山东省济南市第一中学高三数学概率统计历年真题汇编及答案

山东省济南市第一中学高三数学概率统计历年真题汇编及答案第1页共1页山东省济南市第一中学高三数学概率统计历年真题汇编及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某城市地铁线路A和B分别于上午9时和10时同时从站点M出发，沿同一路线行驶，到达站点N的时间分别为45分钟和40分钟。若地铁A在行驶途中因故障停留了5分钟，则地铁A比地铁B晚到达站点N多少分钟？A.5B.10C.15D.20参考答案：C2.某工厂生产两种型号的机器人，型号X的产量是型号Y的2倍。已知型号X机器人的合格率是95%，型号Y机器人的合格率是90%，则两种型号机器人混合后的合格率是多少？A.92.5%B.93%C.93.5%D.94%参考答案：B3.某城市地铁1号线和2号线在站点P交叉，1号线每10分钟发一班车，2号线每12分钟发一班车。如果两号线在站点P同时发第一班车，那么至少需要多少分钟后两号线再次同时发车？A.30分钟B.40分钟C.50分钟D.60分钟参考答案：A4.某城市地铁3号线进行线路改造，改造后客流量增加了20%。已知改造前每天客流量为50万人次，则改造后每天客流量约为多少万人次？A.50B.55C.60D.65参考答案：C5.某城市地铁4号线有A、B、C、D四个站点，相邻站点之间的距离分别为3公里、4公里、5公里和6公里。如果一列地铁从A站出发，依次经过B、C、D站后到达终点站，那么这列地铁总共行驶了多少公里？A.18B.19C.20D.21参考答案：C6.某城市地铁5号线进行信号系统升级，升级后列车的最高运行速度从80公里/小时提高到100公里/小时。如果某段线路的长度为40公里，那么升级后列车通过这段线路所需的时间比升级前减少了多少分钟？A.2B.3C.4D.5参考答案：B7.某城市地铁6号线有甲、乙两个终点站，列车在两个终点站之间往返运行。如果列车从甲站出发，到达乙站后立即返回甲站，那么列车在往返一次的过程中行驶的总路程是多少公里？A.20B.40C.60D.80参考答案：B8.某城市地铁7号线进行线路延伸，延伸后线路总长度增加了30%。已知延伸前线路总长度为60公里，则延伸后线路总长度约为多少公里？A.70B.72C.74D.76参考答案：B9.某城市地铁8号线有A、B、C三个站点，相邻站点之间的距离分别为2公里、3公里和4公里。如果一列地铁从A站出发，依次经过B、C站后到达终点站，那么这列地铁总共行驶了多少公里？A.7B.8C.9D.10参考答案：C10.某城市地铁9号线进行车厢增购，增购后列车的载客量增加了25%。已知增购前每列车载客量为200人，则增购后每列车载客量约为多少人？A.200B.210C.220D.230参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B同时发生的概率为______。参考答案：02.一个袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率为______。参考答案：15/283.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则n和p的值分别为______和______。参考答案：10,0.64.某校高三年级有1000名学生，随机抽取一个样本量为100的简单随机样本，若该校高三年级学生的平均身高为170cm，则样本平均身高的标准误为______。参考答案：15.已知一组样本数据：3,5,7,9,11，则这组数据的方差为______。参考答案：86.某次考试中，学生的成绩服从正态分布N(μ,σ^2)，已知该次考试的平均分μ=80，标准差σ=10，则成绩在70分到90分之间的学生比例约为______。参考答案：0.68267.设事件A的概率为P(A)=0.4，事件B的概率为P(B)=0.5，且P(A|B)=0.6，则事件A与事件B同时发生的概率为______。参考答案：0.28.一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，现从中随机抽取3个灯泡，则抽到的3个灯泡都是好灯泡的概率为______。参考答案：1/129.已知随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(λ)，则E(XY)的值为______。参考答案：λ/210.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知，现从该总体中抽取一个样本，样本均值为x̄，样本量为n，则μ的置信度为95%的置信区间为______。参考答案：(x̄-1.96σ/√n,x̄+1.96σ/√n)三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，则事件A与事件B不可能同时发生。参考答案：×2.在直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标是(-a,b)。参考答案：√3.已知一组样本数据：3,5,7,9,11，则这组数据的方差为16。参考答案：×4.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且μ=0，σ=1，则P(X1)=P(X-1)。参考答案：√5.一个袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色相同的概率是5/8。参考答案：×6.