第34讲 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第34讲直线与平面、平面与平面平行的判定与性质-2027届高考数学一轮复习知识整合体系重构激活思维1．已知a，b为不同的直线，α为平面，则下列命题中正确的是()A．若a∥b，则a平行于经过b的任何平面B．若a∥α，则a与α内的任何直线平行C．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α2．平面α与平面β平行的一个充分条件可以是()A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何一条直线都与β平行3．设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A．若l⊥m，m⊥n，则n∥lB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αD．若m∥α，α∥β，则m∥β4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下列说法正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥βD．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上且PM＝tPC．若PA∥平面MQB，则实数t的值为_________．聚焦知识1．直线和平面平行(1)定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行．(2)判定方法：文字语言图形语言符号语言线线平行⇒线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a，,a⊂α，,l⊄α))⇒l∥α面面平行⇒线面平行如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,a⊂α))⇒a∥β(3)性质定理：文字语言图形语言符号语言线面平行⇒线线平行一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝b))⇒l∥b2．两个平面平行(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行．(2)判定方法：文字语言图形语言符号语言线面平行⇒面面平行如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β，,b∥β，,a∩b＝P，,a⊂α，,b⊂α))⇒α∥β(3)性质定理：文字语言图形语言符号语言面面平行⇒线线平行两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))⇒a∥b3．常用结论(1)平行关系中的三个重要结论①垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．②垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．③平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．(2)与平行关系有关的性质①夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．②两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．③同一条直线与两个平行平面所成的角相等．题型突破思维拓展举题说法与线、面平行相关命题的判定例1若m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列说法正确的是()A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥βB．若m，n相交且都在α，β外，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．变式1(多选)设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若a∥b且b⊂α，则a∥αB．若a∥α且b⊂α，则a，b不一定平行C．若a∥b且a∥α，则b不一定平行于αD．若a∥α且b∥α，则a，b平行或异面线面平行的判定定理的应用例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE相交于点O，G是线段OF上的一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．变式2如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，E，F分别是AB，PC的中点，求证：EF∥平面PAD．线面平行的性质定理的应用例3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD＝1，E为线段AD的中点，平面BEF与棱PD相交于点G，求证：BE∥FG．在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．变式3如图，在三棱锥P－ABC中，D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则eq\f(AF,FC)的值为()A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)面面平行的判定定理与性质定理的应用例4如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，设M，N分别为PD，AD的中点，求证：平面CMN∥平面PAB．(1)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②利用面面平行的定义．(2)面面平行条件的应用：①两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行；②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．变式4如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则eq\f(CG,CC1)等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)随堂内化1．如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()A．eq\f(6,5) B．eq\f(7,5)C．eq\f(8,5) D．eq\f(9,5)2．如图，在正四棱锥S－ABCD中，SA＝BS＝SC＝SD＝2，AB＝eq\r(2)，P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD，判断侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求eq\f(SE,EC)的值；若不存在，请说明理由．配套精练一、单项选择题1．设α，β为两个不重合的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α，β垂直于同一个平面C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一条直线2．如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′．若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶253．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列说法正确的是()A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α∥β，β∥γ，则α∥γ4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中点，则()A．B1C∥平面A1BMB．A1B1∥平面BDMC．BM∥平面ACD1D．BC1∥平面A1MC二、多项选择题5．已知m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，那么()A．当m⊥β或n⊥α时，α⊥βB．当m∥β且n∥α时，α∥βC．当α⊥β时，m⊥β或n⊥αD．当α，β不平行时，m与β不平行且n与α不平行6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，下列结论正确的是()A．