第33讲 空间点、线、面之间的位置关系-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第33讲空间点、线、面之间的位置关系-2027届高考数学一轮复习知识整合体系重构激活思维1．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面2．设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b()A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线3．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是()A．平行或相交 B．相交或异面C．平行或异面 D．平行、相交或异面4．下列说法正确的是()A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点5．如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(,3)，AD＝2eq\r(,3)，AA′＝2，则BC和A′C′所成角的大小是________，AA′和BC′所成角的大小是________．聚焦知识1．平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3．平行直线(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．4．异面直线(1)判定：与一个平面相交的直线和这个平面内__________的直线是异面直线，如图所示．(2)异面直线所成的角：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角或夹角，其取值范围为________．5．常用结论(唯一性定理)(1)过直线外一点________直线与已知直线平行；(2)过直线外一点________平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点_________平面与已知平面平行；(4)过平面外一点__________直线与已知平面垂直．题型突破思维拓展举题说法平面的基本事实及应用例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(1)求证：C1，O，M三点共线；(2)求证：E，C，D1，F四点共面；(3)求证：CE，D1F，DA三线共点．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．变式1如图(1)，M，N分别为AB和C1D1的中点，P，Q分别为BC和CC1的一个三等分点(都靠近点C)．图(1)(1)求证：AP，DC，D1Q三线共点；(2)过点M，N，Q三点作该正方体的截面，在图(2)中画出这个截面(不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹)．图(2)空间两直线的位置关系例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．(1)求证：四边形EFD1C是梯形；(2)求证：直线BC和直线D1F是异面直线．证明直线异面通常用反证法，假设两直线共面，从共面出发推导出矛盾，有时也可用直接法证明．变式2在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，F是AB的中点，则()A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线异面直线所成角的计算例3如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，△AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为_________．异面直线所成角的求法1．平移使相交：通过平移一条(或两条)，使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角；2．向量法：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)．变式3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)(2)已知P是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上的一个动点，AA1＝2AD＝4，当直线AP与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，AP与AC1所成角的余弦值为()A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(6),6)随堂内化1．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条 B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条2．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是()A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线B．若l∥α，则l与m可能垂直C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直4．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．eq\f(7,17) B．eq\f(14,17)C．eq\f(16,17) D．eq\f(8,17)配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．已知互不重合的三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是()A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点C．b∥c D．b∩c＝P2．下列命题正确的是()A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线a不平行于平面α且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线C．已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，B1C1的中点，若平面DBB1与平面AEF的交线为l，则l与直线AD1所成角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)4．在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝eq\r(,3)，BC＝BD＝CD＝2，E，F分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AF，BE是异面直线，AF⊥BEB．AF，BE是相交直线，AF⊥BEC．AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直D．AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直二、多项选择题5．以下说法正确的是()A．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行B．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直C．若两个平面平行，则它们没有公共点D．若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直6．已知a，b为两条异面直线，α，β为两个不重合的平面，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，那么直线l()A．可以与a，b都垂直B．至少与a，b中一条相交C．至多与a，b中一条相交D．至少与a，b中一条平行7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面DPQ∩平面A1B1C1D1＝l，则下列结论正确的有()A．l过点B1B．l不一定过点B1C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上三、填空题8．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________．9．在三棱锥P－ABC中，AC＝1，PB＝2，M，N分别是PA，BC的中点，若MN＝eq\f(\r(2),2)，则异面直线AC，PB所成角的余弦值为________．