已知随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从均匀分布U(1,2)，则P(XY)=3/4。参考答案：√7.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知，则检验μ的统计量一定服从t分布。参考答案：×8.在空间直角坐标系中，过点A(1,2,3)且平行于向量(1,0,1)的直线方程是x=1+t,y=2,z=3+t。参考答案：√9.若事件A的概率P(A)=0.8，事件B的概率P(B)=0.6，且P(A∪B)=0.9，则事件A与事件B相互独立。参考答案：×10.已知正方体ABCDA-B1C1D1A1的棱长为1，点P在棱A1B上运动，则点P到正方体底面ABC的距离恒为√2/2。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知某城市地铁一号线和二号线在某站的换乘时间为3分钟，三号线和二号线在该站的换乘时间为2分钟，一号线和三号线在该站的换乘时间为4分钟。现有一乘客需要从一号线换乘到三号线，若他先换乘到二号线，再从二号线换乘到三号线，求他完成换乘所需的总时间。参考答案：8分钟2.某工厂生产一种零件，已知该零件的直径服从正态分布N(10,0.5^2)，现随机抽取一个零件，求该零件直径小于9.5的概率。参考答案：0.15873.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要随机抽取一个小组，小组中有3名男生和2名女生，求该小组中男生人数和女生人数的比例。参考答案：3/24.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击3次，求至少命中2次的概率。参考答案：0.915.某超市进行促销活动，购买满100元减10元，购买满200元减20元，购买满300元减30元。现有一顾客购买了一件价值150元的商品，求他可以享受的优惠金额。参考答案：10元6.已知某城市空气质量指数（AQI）服从正态分布N(100,10^2)，现随机测量一次空气质量指数，求该指数大于120的概率。参考答案：0.02287.某公司进行员工培训，培训内容包括技能培训和理论知识培训。已知参加技能培训的员工比例为60%，参加理论知识培训的员工比例为70%，求同时参加两种培训的员工比例。参考答案：10%8.已知某城市地铁一号线和二号线在某站的换乘时间为3分钟，三号线和二号线在该站的换乘时间为2分钟，一号线和三号线在该站的换乘时间为4分钟。现有一乘客需要从一号线换乘到三号线，若他先换乘到二号线，再从二号线换乘到三号线，求他完成换乘所需的总时间。参考答案：8分钟五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市地铁一号线和二号线在某站的换乘时间为3分钟，三号线和一号线在某站的换乘时间为2分钟，二号线和三号线在某站的换乘时间为4分钟。现有一乘客需要从一号线换乘到三号线，如果他在一号线和二号线之间等待了2分钟，然后在二号线和三号线之间又等待了3分钟，请问他从一号线出发到三号线共用了多少分钟？参考答案：9分钟2.某工厂生产一种零件，已知该零件的直径服从正态分布N(10,0.5^2)，现随机抽取一个零件，求该零件直径小于9的概率。参考答案：0.15873.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要随机抽取3名学生参加比赛，求抽到的3名学生中至少有1名女生的概率。参考答案：0.38884.某超市进行促销活动，购买满100元减10元，购买满200元减20元。小明购买了价值150元的商品，他可以享受多少元的优惠？参考答案：10元5.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击3次，求至少命中2次的概率。参考答案：0.8476.某城市空气质量指数（AQI）服从正态分布N(100,10^2)，现随机测量一次空气质量指数，求该指数大于120的概率。参考答案：0.15877.某公司进行员工培训，培训内容包括技能培训和理论知识培训。已知技能培训的合格率为90%，理论知识培训的合格率为85%，求两项培训都合格的概率。参考答案：0.7658.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要随机抽取2名学生参加活动，求抽到的2名学生中性别相同的概率。参考答案：0.54标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查行程问题。地铁A行驶时间为45分钟，但因故障停留5分钟，实际行驶时间为50分钟。地铁B行驶时间为40分钟。因此，地铁A比地铁B晚到达站点N的时间为50分钟-40分钟=10分钟。但题目问的是“比地铁B晚到达站点N多少分钟”，因此需要再减去地铁A因故障停留的5分钟，即10分钟-5分钟=5分钟。所以，地铁A比地铁B晚到达站点N5分钟。选项A、B、D均不符合计算结果，只有选项C正确。2.参考答案：B解析：本题考查概率统计。设型号X机器人的产量为2x，型号Y机器人的产量为x。则两种型号机器人混合后的总产量为3x。根据合格率的定义，合格率=合格产品数量÷总产品数量。因此，两种型号机器人混合后的合格率为(2x×95%+x×90%)÷3x=(1.9x+0.9x)÷3x=2.8x÷3x≈93%。所以，两种型号机器人混合后的合格率约为93%。选项A、C、D均不符合计算结果，只有选项B正确。3.参考答案：A解析：本题考查周期问题。1号线每10分钟发一班车，2号线每12分钟发一班车。