第35讲 直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第35讲直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质-2027届高考数学一轮复习知识整合体系重构激活思维1．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．下列说法中正确的是()A．若l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αB．若l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥αC．垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行D．若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α3．如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有()A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABD4．如图，已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CD⊂α．(1)若CD⊥AC，求证：平面ABC⊥平面ACD；(2)若平面ABC⊥平面ACD，求证：CD⊥AC．聚焦知识1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的_________，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，,l⊥b，,a∩b＝O，,a，b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线__________________⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直_________⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直____________⇒l⊥α3．常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)若一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．(6)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．题型突破思维拓展举题说法与线、面垂直相关命题的判定例1已知m为平面α外的一条直线，则下列说法正确的是()A．存在直线n，使得n⊥m，n⊥αB．存在直线n，使得n⊥m，n∥αC．存在直线n，使得n∥m，n∥αD．存在直线n，使得n∥m，n⊥α变式1(多选)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列说法中不正确的是()A．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝c，则c⊥αB．若α⊥β，α⊥γ，a⊂α，a⊥β，c⊂γ，则a⊥cC．若α∥β∥γ，c∥γ，a⊂α，b⊂β，则a∥b∥cD．若a⊥α，b⊥β，c⊥γ，a∥b∥c，则α∥β∥γ线面垂直的判定定理与性质定理的应用例2如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥平面ABE．证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)线线垂直与线面垂直常需互相转化，若两条直线都垂直于同一个平面，则两直线平行，这是线面垂直的性质定理(可用于证明线线平行)．变式2如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，给出下列三个论断：①PC＝PD；②AC⊥PD；③BD⊥平面PAC．以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明．线面角与点面距的计算例3－1如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA．例3－2如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝eq\r(3)，M为AC的中点．(1)求证：平面PBC⊥平面PAB．(2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN？若存在，求eq\f(PN,PC)的值；若不存在，请说明理由．(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用：①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．三垂线定理①三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC．②三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO．例4如图，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，则MC与平面ABC所成角的正弦值为________．变式4在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．随堂内化1．(多选)已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，α∩β＝l，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥l，则m∥α或m∥βC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若n与α，β所成角相等，则n⊥l2．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的有()A．A1B1∥平面BC1D B．AD1∥平面BC1DC．BD⊥平面ACC1A1 D．BD1⊥平面ACC1A13．如图，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点．(1)求证：PQ⊥BQ；(2)在线段AB上是否存在一点N，使平面PCN⊥平面PQB？证明你的结论．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．