平面EFGH∥平面ABCDB．PA∥平面BDGC．EF∥平面PBCD．EF∥平面BDG7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，则下列说法正确的是()A．E，F，G，H四点共面B．平面EGH∥平面ABC1C．直线A1A与FH异面D．直线BC与平面AFH平行三、填空题8．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝BC，点E在棱PB上，若PD∥平面EAC，则eq\f(PE,EB)＝_________．9．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝_________；若ED与AF相交于点H，则GH＝_________．四、解答题10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是线段A1B，AC1的中点．(1)求证：MN∥平面ABC．(2)是否在线段BC1上存在一点P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出点P的具体位置；若不存在，请说明理由．11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PCD．(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出eq\f(PE,PD)的值；若不存在，请说明理由．参考答案激活思维1．已知a，b为不同的直线，α为平面，则下列命题中正确的是(D)A．若a∥b，则a平行于经过b的任何平面B．若a∥α，则a与α内的任何直线平行C．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α【解析】对于A，a可能在经过直线b的平面内，故A错误；对于B，a与α内的直线有平行和异面两种位置关系，故B错误；对于C，a与b可能出现三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；对于D，已知a∥α，a∥b，b⊄α，过a作平面β交α于直线c，则a∥c，所以b∥c，所以b∥α，故D正确．2．平面α与平面β平行的一个充分条件可以是(D)A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何一条直线都与β平行【解析】对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．3．设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(C)A．若l⊥m，m⊥n，则n∥lB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αD．若m∥α，α∥β，则m∥β【解析】由题意，作长方体ABCD－A1B1C1D1，如图所示．对于A，当BB1为l，m为A1B1，n为B1C1时，显然l⊥m，m⊥n，但l∩n＝B1，故A错误；对于B，当平面α为平面ABCD，平面β为平面A1ADD1，m为B1C1时，显然m∥α，m∥β，但α∩β＝AD，故B错误；对于C，因为m∥α，所以∃a⊂α，m∥a，因为m∥n，所以a∥n，因为a⊂α，n⊄α，所以n∥α，故C正确；对于D，当平面α为平面ABCD，平面β为平面A1B1C1D1，m为B1C1时，显然m∥α，α∥β，但m⊂β，故D错误．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下列说法正确的是(C)A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥βD．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β【解析】对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，故A错误．对于B，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β可能相交，故B错误．对于C，因为m⊂α，n⊂β，m，n为异面直线，所以m⊄β．又m∥β，所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l∥m，且l⊄α，进而可得l∥α．因为m，n是异面直线，n⊂β，所以l与n相交．又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确．对于D，平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能相交，故D错误．5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上且PM＝tPC．若PA∥平面MQB，则实数t的值为__eq\f(1,3)__．【解析】如图，连接BQ，交AC于点N，连接MN．因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，所以PA∥MN．由Q为AD中点，AD∥BC，得eq\f(AN,NC)＝eq\f(AQ,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PM,PC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(1,3)，即PM＝eq\f(1,3)PC，所以实数t的值为eq\f(1,3)．聚焦知识1．直线和平面平行(1)定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行．(2)判定方法：文字语言图形语言符号语言线线平行⇒线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a，,a⊂α，,l⊄α))⇒l∥α面面平行⇒线面平行如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,a⊂α))⇒a∥β(3)性质定理：文字语言图形语言符号语言线面平行⇒线线平行一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝b))⇒l∥b2．两个平面平行(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行．(2)判定方法：文字语言图形语言符号语言线面平行⇒面面平行如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β，,b∥β，,a∩b＝P，,a⊂α，,b⊂α))⇒α∥β(3)性质定理：文字语言图形语言符号语言面面平行⇒线线平行两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))⇒a∥b3．常用结论(1)平行关系中的三个重要结论①垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．②垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．③平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．(2)与平行关系有关的性质①夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．②两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．③同一条直线与两个平行平面所成的角相等．题型突破思维拓展举题说法与线、面平行相关命题的判定例1若m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列说法正确的是(B)A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥βB．若m，n相交且都在α，β外，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n【解析】对于A，在如图(1)所示三棱柱中，平面BCC1B1＝γ，平面ACC1A1＝α，平面ABB1A1＝β，m＝CC1，n＝BB1，满足α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，但α，β相交，A错误．对于B，如图(2)，m，n相交且都在α，β外，设m，n确定的平面为γ，即m，n⊂γ．因为m∥α，n∥α，故可得γ∥α，同理γ∥β，故α∥β，B正确．对于C，若m∥n，n⊂α，则m⊂α或m∥α，C错误．