,

EF=1.

・・・EF的长为1,OF的长为1.

【解析】【分析】(1)根据切线性质结合DC是半圆。的切线，得/不:。=90。，再根据DCIME得。C_L4E,再

根据垂径定理可证明4c=CE•得

(2)连接BE,OC,AC,OF,根据4。=AC得乙0=4。二4,进一步结合已知得△40C是等边三角形，再求出

Z.EBA=60°,即可得8£=巳48=08=百，进一步证明△AFC三△8尸EQL4S),根据tan30。=黑，解得：

。尸=1,进一步根据4E=AB•cos30°=3得EF=1.

第17页

•••0C是半圆。的切线,

:.乙DCO=90°,

•：DCWAE,

OC1AE,

AC=CE；

Z.D=Z.DCA,

:.Z.CAO=240,

又。4

AZ.OCA=Z.OAC=2z1D,

3zD=90°,

zD=30°,

:•(COD=60°,

.•.△A0C是等边三角形，

：•OA=OC=AC=遮,

-AE||CD,

/.EAB=30°,

又•:乙AEB=90°,

Z.EBA=60°>

:.BE=^AB=OB=百,

在△力,C和ABFE中,

(^ACF乙BEF

^LAFC乙BFE

ACBE

•••△4AC三△8FE(/L4S),

：.AF=BF,

第18页

又♦.•。为48中点，

F01

tan3°°=殊

解得：。F=1,

.'.AF=2OF=2,

AE=AB-cos30°=3,

:.EF=1.

25.某学校数学建模小组利用人工智能软件对小明的推铅球训练进行研究，他们发现，推出后的铅球沿抛物

线'=以X一九)2+女运行，其中y(单位：m)是铅球离地面的高度，x(单位：m)是铅球离推出位置的水平

距离，铅球推出位置离地面的高度为1.6m.

(1)在第一次训练中，推出后的铅球运行的路线如图所示，己知力=3,k=2.5,求a的值；

(2)小明根据建模小组的建议改进动作，在第二次训练中，己知九=4,k=3,若成绩比第一次提高2m

及以上就算改进成功，请通过计算，对小明此次改进是否成功进行说明.

【答案】(1)解：如图，

Ox/m

第一次训练中，由题意得y=Q(X—3)2+2.5,

将(0,1.6)代入得1.6=a(0-3)2+2.5,解得Q=-0.1.

的，直为-0.1.

(2)解：在第二次训练中，由题意得y=a(x-4)2+3,将(0,1.6)代入得1.6=a(0-4)2+3,解得

a=-0.0875,

第一次训练中，由(1)得抛物线的解析式为y=—0.1(%—3)2+2.5,

令y=o,M-0.1(x-3)2+2.5=0,解得x=8或x=2,

，第一次训练中，成绩为8m,

第二次训练中，抛物线的解析式为y=-0.0875(x-4)2+3,

令y=0,则一0.0875(x-4)2+3=0,

整理得Q-4)2x5.85,

第19页

解得％=9.85或%=1.85,

・••第二次训练中，成绩约为9.85山，

9.85-8=1.85<2,

・・・小明此次改进不能成功.

【解析】【分析】(1)第一次训练中，由题意得y=Q(x-3)2+2.5,将(0,1.6)代入得1.6=Q(0-3)2+2.5求解

即可.

(2)由题意得、=。(%-4)2+3,将(0,1.6)代入求解，第一次训练中，由(1)得抛物线的解析式为y=-0.1(x—3)2

+2.5,解得解得x=8或％=2,即可得第一次训练中，成绩为8m,同理得笫一次训练中，成绩约为9.85m,即

可得答案.

⑴解:第一次训练中，由题意得y=Q(X—3)2+2.5,

将(0,1.6)代入得1.6=a(0-3)2+2.5,

解得。二一0.1；

(2)解：在第二次训练中,由题意得y=Q(x—4)2+3,

将(0,1.6)代入得1.6=a(0-4)2+3,

解得Q=-0.0875；

第一次训练中，由(1)得抛物线的解析式为y=-0.1(%-3)2+2.5,

令尸=0,则一0.1(%-3)2+2.5=0,

解得％=8或%=2,

・••第一次训练中，成绩为8m,

第二次训练中，抛物线的解析式为y=-0.0875(x-4)2+3,

令y=0,则一0.0875(第-4)2+3=0,

整理得(X—4)2«5.85,

解得％=9.85或%=1.85,

・••第二次训练中,成绩约为9.85m,

9.85-8=1.85<2,

・••小明此次改进不能成功.

26.在平面直角坐标系无Oy中，抛物线y=ax2+bx+l(a>0)经过点(3,1).