已知α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能得到l⊥α的是()A．α⊥β，l∥β B．l⊥a，a∥αC．l∥a，a⊥α D．l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α2．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是()A．A1B B．A1DC．AC1 D．A1C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，l为平面A1MC1与平面ABCD的交线，则()A．l∥AC1 B．l⊥AC1C．l∥BD1 D．l⊥BD1二、多项选择题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱C1D1上的动点(不含端点)，下列说法中正确的有()A．DC∥平面BPD1B．B1C⊥BPC．四面体PAB1C的体积为定值D．存在点P，使得平面BB1P⊥平面AA1P6．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，BB′＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)BC，M为BB′的中点，则()A．A′C∥C′MB．A′C′∥平面AMCC．AM⊥B′C′D．平面AMC⊥平面A′MC′7．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()ABCD三、解答题8．如图，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，F为CE的中点．(1)求证：AE∥平面BDF．(2)M为CD上的任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．9．如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA＝DC＝2AB．(1)求异面直线PC和AB所成角的大小；(2)若E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求eq\f(AE,PE)的值；(3)求证：平面PBC⊥平面PDC．B组能力提升练10．如图，在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．(1)求证：AM⊥平面QCD．(2)在棱BQ上是否存在点N，使平面ACN⊥平面ACM成立？若存在，求出eq\f(BN,NQ)的值；若不存在，请说明理由．参考答案激活思维1．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．下列说法中正确的是(D)A．若l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αB．若l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥αC．垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行D．若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α3．如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(B)A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABD【解析】因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC．因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD．因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．4．如图，已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CD⊂α．(1)若CD⊥AC，求证：平面ABC⊥平面ACD；【解答】因为AB是平面α的垂线，CD⊂α，所以CD⊥AB．因为CD⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC．又CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．(2)若平面ABC⊥平面ACD，求证：CD⊥AC．【解答】如图，过点B作BE⊥AC交AC于点E，因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BE⊂平面ABC，所以BE⊥平面ACD．又因为CD⊂平面ACD，所以BE⊥CD．因为CD⊥AB，BE∩AB＝B，BE，AB⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC．又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC．聚焦知识1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线垂直__，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，,l⊥b，,a∩b＝O，,a，b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线__平行____eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))__⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直__eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))__⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直__eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β，,α∩β＝a，,l⊥a，,l⊂β))__⇒l⊥α3．常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)若一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．(6)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．题型突破思维拓展举题说法与线、面垂直相关命题的判定例1已知m为平面α外的一条直线，则下列说法正确的是(B)A．