对于D，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行或相交或异面，D错误．图(1)图(2)(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．变式1(多选)设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，下列说法正确的是(BC)A．若a∥b且b⊂α，则a∥αB．若a∥α且b⊂α，则a，b不一定平行C．若a∥b且a∥α，则b不一定平行于αD．若a∥α且b∥α，则a，b平行或异面【解析】若a∥b且b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；若a∥α且b⊂α，则a∥b或a，b为异面直线，故B正确；若a∥b且a∥α，则b∥α或b⊂α，故C正确；若a∥α且b∥α，则a∥b或a，b相交或异面，故D错误．线面平行的判定定理的应用例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE相交于点O，G是线段OF上的一点．(1)求证：AP∥平面BEF；【解答】(1)因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E为AD的中点，所以BC＝AE，BC∥AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．又因为F是PC的中点，所以FO∥AP．因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF．(2)求证：GH∥平面PAD．【解答】如图，连接FH，EC，OH．因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD．又因为FH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以FH∥平面PAD．因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD．又因为OH⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以OH∥平面PAD．又FH∩OH＝H，FH⊂平面OHF，OH⊂平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD．因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．变式2如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，E，F分别是AB，PC的中点，求证：EF∥平面PAD．【解答】如图，取PD中点G，连接AG，FG．因为F，G分别是PC，PD的中点，所以FG∥CD，FG＝eq\f(1,2)CD．因为底面ABCD是菱形，E是AB的中点，所以AE∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD，所以FG∥AE，FG＝AE，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG．又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．线面平行的性质定理的应用例3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD＝1，E为线段AD的中点，平面BEF与棱PD相交于点G，求证：BE∥FG．【解答】因为E为线段AD的中点，所以DE＝eq\f(1,2)AD＝1．因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DE∥BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD．因为BE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD．因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，所以BE∥FG．在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．变式3如图，在三棱锥P－ABC中，D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则eq\f(AF,FC)的值为(C)A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG．因为AD∥平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG．因为D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是△PBC的重心，所以eq\f(AF,FC)＝eq\f(DG,GC)＝eq\f(1,2)．面面平行的判定定理与性质定理的应用例4如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，设M，N分别为PD，AD的中点，求证：平面CMN∥平面PAB．【解答】因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥PA．又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°．又∠BAC＝60°，所以CN∥AB．因为CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CN∥平面PAB．又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，所以平面CMN∥平面PAB．(1)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②利用面面平行的定义．(2)面面平行条件的应用：①两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行；②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．变式4如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则eq\f(CG,CC1)等于(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)【解析】如图，连接B1D1，FG,因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面BB1D1D＝EF，平面BD1G∩平面BB1D1D＝BD1，则EF∥BD1，于是eq\f(DF,FD1)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,2)．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，而BG⊂平面BCC1B1，则BG∥平面ADD1A1．在平面ADD1A1内存在与AF不重合的直线l∥BG．又平面AEF∥平面BD1G，BG⊂平面BD1G，则BG∥平面AEF．在平面AEF内存在与AF不重合的直线m∥BG，从而m∥l，m⊂平面AEF，l⊄平面AEF，则l∥平面AEF，又l⊂平面ADD1A1，平面AEF∩平面ADD1A1＝AF，因此AF∥l∥BG，BG，AF可确定平面ABGF．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABGF∩平面ABB1A1＝AB，平面ABGF∩平面CDD1C1＝FG，于是AB∥FG，即有CD∥FG，所以eq\f(CG,CC1)＝eq\f(DF,DD1)＝eq\f(1,3)．随堂内化1．如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(C)A．eq\f(6,5) B．eq\f(7,5)C．eq\f(8,5) D．eq\f(9,5)【解析】由AB∥α∥β，易得eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)，即eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)，所以BD＝eq\f(AC·BF,AE)＝eq\f(2×4,5)＝eq\f(8,5)．2．