(1)求该抛物线的表达式(用含a的式子表示)；

(2)过点(0,1)作y轴的垂线1,将抛物线〉=。/+以+1(£1>0)在直线1下方的部分沿直线1翻折，与

抛物线的其他部分组成的图形记为G,直线x=t与直线y=ax+l交于点M,与图形G交于点N(不与点M

重合)，若MN的长度随t的增大而减小，求所有满足题意的t的取值范围.

【答案】(1)解：将(3,1)代入y=Q/+6X+1,得9a+3匕+1=1,

第20页

化简得3b=—9a,即b=-3a,

・••抛物线表达式为y=ax2-3ax-I-1.

(2)解：直线，为y=l,令Q—-3QX+1=1,解得X=0或％=3,即抛物线与［交于(0,1)、(3,1),

翻折后0<x<3部分解析式为y=-ax2+3ax4-1,

故图形G为.y=+1(%工0或％之3)

改囹加口刀.G.(y=_Q%2+3Qx+i(0<x<3)，

点+1).

分类讨论如下：

情况一：当£<0时，N(t,at2-3at+1),MN=(at2-3at4-+1)=at2-4at,

因G>0,对称轴£=2,在£VO时MN随C增大而减小，满足条件(如下图).

情况二：联立曹上―，求得直线与抛物线的交点A的横坐标为％=2,

当0VtV2时，N(t,-at2+3at+1),M(t,at4-1),

MN=-at2+3Q£+1—(at4-1)=-at2+2砒=-a(t-l)2+a,

Va>0,-a<0,则上述关于t的二次函数在1<t<2时随£增大而减小,

故满足条件的t值为1W£V2.

情况三：当2VCV3时，N^t,-at2+3at+1),M(t,at+1),

MN=(at+1)—(—nt2+3at+1)=at2—7.nt.=a(f—l)2—n,

Va>0,则上述关于t的二次函数在2<t<3时随t增大而增大,

第21页

故此种情况不合题意，舍去.

情况四：当CN3时，联立求得直线与抛物线的交点B的横坐标为％=4,

当3WtV4时,N(t,at2-3at+1),

MN=(at+1)—(at2—3at+1)=—at2+4at=-a(t—2)2+4a,

V-a<0,则上述关于t的二次函数在3<t<4时随£增大而减小，

故满足条件的t值为3<t<4(见上图).

情况五：当t>4时,MN=at2—4at=a(t—2)2—4a,

Va>0,对称轴为"2,则上述关于t的二次函数在4时随嘴大而增大，

故此种情况不合题意，舍去.

验证£=0,2,4时，M、N重合，不符合题意，排除.

综上」的取值范围为£<0或1<t<2或3<t<4.

【解析】【分析】(1)将(3,1)代入y=ax2+bx+l,得9a+3b+l=1,整理即可得抛物线表达式为y=ax2

-3ax+1.

(2)直线/为y=l,令Q--3aK+1=1,解得x=0或x=3,即抛物线与，交于(0,1)、(3,1),

翻折后0VXV3部分解析式为y=—a，+3ax+l,故图形G为：G:}”二法；第；乙(苇野温?)，

点分类讨论如下：情况一:当时，222

M(t,at+1).t<0N(tfat-3at4-1)>MN=(at—3at+1)—(at+1)=at

-4Q£,同理得情况二：联立求得直线与抛物线的交点的横坐标为无情况三：

——ax十Jax十41i,A=2,

当2Vt<3时，/V(t,-at2+3at+l),M(t,at+1),综上，t的取值范围为tV0或1WtV2或3Wt<4.

(1)解：将(3,1)代入y=。/+匕％+1,得9a+3b+l=l,

化简得3b=—9a,即b=-3a,

故抛物线表达式为y=ax2-3ax4-1.

(2)解:直线I为y=l,

令a*-Rax+1=1,解得Y=。或x=3,即抛物线与/交于(0,1).(3,1),

翻折后0<%V3部分解析式为y=-ax2+3ax+1,

第22页

故因形。为•G-[y=ax2-^x+1(%40或%23)

改因故G刀.b.=_ax2+3ax+{(0<%<3)'

点、M(t,at+1).

分类讨论如下：

情况一：当tv0时，N(t,at2-3at+1),MN=(at2—3at+l)-(at4-1)=at2—4at,

因a>0,对称轴t=2,在tV0时MN随t增大而减小,满足条件(如下图).

情况二：联立｛y=子装片+1，求得直线与抛物线的交点A的横坐标为x=2,

当0V1V2时,N^t-at2+3at+1),M(£,at+1),

MN=-at2+3at+1-(at4-1)=-at2+2at=—a(t—I)2+a,

・・・a>0,一Q<0,则上述关于t的二次函数在1<t<2时随t增大而减小，

故满足条件的t值为1W£V2.