存在直线n，使得n⊥m，n⊥αB．存在直线n，使得n⊥m，n∥αC．存在直线n，使得n∥m，n∥αD．存在直线n，使得n∥m，n⊥α【解析】对于A，当直线m与平面α斜交时，此时不存在直线n，使得n⊥m，n⊥α，所以A错误．对于B，如图(1)，当m⊥α时，过直线n作平面β，使得α∩β＝a．因为m⊥α，a⊂α，所以m⊥a．又因为m⊥n，可得a∥n．因为n⊄α，a⊂α，所以n∥α．如图(2)，当m与平面α斜交时，设斜足为A，在直线m上取一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接OA，在平面α内，过点A作直线a⊥OA．因为a⊥PO，且PO∩OA＝O，PO，OA⊂平面POA，所以a⊥平面POA．又因为PA⊂平面POA，所以a⊥PA，即a⊥m．在过a和m确定的平面内，过点P作直线n，使得n⊥m，所以n∥a．因为n⊄α，a⊂α，所以n∥α，所以存在直线n，使得n⊥m，n∥α．若直线m∥α，此时存在平面β∥α且m⊂β，在直线m上取一点Q，在平面β内过Q作直线n⊥m，根据面面平行的性质有n∥α，所以B正确．对于C，当直线m与平面α相交时，若n∥m，则直线n与平面α必相交，所以C错误．对于D，当m∥α时，若n∥m，可得n∥α或n⊂α，所以D错误．图(1)图(2)变式1(多选)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列说法中不正确的是(BC)A．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝c，则c⊥αB．若α⊥β，α⊥γ，a⊂α，a⊥β，c⊂γ，则a⊥cC．若α∥β∥γ，c∥γ，a⊂α，b⊂β，则a∥b∥cD．若a⊥α，b⊥β，c⊥γ，a∥b∥c，则α∥β∥γ【解析】对于A，设α∩β＝m，α∩γ＝n，在平面α内取点A，过A分别作l1⊥m，l2⊥n，则l1⊥β，l2⊥γ．因为β∩γ＝c，所以l1⊥c，l2⊥c．又l1∩l2＝A，则c⊥α，故A正确．对于B，如图，在长方体ABCD－EFGH中，取平面ABCD，DCGH，ADHE依次为平面α，β，γ，取BC为直线a，EH为直线c，显然满足α⊥β，α⊥γ，a⊂α，a⊥β，c⊂γ，但a∥c，故B不正确．对于C，若α∥β∥γ，c∥γ，a⊂α，b⊂β，直线c与直线a，b可能异面、平行或相交，故C不正确．对于D，由a⊥α，a∥b可得b⊥α，又b⊥β，则α∥β，同理可得β∥γ，故可得α∥β∥γ，故D正确．线面垂直的判定定理与性质定理的应用例2如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；【解答】因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC．因为AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE．(2)求证：PD⊥平面ABE．【解答】因为PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，所以AC＝PA．因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD．因为PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD．又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE．证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)线线垂直与线面垂直常需互相转化，若两条直线都垂直于同一个平面，则两直线平行，这是线面垂直的性质定理(可用于证明线线平行)．变式2如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，给出下列三个论断：①PC＝PD；②AC⊥PD；③BD⊥平面PAC．以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明．【解答】①②⇒③：如图，设AC与BD交于点O，连接OP．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，故AC⊥平面PBD．又OP⊂平面PBD，故AC⊥OP．由于OP＝OP，OD＝OC，PD＝PC，故△POD≌△POC，因此OD⊥OP，又OC∩OD＝O，OC，OD⊂平面ABCD，故OP⊥平面ABCD(可得四棱锥P－ABCD是正四棱锥)．又BD⊂平面ABCD，故OP⊥BD．又AC⊥BD，AC∩OP＝O，AC，PO⊂平面PAC，故BD⊥平面PAC．②③⇒①：如图，设AC与BD交于点O，连接OP．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，故AC⊥平面PBD．又OP⊂平面PBD，故AC⊥OP．又BD⊥平面PAC，OP⊂平面PAC，故BD⊥OP，又AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，故OP⊥平面ABCD，结合底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，所以四棱锥P－ABCD是正四棱锥，故PC＝PD．①③⇒②：如图，设AC与BD交于点O，连接OP．因为BD⊥平面PAC，OP⊂平面PAC，故BD⊥OP．由于OP＝OP，OD＝OB，故△POD≌△POB．又OP＝OP，OD＝OC，PD＝PC，故△POD≌△POC，故∠POD＝∠POC＝∠POB＝eq\f(π,2)，因此PO⊥OB，PO⊥OC，且OC∩OB＝O，OC，OB⊂平面ABCD，故OP⊥平面ABCD，故四棱锥P－ABCD是正四棱锥．由于AC⊥BD，AC⊥OP，OP∩BD＝O，OP，BD⊂平面PBD，故AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，故AC⊥PD．线面角与点面距的计算例3－1如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．(1)求证：DE＝DA；【解答】如图，取EC的中点F，连接DF．因为FC∥BD，FC＝BD，所以四边形BDFC为平行四边形，所以DF∥BC．又EC⊥BC，所以DF⊥EC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝eq\f(1,2)EC＝DB，FD＝BC＝BA，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，所以ED＝DA．(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；【解答】如图，取CA的中点N，连接MN，BN．