高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数教师用书 人教A版必修第一册

3.3幂函数1．了解幂函数的概念．(数学抽象)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？知识点1幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数解析式的特征：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．知识点2五个幂函数的图象与性质(1)在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x(2)五个幂函数的性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x-1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增在(－∞，0)上减增增在(0，＋∞)上减在(－∞，0)上减公共点都经过点(1，1)对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． ()(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． ()(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关． ()(4)当幂指数α取2，12时，幂函数y＝xα(5)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．下列函数中不是幂函数的是________．①y＝x0;②y＝x3；③y＝2x;④y＝x-1．[答案]③3．幂函数y＝x-1，y＝x12，y＝x2，y＝x①②③④[答案]④③②①4．设α∈-1，1，12，3，则使函数y＝xα[答案]1，3－1，1，3类型1幂函数的概念【例1】(1)在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，A．0B．1C．2D．3(2)已知y＝m2+2m-2x1m(1)B[∵y＝1x2＝xy＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B．](2)[解]由题意得m解得m所以m＝－3，n＝32判断一个函数为幂函数的依据(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1．[跟进训练]1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，2A．12B．1C．3C[由幂函数的定义知k＝1．又f12＝2解得α＝12，从而k＋α＝3类型2幂函数的图象及应用【例2】(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c(2)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f(1)B[令a＝2，b＝12，c＝－13，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．](2)[解]因为f(x)＝xα的图象过点P2，所以f(2)＝14，即2α＝1得α＝－2，即f(x)＝x-2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝x12或y＝x[跟进训练]2．如图，函数y＝1x，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分．若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(xA．f(x)＝x2 B．f(x)＝1C．f(x)＝x12 D．f(x)＝B[∵幂函数f(x)＝xα的图象过④⑧部分，∴f(x)＝xα在第一象限内单调递减，∴α<0．又易知当x＝2时，f(x)>12，∴只有类型3幂函数性质的综合应用【例3】(源自苏教版教材)试比较下列各组数的大小：(1)1.13，0.893；(2)2.112，21(3)121.3，1，思路导引：所给幂的特征[解](1)因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．(2)因为函数y＝x12在区间[0，＋∞)上是增函数，又2.1>2>1.8，所以2.112>(3)因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1＝11.3，12<1，所以12因为函数y＝x13在区间[0，＋∞)上是增函数，又113＝1，3>1，所以313>比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．[跟进训练]3．比较下列各组数的大小：(1)250.5与(2)-23-[解](1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又25>1(2)因为幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－351．(多选)下列函数中是幂函数的是()A．y＝x B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x-1ABD[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD．]2．下列不等式成立的是()A．13-C．232[答案]A3．已知幂函数的图象经过点P4，ABCDA[设幂函数为y＝xα，因为该幂函数的图象经过点P4，所以4α＝12，即22α＝2-1，解得α＝－1即函数为y＝x-则函数的定义域为(0，＋∞)，所以排除CD，因为α＝－12<0，所以y＝x-4．写出一个同时具有下列三个性质的函数：f(x)＝________．①f(x)＝xα(α∈R)；②f(x)在R上单调递增；③f(－x)＝－f(x)．x(答案不唯一)[例如f(x)＝x，是单调递增函数，f(－x)＝－x＝－f(x)，满足三个条件．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？[提示]关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1，1)吗？[提示]当α<0时，幂函数在原点处无意义，图象都过点(1，1)．3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？[提示]观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标