情况三：当2Vt<3时，/V(t-at2+3at+l),M(t,at+1),

MN=(at4-1)-(—at2+3at4-1)=at2—2at=a(t—l)2-a>

Va>0,则上述关于t的二次函数在2<t<3时随t增大而增大,

故此种情况不合题意，舍去.

情况四：当tN3时，联立卜=、222：：+1，求得直线与抛物线的交点B的横坐标为％=4,

当3工£<4时，N(£,a产-3Q£+1),

MN=(at+l)-(at2-3at4-1)=-at2+4Q£=-a(t—2)2+4a,

第23页

V-a<0,则上述关于t的二次函数在3<t<4时随亡增大而减小，

故满足条件的I值为3<t<4（见上图）.

情况五:当£>4时，MN=at2-4at=a（t—2）2—4a,

Va>0,对称轴为t=2,则上述关于t的二次函数在£>4时随£增大而增大，

故此种情况不合题意，舍去.

验证£=0,2,4时，M、N重合，不符合题意，排除.

综上」的取值范围为£<0或1<t<2或3<t<4.

27.在△48C中，乙4cB>90。，以A为中心，将线段4c逆时针旋转Q（0。<aV180。），得到线段/。，以人为

中心，将线段48顺时针旋转180。-6,得到线段AE,连接DE.

图1图2

（1）根据题意补全图1,并证明々LME+乙BAC=180°；

（2）如图2,点尸在8c的延长线上，且乙4尸C=用等式表示线段>4「与OE之间的数量关系，并

证明.

【答案】（1）解：如图，

图1

木艮据题意得：AC=AD^CAD=a,AE=AB,Z,BAE=180°-a

：.Z.DAE+乙BAC=Z.DAC+“AE+乙BAC

=Z.DAC+Z.BAE=a+180°-a=180°,

第24页

：.^DAE+ABAC=180°.

(2)解：如图2,

Q

图2

过点8作BQ||AC,并截取BQ=4。，连接力Q交BC于点P,

依题意AC=AD.Z.CAD=a,AE=AB/B4E=180°-a,

：.AD=BQ,

♦：BQ\\AC,

・"ABQ=180°-^BAC,

由①可得乙。4E+乙BAC=180°,即NOAE=180°-^AC,

LABQ=iDAE,

在△4?Q和△E4。中，

AB=AE

Z.ABQ=Z.DAE,

BQ=AD

，^ABQ^^EAD(SAS).

：.ED=AQ,乙E=LBAQ,

,：BQ\\AC,

：.^CAP=乙Q,

在△47P和△QBP中

(/.CAP=Z.Q

\^APC=^QPB

IAC=QB

/.^ACP=^QBP(AAS)t

：,AP=PQ,

：.AP=^AQ=^ED,

乙乙

'：LAPC=LBAQ+乙ABC=4E+/.ABC,乙AFC=Z.E+乙ABC,

：.^APC=^AFC,

：.AF-AP-ED,

乙

：.ED=2AF.

第25页

【解析】【分析】(1)根据题意画出图形得AC=AD.^CAD=a,AE=AB^BAE=180°-a,进一步得

乙DAE十ZLBAC=^DAC十乙CAE十LBAC=乙DAC十乙BAE,即可.

(2)过点B作BQII4C,BQ=AC,依题意4c=4D/C4D=a,AE=AB^BAE=180°-a,占①可得

/-DAE+Z-BAC=180°,即zZME=180。一4B4C,9A/.ABQ=证明△ABQw△E4D(S4S)得出

ED=AQ,乙E=4BAQ,证明△4CPw△QBP(44S)得出4P=PQ,进而根据已知以及三角形的外角的性质

证明4APC==1FC得出4F=AP=/ED,即可得证.

⑴解:如图所示,

图1

依题意，AC=AD,/.CAD=a,AE=AB.LBAE=180°-a

：.Z-DAE+LBAC=LDAC+£.CAE+ABAC=Z.DAC+4BAE=c+180°-a=180°

：.^DAE+^BAC=180°；

(2)解:如图,过点B作，Q||AC,并截取BQ=AC,连接42交BC于点P,

Q

图2

依题意AC=AD,^CAD=a,AE=AB/BAE=180°—a,

：.AD=BQ,

•:BQ\\AC,

・••乙48Q=180。一484C,

由①可得乙。力E+/-BAC=180°,即乙OAE=180°—48AC,

：.^ABQ=乙DAE,

在△A8Q和△EAD中