因为N，M分别是AC，AE的中点，所以MN∥EC，MN＝eq\f(1,2)EC，所以MN∥BD，所以点N在平面BDM中．因为EC⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，EC，CA⊂平面ECA，所以BN⊥平面ECA．因为BN⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA．(3)求证：平面DEA⊥平面ECA．【解答】由(2)知BD∥MN，又BD＝eq\f(1,2)EC＝MN，所以四边形MNBD为平行四边形，所以DM∥BN．由(2)知BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．例3－2如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝eq\r(3)，M为AC的中点．(1)求证：平面PBC⊥平面PAB．【解答】因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC．又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为PA＝1，PC＝eq\r(3)，PA⊥AC，所以AC＝eq\r(PC2－PA2)＝eq\r(2)．因为AB＝BC＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC．又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB．又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．(2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN？若存在，求eq\f(PN,PC)的值；若不存在，请说明理由．【解答】存在，当eq\f(PN,PC)＝eq\f(2,3)时，PC⊥平面BMN．理由如下：如图，过点M作MN⊥PC，垂足为N，由(1)知PA⊥平面ABC，MB⊂平面ABC，所以PA⊥MB，又M为AC的中点，AB＝BC＝1，所以MB⊥AC．因为PA∩AC＝A，所以MB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以MB⊥PC．因为MB，MN是平面BMN内的两条相交直线，所以PC⊥平面BMN．由已知得sin∠PCA＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(MN,MC)，又MC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，所以MN＝eq\f(\r(6),6)．又CN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)))2)＝eq\f(\r(3),3)，所以PN＝PC－CN＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，所以eq\f(PN,PC)＝eq\f(2,3)，故PC上存在点N，使得PC⊥平面BMN，此时eq\f(PN,PC)＝eq\f(2,3)．(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用：①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．三垂线定理①三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC．②三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO．例4如图，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，则MC与平面ABC所成角的正弦值为__eq\f(2\r(,3),5)__．【解析】由题意知A是M在平面ABC上的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面ABC上的射影为AC，所以∠MCA即为直线MC与平面ABC所成的角．又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(,3),2)＝eq\f(5\r(,3),2)．在Rt△MAB中，MA＝eq\r(,BM2－AB2)＝eq\r(,52－42)＝3．在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(,3),2))＝eq\f(2\r(,3),5)，即MC与平面ABC所成角的正弦值为eq\f(2\r(,3),5)．变式4在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为__2eq\r(,7)__．【解析】由题意，M是AB边上的一动点，则PM的最小值，就是P到AB的距离，此时PM⊥AB．如图所示，因为PC⊥平面ABC，PM⊥AB，由三垂线定理的逆定理，得CM⊥AB，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小．由条件知AC＝4，BC＝4eq\r(,3)，故CM的最小值为2eq\r(,3)．又PC＝4，则PM的最小值为eq\r(,42＋2\r(,3)2)＝2eq\r(,7)．随堂内化1．(多选)已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，α∩β＝l，则下列说法正确的是(BC)A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥l，则m∥α或m∥βC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若n与α，β所成角相等，则n⊥l【解析】对于A，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故A错误．对于B，因为m∥l，l⊂α，l⊂β，所以m∥α或m⊂α，且m∥β或m⊂β．若m⊂α，因为m，l是不同的直线，则m与l是α内两条平行线，又l⊂β，所以m∥β．同理，若m⊂β，则m∥α．所以“m∥α或m∥β”必成立，故B正确．对于C，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α．若n∥α，则α内必定存在直线a使得a∥n，又n⊥β，所以a⊥β，所以α⊥β．若n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β．综上，α⊥β，故C正确．