四、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．(1)AM和CN是否为异面直线？请说明理由；(2)D1B和CC1是否为异面直线？请说明理由；(3)求异面直线AM与D1C1所成角的余弦值．11．如图，在三棱锥A－BCD中，AB为三棱锥A－BCD的高，AB＝BC＝2，M是AC的中点，且MD＝eq\f(1,2)AC，点E，F分别在BD，AD上，且DE＝eq\f(1,3)BD，DF＝eq\f(1,3)AD．(1)线段BC上是否存在一点N，使得M，N，E，F四点共面？若存在，请确定点N的位置并证明；若不存在，请说明理由．(2)求三棱锥A－BCD的外接球的体积．B组能力提升练12．若平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)13．已知四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成的角α在旋转过程中()A．逐步变大 B．逐步变小C．先变小后变大 D．先变大后变小参考答案激活思维1．下列说法正确的是(C)A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面【解析】对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故C正确．对于D，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故D错误．2．设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b(D)A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线【解析】如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，当A′B所在的直线为a，BC′所在的直线为b时，a与b相交；当A′B所在的直线为a，B′C所在的直线为b时，a与b异面．3．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是(D)A．平行或相交 B．相交或异面C．平行或异面 D．平行、相交或异面【解析】当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件．在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．4．下列说法正确的是(D)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点【解析】对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内，故A错误．对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，故B错误．对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误．对于D，因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公共点，故D正确．5．如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(,3)，AD＝2eq\r(,3)，AA′＝2，则BC和A′C′所成角的大小是__45°__，AA′和BC′所成角的大小是__60°__．【解析】因为BC∥B′C′，所以异面直线BC和A′C′所成的角即为直线B′C′和A′C′所成的角，为∠A′C′B′．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝AB＝2eq\r(,3)，B′C′＝AD＝2eq\r(,3)，所以tan∠A′C′B′＝1，所以∠A′C′B′＝45°，即异面直线BC和A′C′所成的角为45°．因为AA′∥BB′，所以异面直线AA′和BC′所成的角即为直线BB′和BC′所成的角，为∠B′BC′．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(,3)，BB′＝AA′＝2，所以tan∠B′BC′＝eq\r(,3)，所以∠B′BC′＝60°，即异面直线AA′和BC′所成的角为60°．聚焦知识1．平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3．平行直线(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．4．异面直线(1)判定：与一个平面相交的直线和这个平面内__不经过交点__的直线是异面直线，如图所示．(2)异面直线所成的角：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角或夹角，其取值范围为__eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))__．5．常用结论(唯一性定理)(1)过直线外一点__有且只有一条__直线与已知直线平行；(2)过直线外一点__有且只有一个__平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点__有且只有一个__平面与已知平面平行；(4)过平面外一点__有且只有一条__直线与已知平面垂直．题型突破思维拓展举题说法平面的基本事实及应用例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(1)求证：C1，O，M三点共线；【解答】因为A1C∩平面BDC1＝O，所以O∈A1C，O∈平面BDC1．又因为A1C⊂平面ACC1A1，所以O∈平面ACC1A1．因为AC，BD交于点M，所以M∈AC，M∈BD．又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，所以M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1．又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1，所以C1，O，M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，所以C1，O，M三点共线．(2)求证：E，C，D1，F四点共面；【解答】如图，连接BA1，EF，D1C，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF∥BA1．又因为BC∥A1D1，BC＝A1D1，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以BA1∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，F，C，D1四点共面．(3)求证：CE，D1F，DA三线共点．【解答】因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，设CE与D1F交于一点P，则P∈CE，CE⊂平面ABCD，所以P∈平面ABCD，同理，P∈平面ADD1A1，又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，所以直线CE，D1F，DA三线交于一点P，即三线共点．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．变式1如图(1)，M，N分别为AB和C1D1的中点，P，Q分别为BC和CC1的一个三等分点(都靠近点C)．图(1)(1)求证：AP，DC，D1Q三线共点；【解答】如图(1)，分别延长AP，DC交于点R，连接D1R，因为R∈直线DC，DC⊂平面ABCD，PC＝eq\f(1,3)AD，BC∥AD，所以CR＝eq\f(1,3)DR．又D1D∥C1C，所以D1R与C1C的交点为C1C的三等分点，即为点Q，所以AP，DC，D1Q三线共点．图(1)(2)过点M，N，Q三点作该正方体的截面，在图(2)中画出这个截面(不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹)．图(2)【解答】如图(2)，六边形MPQNTS即为所求作的截面．图(2)空间两直线的位置关系例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．(1)求证：四边形EFD1C是梯形；【解答】如图，连接A1B，因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B，且EF＝eq\f(1,2)A1B．由正方体性质可得A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以CD1∥A1B，因此EF∥CD1，但EF≠CD1，可知四边形EFD1C是梯形．(2)求证：直线BC和直线D1F是异面直线．