2022年北京市第四中学高三三模数学试卷及答案

(试卷满分150分，考试时间为120分钟)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.若集合A={|x-2<0},集,则A∩B=(A)(2,+o)(B)(0,2)(C)(-∞,2)3.如图，向量a-b等于4.在展开式中，x的系数为A.10B.-106.已知抛物线C:y²=x的焦点为F,A(xo,yo)是C上一点，则xo=A.1B.2C.417.已知双曲1(a>0)的一条渐近线与圆(x-3)²+y²=8相交于M,N8.已知数列{a.}的通项为a=n²-2λn,则“λ<0”是“Vn∈N,a>a。”轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于(A)10分钟(B)12分钟内的动点，且A₁F与平面DiAE的垂线垂直，如图所示，下B.A₁F与BE是异面直线C.A₁F与D₁E不可能平行BABA第10题图D.三棱锥F-ABD₁的体积为定值2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.若点(4,tanθ)在函数y=log₂x的图象上，则sinθ·cosθ=12.已知三点A(1,0),B(O,13.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，y(毫克)00.11(小时)y(毫克)00.11(小时)(a为常数),如图所示.据图中提供的信息，(I)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系15.直线x=1与抛物线C:y²=4x交于M,N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记①3a<0,使得OP与ON平行；②3a<0且b<0,使得OP与ON垂直；④无论点P在准线上如何运动，a+b=-1总成立.3三、解答题：本大题共6小题，共85分16.(本小题13分)已知如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,(Ⅱ)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.17.(本小题13分)上的值域.18.(本小题14分)某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的年级成绩的频数分布表.高一规定成绩不低于90分为“优秀”.262(Ⅱ)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率.在高一、高二年1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列；(Ⅲ)在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X,Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数.写出方差DX,DY的大小关系.(只需写出结论)19.(本小题15分)2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷共4页20.(本小题15分)已知椭圆C的中心在原点0,焦点在x轴上，离心率为,右焦点到右顶点的距离为1.成立?若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.21.(本小题15分)有限数列A,:a,a₂,…,a,(n≥3)同时满足下列两个条件：①对于任意的i,j(1≤i<j≤n),a₁<a,;②对于任意的i,j,k(1≤i<j<k≤n),aa,,aja,aa三个数中至少有一个数是数列A,(IⅡ)证明：2,3,5不可能同时是数列A,中的项；6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分三、解答题：本大题共6小题，共85分因为BC//平面PAD,BCC平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BC//AD.……………5分又BC=3,AD=2,BC≠AD.所以四边形ABCD是直角梯形.……………6分(Ⅱ)在平面ABCD内，过A作AD的垂线交BC于点M.所以AP,AD,AM三条直线两两垂直.……………7分则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1因为E为PB中点，所以12021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页,1),PC=(2,2,-2),PD=(0,2,设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则即……………10分令y=1,则z=1,x=0.于是n=(0,1,1).……………11分设直线AE与平面PCD所成的角为α,……………12分(17)(本小题14分)……………1分……………3分……………4分,数f(x)的最小正周期T=π.……………5分2所以函数f(x)的最小正周期T=π.……………5分所以函数f(x)的最小正周期T=π.……………8分……………10分……………12分……………13分(0.04+0.02)×5=0.3.……所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.4,选中成绩不优秀学生的概率为0.6.5的所有可能取值为0,1,2;P(ξ=1)=0.3×0.6+0.7×0.4P(ξ=2)=0.3×0.4=0.12.………………6分………………9分3P0125………………10分(Ⅲ)DX<DY.………………13分(19)(共15分)f'(x)=sinx+xcosx-six00π0+0极小值1(Ⅱ)f'(x)=ax+xcosx=x(a+cosx).4因为f(0)=1,f(x₀)>1,(20)(I)设椭圆C的方程1(a>b>0),依题意由右焦点到右顶点的距离为1,得a-c=1.(Ⅱ)解：存在直线1,使得OA+20B|=|0A-20B|成立.理由如下：△=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)>0,化简得3+4k²>m².设A(x,y₁),B(x₂,y₂),若OA+20B|=|OA-20B|成立,即OA+20B|=|OA-20B²,等价于OA·5将1代入3+4k²>m²中，又由7m²=12+12k²≥12,由②,当i=2,j=3,k=4时.2a,6a,12中至少有一个是数列1,2,a,6中的项，但6a>6,12>6,故2a=6,解得a=3.经检验，当a=3时，符合题意.………………3分(Ⅱ)假设2,3,5是数列A,中的项，由②可知：6,10,15中至少有一个是数列A,中的项，则有限数列A的最后一项aₙ>5,且n≥4.由①,aₙ>an₋1>an-2>aₙ-3>1.对于数a₋2,am₋1,a,由②可知：aa-2a₋=a;对于数an₋3,an₋,a,由②可知：所以an-2=an₋3,这与①矛盾.所以2,3,5不可能是数列A中的项.………………7分(Ⅲ)n的最大值为9,证明如下：………………8分则A,符合①、②.………………11分(2)设A:a,a₂,…,a(n≥3)符合①、②,则：62021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页假设A,中至少有四项，其绝对值大于1,不妨设a,a,,a,a,是A,中绝对值最大的是数列A中的项.同理：a,a也是数列