如图，在正四棱锥S－ABCD中，SA＝BS＝SC＝SD＝2，AB＝eq\r(2)，P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD，判断侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求eq\f(SE,EC)的值；若不存在，请说明理由．【解答】在侧棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC，此时eq\f(SE,EC)＝2．理由如下：如图，取SD中点Q，因为SP＝3PD，则PQ＝PD，过Q作PC的平行线交SC于点E，连接BQ，BE．在△BDQ中，BQ∥PO，因为PO⊂平面PAC，BQ⊄平面PAC，所以BQ∥平面PAC．由于eq\f(SQ,QP)＝2，所以eq\f(SE,EC)＝eq\f(SQ,QP)＝2．又QE∥PC，PC⊂平面PAC，QE⊄平面PAC，所以QE∥平面PAC．因为BQ∩QE＝Q，所以平面BEQ∥平面PAC，又BE⊂平面BEQ，所以BE∥平面PAC．配套精练一、单项选择题1．设α，β为两个不重合的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A．α内有无数条直线与β平行B．α，β垂直于同一个平面C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一条直线【解析】对于A，α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，只有α内所有直线与β平行才能得出α∥β，故A错误；对于B，α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α与β相交，故B错误；对于C，α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，因为垂直于同一条直线的两平面平行，故α，β垂直于同一条直线能推出α∥β，故D正确．2．如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′．若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(D)A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25【解析】因为平面α∥平面ABC，所以A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2．又PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25．3．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列说法正确的是(D)A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α∥β，β∥γ，则α∥γ【解析】对于A，若m∥α，n⊂α，则m，n可能平行也可能异面，故A错误；对于B，若m∥α，α∥β，则m可能与平面β平行，也可能在平面β内，故B错误；对于C，若m∥α，m∥β，则α与β可能平行也可能相交，故C错误；对于D，根据平行平面的传递性，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，故D正确．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中点，则(D)A．B1C∥平面A1BMB．A1B1∥平面BDMC．BM∥平面ACD1D．BC1∥平面A1MC【解析】对于A，取CC1的中点N，连接MN，BN，CD1，如图(1)，长方体ABCD－A1B1C1D1的对角面A1BCD1是矩形，A1B∥D1C∥MN，且BN⊂平面A1BM，而B1C与BN相交，则B1C与平面A1BM有公共点，故A不正确．对于B，取B1C1的中点P，连接MP，BP，D1B1，BD，DM，如图(2)，长方体ABCD－A1B1C1D1的对角面BDD1B1是矩形，DB∥D1B1∥MP，而A1B1∩D1B1＝B1，又A1B1，D1B1，MP都在平面A1B1C1D1内，则A1B1与MP相交，因此A1B1与平面BDM有公共点，故B不正确．对于C，取AB的中点Q，连接D1Q，AD1，AC，CD1，BM，如图(3)，由AB∥A1B1∥D1C1，AB＝A1B1＝D1C1，则BQ∥D1M，BQ＝D1M，四边形BQD1M是平行四边形，因此BM∥D1Q，又D1Q∩平面ACD1＝D1，则BM与平面ACD1相交，故C不正确．对于D，取AB的中点Q，A1B1的中点O，连接A1Q，CQ，MQ，C1O，OQ，如图(4)，在矩形ABB1A1中，QO∥BB1∥CC1，QO＝BB1＝CC1，则四边形CC1OQ是平行四边形，有CQ∥C1O．在矩形A1B1C1D1中，A1O∥MC1，A1O＝MC1，即四边形A1MC1O是平行四边形，有A1M∥C1O∥CQ．又C1M∥A1B1∥BQ，C1M＝eq\f(1,2)A1B1＝BQ，则四边形C1MQB是平行四边形，则BC1∥MQ．因为MQ⊂平面A1MC，BC1⊄平面A1MC，所以BC1∥平面A1MC，故D正确．图(1)图(2)图(3))图(4))二、多项选择题5．已知m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，那么(AB)A．当m⊥β或n⊥α时，α⊥βB．当m∥β且n∥α时，α∥βC．当α⊥β时，m⊥β或n⊥αD．当α，β不平行时，m与β不平行且n与α不平行【解析】对于A，当m⊥β，m⊂α时，α⊥β；当n⊥α，n⊂β时，α⊥β，故A正确．对于B，当m∥β，n∥α时，又m，n为异面直线，所以α∥β，故B正确．对于C，当α⊥β时，由m⊂α，得m∥β或m与β相交；当α⊥β时，由n⊂β，得n∥α或n与α相交，故C错误．对于D，当α，β不平行时，可能m∥β或m与β相交，n∥α或n与α相交，故D错误．6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(ABC)A．平面EFGH∥平面ABCDB．PA∥平面BDGC．EF∥平面PBCD．EF∥平面BDG【解析】先把平面展开图还原为一个四棱锥如图所示．对于A，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，所以EF∥AD，GH∥BC，因为AD∥BC，所以EF∥GH，所以EF，GH确定平面EFGH，因为EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，同理可得AB∥平面EFGH．因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD，所以A正确．对于B，连接AC，BD交于点O，则O为AC的中点，连接OG，因为G为PC的中点，所以OG∥PA，因为OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，所以B正确．对于C，由E，F分别为PA，PD的中点，可得EF∥AD，又由AD∥BC，可得EF∥BC．因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以C正确．对于D，若EF∥平面BDG，因为PA∥平面BDG，且EF∩PA＝E，EF，PA⊂平面PAD，可得平面PAD∥平面BDG，显然不正确，所以EF与平面BDG不平行，所以D不正确．7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，则下列说法正确的是(ABC)A．E，F，G，H四点共面B．平面EGH∥平面ABC1C．直线A1A与FH异面D．直线BC与平面AFH平行【解析】如图，由题意可知EH∥A1B1，FG∥A1B1，则EH∥FG，故A正确．易知GH∥BC1，EH∥AB，GH⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，EH⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，所以GH∥平面ABC1，EH∥平面ABC1．又GH∩EH＝H，GH，EH⊂平面EGH，所以平面EGH∥平面ABC1，故B正确．A，A1，F三点确定一个平面，点H不在此平面内，故C正确．取A1B1的中点M，连接FM，则FM∥B1C1，所以FM∥BC．又点F在平面AFH内，点M在平面AFH外，所以直线FM与平面AFH不可能平行，即直线BC与平面AFH不可能平行，D错误．三、填空题8．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝BC，点E在棱PB上，若PD∥平面EAC，则eq\f(PE,EB)＝__2__．【解析】如图，连接BD交AC于点O，连接OE．因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以