【解答】假设直线BC和直线D1F不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC⊂α，D1F⊂α．易知AD∥BC，BC⊂α，AD⊄α，因此AD∥α，又AD⊂平面ADD1A1，且平面ADD1A1∩α＝D1F．所以AD∥D1F．在正方形ADD1A1中，显然AD∥D1F不成立，故矛盾，假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．证明直线异面通常用反证法，假设两直线共面，从共面出发推导出矛盾，有时也可用直接法证明．变式2在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，F是AB的中点，则(D)A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线【解析】如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，F是AB的中点，所以AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线．又CF＝eq\r(,12＋22)＝eq\r(,5)，AE＝eq\r(,22＋\r(,2)2)＝eq\r(,6)，所以AE≠CF．异面直线所成角的计算例3如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，△AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为__eq\f(\r(3),4)__．【解析】方法一：如图，过点B作BB1∥AA1交圆柱的上底面于点B1，连接A1B1，B1O，则由圆柱的性质易证四边形A1B1BA为矩形，所以A1B1∥AB，所以∠B1A1O或其补角即为异面直线A1O与AB所成的角．在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，所以AB＝2OBsineq\f(∠AOB,2)＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)．因为△AA1B为等腰直角三角形，且AA1⊥AB，所以AA1＝AB＝eq\r(3)，所以B1O＝A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋OA2)＝2．又A1B1＝AB＝eq\r(3)，所以cos∠B1A1O＝eq\f(A1O2＋A1B\o\al(2,1)－B1O2,2A1O·A1B1)＝eq\f(4＋3－4,2×2×\r(3))＝eq\f(\r(3),4)，即异面直线A1O与AB所成角的余弦值为eq\f(\r(3),4)．方法二：在△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，所以AB＝2OBsineq\f(π,3)＝eq\r(3)，∠OAB＝eq\f(π,6)．因为△AA1B为等腰直角三角形，且AA1⊥AB，所以AA1＝AB＝eq\r(3)，易知AA1⊥AO，所以A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋OA2)＝2，eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(A1O,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·coseq\f(π,6)＝eq\f(3,2)，所以cos〈eq\o(A1O,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1O,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(A1O,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(3,2),2×\r(,3))＝eq\f(\r(,3),4)，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为eq\f(\r(,3),4)．异面直线所成角的求法1．平移使相交：通过平移一条(或两条)，使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角；2．向量法：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)．变式3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(D)A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)【解析】如图，连接BC1，PC1．因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PC1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1．又PC1⊥B1D1，BB1，B1D1⊂平面PBB1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1．又PB⊂平面PBB1，所以PC1⊥PB．设正方体的棱长为2，则BC1＝2eq\r(,2)，PC1＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(,2)．易得C1P⊥PB，从而sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6)．(2)已知P是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上的一个动点，AA1＝2AD＝4，当直线AP与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，AP与AC1所成角的余弦值为(A)A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(6),6)【解析】如图，分别取AA1，BB1，CC1，DD1的中点R，S，P′，Q，则四棱柱ABCD－RSP′Q是正方体，此时AP′与正四棱柱六个面所成角的大小都相等(P′即为题中点P)，所以∠PAC1就是AP与AC1所成的角．又AP＝2eq\r(3)，AC1＝2eq\r(6)，PC1＝2，所以cos∠PAC1＝eq\f(AP2＋AC\o\al(2,1)－PC\o\al(2,1),2AP·AC1)＝eq\f(2\r(2),3)．随堂内化1．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(D)A．1条或2条 B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条2．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是(B)A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线B．若l∥α，则l与m可能垂直C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直【解析】对于A，若l与α不平行，则l与α的位置关系有相交或直线在平面内，且m⊂α，则l与m的位置关系有平行、相交或异面，故A错误；对于B，若l∥α，则l与m可能垂直，如图(1)所示，l∥l′，l′⊂α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；对于C，若l∩α＝A，且A∉m，m⊂α，则l与m异面，故C错误；对于D，若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，如图(2)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取α为平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合题意，但l⊥m，故D错误．图(1)图(2)4．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(C)A．eq\f(7,17) B．eq\f(14,17)C．eq\f(16,17) D．eq\f(8,17)【解析】如图，连接BC1，A1C1，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，有AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则有BC1∥AD1，则∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角．设AB＝1，则BC1＝A1B＝eq\r(17)，A1C1＝eq\r(2)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(BC\o\al(2,1)＋A1B2－A1C\o\al(2,1),2BC1·A1B)＝eq\f(17＋17－2,2×17)＝eq\f(16,17)．