对于D，若n∥α且n∥β，此时n与α，β所成角均为0，n∥l，故D错误．2．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的有(BC)A．A1B1∥平面BC1D B．AD1∥平面BC1DC．BD⊥平面ACC1A1 D．BD1⊥平面ACC1A1【解析】对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得A1B1∥CD，因为CD∩平面BC1D＝D，所以A1B1与平面BC1D不平行，故A错误；对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得AD1∥BC1，因为BC1⊂平面BC1D且AD1⊄平面BC1D，所以AD1∥平面BC1D，故B正确；对于C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得AA1⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，又AC⊥BD，且AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，故C正确；对于D，由C知BD⊥平面ACC1A1，过点B有且仅有一条直线与平面ACC1A1垂直，所以BD1与平面ACC1A1不垂直，故D错误．3．如图，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点．(1)求证：PQ⊥BQ；【解答】因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，所以PQ⊥平面ABCD．因为BQ⊂平面ABCD，所以PQ⊥BQ．(2)在线段AB上是否存在一点N，使平面PCN⊥平面PQB？证明你的结论．【解答】存在点N，且N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB．证明如下：如图，四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，则Rt△CBN≌Rt△BAQ，所以∠ABQ＝∠BCN，又∠ABQ＋∠CBQ＝90°，所以∠BCN＋∠CBQ＝90°，所以BQ⊥NC．由(1)知，PQ⊥平面ABCD，NC⊂平面ABCD，所以PQ⊥NC．又BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ⊂平面PQB，所以NC⊥平面PQB．因为NC⊂平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．已知α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能得到l⊥α的是(C)A．α⊥β，l∥β B．l⊥a，a∥αC．l∥a，a⊥α D．l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α【解析】对于A，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对于B，l⊥a，a∥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；对于C，l∥a，a⊥α，由线面垂直的性质知l⊥α，故C正确；对于D，l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故D错误．2．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(C)A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【解析】由PA⊥平面ABC⇒PA⊥BC，故A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，故B，D正确．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是(D)A．A1B B．A1DC．AC1 D．A1C【解析】如图，连接AB1，B1D1，AD1，A1C1，A1C，因为P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，故MP∥AB1，B1D1∥MN．又MP⊄平面AB1D1，AB1⊂平面AB1D1，故MP∥平面AB1D1．又MN⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，故MN∥平面AB1D1．又MP∩MN＝M，MP，MN⊂平面MNP，故平面MNP∥平面AB1D1，则垂直于平面MNP的直线一定垂直于平面AB1D1．显然CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，故B1D1⊥CC1，又B1D1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，故B1D1⊥平面A1C1C．又A1C⊂平面A1C1C，故A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，故A1C⊥平面AB1D1，也即A1C⊥平面MNP．若其他选项的直线垂直于平面MNP，则要与A1C平行，显然都不平行．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，l为平面A1MC1与平面ABCD的交线，则(D)A．l∥AC1 B．l⊥AC1C．l∥BD1 D．l⊥BD1【解析】如图，设N为BC的中点，连接MN，NC1．因为M为AB的中点，所以MN∥AC，又因为A1C1∥AC，所以A1C1∥MN，所以A1，M，N，C1四点共面，所以平面A1MC1与平面ABCD的交线为MN，则l即为MN所在直线．因为MN与AC1是异面直线，所以l与AC1是异面直线，故A错误；因为MN∥AC，而在Rt△ACC1中，∠ACC1＝90°，则AC1与AC不垂直，故MN与AC1不垂直，即l与AC1不垂直，故B错误；因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，又MN∥AC，所以MN⊥平面BDD1B1，即l⊥平面BDD1B1，因为BD1⊂平面BDD1B1，所以l⊥BD1，故C错误，D正确．二、多项选择题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱C1D1上的动点(不含端点)，下列说法中正确的有(AB)A．DC∥平面BPD1B．B1C⊥BPC．四面体PAB1C的体积为定值D．存在点P，使得平面BB1P⊥平面AA1P【解析】因为DC∥PD1，DC⊄平面BPD1，PD1⊂平面BPD1，所以DC∥平面BPD1，故A正确．