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．已知互不重合的三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(D)A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点C．b∥c D．b∩c＝P【解析】因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因为a＝α∩β，b＝β∩γ，所以P∈α，P∈β，P∈γ．因为α∩γ＝c，所以P∈c，所以b∩c＝P，所以a∩c＝P，如图，故A，B，C错误．2．下列命题正确的是(B)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线a不平行于平面α且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线C．已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交【解析】若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故A不正确；若直线a不平行于平面α且a⊄α，则a与α相交，所以平面α内不存在与a平行的直线，故B正确；已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行或异面，故C错误；已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b∥平面α或b与α相交，故D错误．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，B1C1的中点，若平面DBB1与平面AEF的交线为l，则l与直线AD1所成角的大小为(C)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)【解析】因为E，F分别为棱BC，B1C1的中点，所以BB1∥EF，因为EF⊂平面AEF，BB1⊄平面AEF，所以BB1∥平面AEF．又平面DBB1∩平面AEF＝l，BB1⊂平面DBB1，所以BB1∥l．又AA1∥BB1，所以AA1∥l．如图，在正方体中，l与直线AD1的所成角∠A1AD1＝eq\f(π,4)．4．在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝eq\r(,3)，BC＝BD＝CD＝2，E，F分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是(A)A．AF，BE是异面直线，AF⊥BEB．AF，BE是相交直线，AF⊥BEC．AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直D．AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直【解析】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE，与平面ACD内不经过点E的直线AF是异面直线．下面证明BE与AF垂直：如图，连接BF，取AF的中点Q，连接BQ，EQ，因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．因为BC＝BD＝CD，F为CD的中点，所以BF⊥CD．因为AB∩BF＝B，AB，BF⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF，因为AF⊂平面ABF，所以CD⊥AF，又因为EQ∥CD，所以EQ⊥AF．因为BC＝BD＝CD＝2，所以BF＝eq\f(\r(,3),2)×2＝eq\r(,3)＝AB，又因为Q为AF的中点，所以BQ⊥AF．因为BQ∩EQ＝Q，BQ，EQ⊂平面BEQ，所以AF⊥平面BEQ，又因为BE⊂平面BEQ，所以AF⊥BE．二、多项选择题5．以下说法正确的是(AC)A．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行B．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直C．若两个平面平行，则它们没有公共点D．若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直6．已知a，b为两条异面直线，α，β为两个不重合的平面，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，那么直线l(AB)A．可以与a，b都垂直B．至少与a，b中一条相交C．至多与a，b中一条相交D．至少与a，b中一条平行【解析】因为a，b为两条异面直线且a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，所以a与l共面，b与l共面．若l与a，b都不相交，则b∥l，a∥l，a∥b，与a，b异面矛盾，所以l至少与a，b中一条相交，故B正确，C，D错误；当a，b为如图所示的位置时，可知l与a，b都相交，直线l可以与a，b都垂直，故A正确．7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面DPQ∩平面A1B1C1D1＝l，则下列结论正确的有(AD)A．l过点B1B．l不一定过点B1C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上【解析】如图，连接PB1，QB1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取BB1的中点N，连接CN，则DP∥CN∥QB1，DP＝CN＝QB1，所以四边形DPB1Q是平行四边形，B1∈平面DPB1Q，B1∈平面A1B1C1D1，所以B1∈l，故A正确，B错误．如图，DP的延长线与D1A1的延长线交于点F，DQ的延长线与D1C1的延长线交于点E，因为DP⊂平面DPB1Q，所以F∈平面DPB1Q．因为D1A1⊂平面A1B1C1D1，所以F∈平面A1B1C1D1，所以F∈l．因为DQ⊂平面DPB1Q，所以E∈平面DPB1Q．因为D1C1⊂平面A1B1C1D1，所以E∈平面A1B1C1D1，所以E∈l，故C错误，D正确．三、填空题8．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__eq\f(\r(10),5)__．【解析】如图，补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，则AB1∥C1D，所以AB1与BC1所成角为∠BC1D或其补角．又BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋12－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝AB1＝eq\r(5)，易得C1D2＝BD2＋BCeq\o\al(2,1)，即BC1⊥BD，因此cos∠BC1D＝eq\f(BC1,C1D)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)．9．在三棱锥P－ABC中，AC＝1，PB＝2，M，N分别是PA，BC的中点，若MN＝eq\f(\r(2),2)，则异面直线AC，PB所成角的余弦值为__eq\f(3,4)__．【解析】如图，取AB的中点Q，连接QM，QN，因为Q是AB的中点，N是BC的中点，所以QN∥AC，QN＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，同理QM∥PB，QM＝eq\f(1,2)PB＝1，所以异面直线AC，PB所成角为∠MQN或其补角．在△MQN中，QM＝1，QN＝eq\f(1,2)，MN＝eq\f(\r(2),2)，则cos∠MQN＝eq\f(QM2＋QN2－MN2,2QM·QN)＝eq\f(3,4)，即异面直线AC，PB所成角的余弦值为eq\f(3,4)．四、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．(1)AM和CN是否为异面直线？请说明理由；【解答】AM和CN不是异面直线．理由如下：如图，连接MN，A1C1，AC，因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1．因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C四点在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)D1B和CC1是否为异面直线？请说明理由；【解答】D1B和CC1是异面直线．理由如下：因为几何体ABCD