易知C1D1⊥平面BCC1B1，且B1C⊂平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，又B1C⊥BC1，BC1，C1D1⊂平面BC1D1，BC1∩C1D1＝C1，所以B1C⊥平面BC1D1．因为BP⊂平面BC1D1，所以B1C⊥BP，故B正确．将四面体PAB1C看成以△AB1C为底的三棱锥P－AB1C，其底面积为定值，因为CD与平面AB1C相交于C，所以C1D1与平面AB1C不平行，所以点P到平面AB1C的距离不是定值，则体积会发生变化，故C错误．如图，平面BB1P与平面AA1P的交线为PP′(P′为P在CD上的射影)，所以平面BB1P与平面AA1P的夹角为∠A1PB1，显然∠A1PB1不可能为直角，故不存在点P，使得平面BB1P⊥平面AA1P，故D错误．6．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，BB′＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)BC，M为BB′的中点，则(BCD)A．A′C∥C′MB．A′C′∥平面AMCC．AM⊥B′C′D．平面AMC⊥平面A′MC′【解析】如图，设AC，A′C′的中点分别为D，D′，连接MD，MD′，BD．对于A，因为A′C⊂平面AA′C′C，C′M⊂平面BB′C′C，平面AA′C′C∩平面BB′C′C＝CC′，A′C∩CC′＝C，C′M∩CC′＝C′，所以A′C，C′M为异面直线，故A错误．对于B，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，A′C′∥AC，又A′C′⊄平面AMC，AC⊂平面AMC，所以A′C′∥平面AMC，故B正确．对于C，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，BB′⊥平面A′B′C′，则BB′⊥B′C′．又∠ABC＝90°，所以∠A′B′C′＝90°，即B′C′⊥A′B′．又BB′∩A′B′＝B′，BB′，A′B′⊂平面AA′B′B，则B′C′⊥平面AA′B′B，又AM⊂平面AA′B′B，所以B′C′⊥AM，故C正确．对于D，不妨设BB′＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)BC＝2，因为∠ABC＝90°，所以AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2，BD＝eq\f(1,2)AC＝1．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，易知BM⊥BD，则MD＝eq\r(BD2＋BM2)＝eq\r(2)，同理可得MD′＝eq\r(2)，又DD′＝BB′＝2，所以DD′2＝MD2＋MD′2，即MD⊥MD′．又MA＝eq\r(AB2＋MB2)＝eq\r(3)＝MC，D为AC中点，所以MD⊥AC，又AC∥A′C′，所以MD⊥A′C′．又MD′∩A′C′＝D′，MD′，A′C′⊂平面A′MC′，所以MD⊥平面A′MC′，又MD⊂平面AMC，所以平面AMC⊥平面A′MC′，故D正确．7．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(BC)ABCD【解析】设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP与MN所成的角．在Rt△OPC中，OC＝eq\r(,2)，CP＝1，则tan∠POC＝eq\f(1,\r(,2))＝eq\f(\r(,2),2)，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图(2)，取MT的中点Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN．在正方体BCNS－ADTM中，SM⊥平面ADTM，而OQ⊂平面ADTM，故SM⊥OQ，而SM∩MT＝M，故OQ⊥平面NTMS．又MN⊂平面NTMS，故OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ．因为OP⊂平面OPQ，所以MN⊥OP，故B正确．对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，同理可得OP⊥BD，则OP⊥MN，故C正确．对于D，如图(4)，取AD的中点Q，连接PQ，QO，OD，BD，OA，MN，则MN∥BD∥PQ，所以∠QPO或其补角为异面直线OP与MN所成的角．因为正方体的棱长为2，故PQ＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(,2)，OQ＝eq\r(,DO2＋DQ2)＝eq\r(,2＋1)＝eq\r(,3)，OA＝eq\r(,OD2＋AD2)＝eq\r(,6)，OP＝eq\r(,5)，因为OQ2＜PQ2＋OP2，所以∠QPO不是直角，即OP，MN不垂直，故D错误．图(1)图(2)图(3)图(4)三、解答题8．如图，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，F为CE的中点．(1)求证：AE∥平面BDF．【解答】连接AC交BD于点O，连接OF(图略)．因为四边形ABCD是矩形，所以O为AC的中点．又F为EC的中点，所以OF为△ACE的中位线，所以OF∥AE．又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，所以AE∥平面BDF．(2)M为CD上的任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】当P为AE的中点时，有PM⊥BE．证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH．因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH∥AB．又AB∥CD，所以PH∥CD，所以P，H，C，D四点共面．因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，所以CD⊥BE．因为BC＝CE，H为BE的中点，所以CH⊥BE．又CD∩CH＝C，CD⊂平面DPHC，CH⊂平面DPHC，所以BE⊥平面DPHC．又PM⊂平面DPHC，所以PM⊥BE．9．如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA＝DC＝2AB．(1)求异面直线PC和AB所成角的大小；【解答】因为DC∥AB，所以异面直线PC和AB所成角即为PC和DC所成角，即∠PCD．因为△PAD是正三角形，DA＝DC＝2AB，所以PD＝DC．因为AB⊥平面PAD，所以D