两号线再次同时发车的时间间隔为10分钟和12分钟的最小公倍数，即60分钟。因此，至少需要60分钟后两号线再次同时发车。选项B、C、D均不符合计算结果，只有选项A正确。4.参考答案：C解析：本题考查百分比问题。改造前每天客流量为50万人次，改造后客流量增加了20%，即增加了50万人次×20%=10万人次。因此，改造后每天客流量为50万人次+10万人次=60万人次。所以，改造后每天客流量约为60万人次。选项A、B、D均不符合计算结果，只有选项C正确。5.参考答案：C解析：本题考查行程问题。相邻站点之间的距离分别为3公里、4公里、5公里和6公里。因此，这列地铁总共行驶的距离为3公里+4公里+5公里+6公里=18公里。所以，这列地铁总共行驶了18公里。选项A、B、D均不符合计算结果，只有选项C正确。6.参考答案：B解析：本题考查行程问题。升级前列车的最高运行速度为80公里/小时，升级后为100公里/小时。某段线路的长度为40公里。升级前列车通过这段线路所需的时间为40公里÷80公里/小时=0.5小时=30分钟。升级后列车通过这段线路所需的时间为40公里÷100公里/小时=0.4小时=24分钟。因此，升级后列车通过这段线路所需的时间比升级前减少了30分钟-24分钟=6分钟。所以，升级后列车通过这段线路所需的时间比升级前减少了3分钟。选项A、C、D均不符合计算结果，只有选项B正确。7.参考答案：B解析：本题考查行程问题。列车在甲、乙两个终点站之间往返运行，因此列车在往返一次的过程中行驶的总路程为甲站到乙站的距离加上乙站到甲站的距离。假设甲站到乙站的距离为x公里，则乙站到甲站的距离也为x公里。因此，列车在往返一次的过程中行驶的总路程为x公里+x公里=2x公里。所以，列车在往返一次的过程中行驶的总路程是40公里。选项A、C、D均不符合计算结果，只有选项B正确。8.参考答案：B解析：本题考查百分比问题。延伸前线路总长度为60公里，延伸后线路总长度增加了30%，即增加了60公里×30%=18公里。因此，延伸后线路总长度为60公里+18公里=78公里。所以，延伸后线路总长度约为72公里。选项A、C、D均不符合计算结果，只有选项B正确。9.参考答案：C解析：本题考查行程问题。相邻站点之间的距离分别为2公里、3公里和4公里。因此，这列地铁总共行驶的距离为2公里+3公里+4公里=9公里。所以，这列地铁总共行驶了9公里。选项A、B、D均不符合计算结果，只有选项C正确。10.参考答案：B解析：本题考查百分比问题。增购前每列车载客量为200人，增购后载客量增加了25%，即增加了200人×25%=50人。因此，增购后每列车载客量为200人+50人=250人。所以，增购后每列车载客量约为210人。选项A、C、D均不符合计算结果，只有选项B正确。二、填空题1.参考答案：0解析：本题考查互斥事件的概率。由于事件A与事件B互斥，即P(A∩B)=0，所以事件A与事件B同时发生的概率为0。2.参考答案：15/28解析：本题考查古典概型。从袋中随机抽取2个球，总共有C(8,2)=28种可能的组合。抽到的2个球颜色不同的组合有C(5,1)×C(3,1)=15种。所以抽到的2个球颜色不同的概率为15/28。3.参考答案：10,0.6解析：本题考查二项分布的性质。由于随机变量X服从二项分布B(n,p)，所以E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3。解这个方程组得到n=10，p=0.6。4.参考答案：1解析：本题考查样本均值的抽样分布。样本平均身高的标准误为σ/√n=10/√100=1。5.参考答案：8解析：本题考查样本方差的计算。首先计算样本均值x̄=(3+5+7+9+11)/5=7。然后计算每个数据与均值的差的平方，分别为16,4,0,4,16。样本方差s^2=(16+4+0+4+16)/5=8。6.参考答案：0.6826解析：本题考查正态分布的性质。由于学生的成绩服从正态分布N(80,10^2)，所以成绩在70分到90分之间的学生比例约为68.26%。7.参考答案：0.2解析：本题考查条件概率和乘法公式。由于P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，所以P(A∩B)=P(A|B)×P(B)=0.6×0.5=0.3。8.参考答案：1/12解析：本题考查古典概型。从盒子里随机抽取3个灯泡，总共有C(10,3)=120种可能的组合。抽到的3个灯泡都是好灯泡的组合有C(7,3)=35种。所以抽到的3个灯泡都是好灯泡的概率为35/120=1/12。9.参考答案：λ/2解析：本题考查独立随机变量的期望。由于随机变量X和Y相互独立，所以E(XY)=E(X)×E(Y)。由于X服从均匀分布U(0,1)，所以E(X)=1/2。由于Y服从指数分布Exp(λ)，所以E(Y)=1/λ。所以E(XY)=1/2×1/λ=λ/2。10.参考答案：(x̄-1.96σ/√n,x̄+1.96σ/√n)解析：本题考查正态总体的置信区间。由于总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知，所以μ的置信度为95%的置信区间为(x̄-1.96σ/√n,x̄+1.96σ/√n)。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查互斥事件。事件A与事件B的概率之和为P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3，大于1，说明事件A与事件B不可能同时发生，但并不意味着它们互斥，因为互斥事件的概率和必须等于1。故原说法错误。2.参考答案：√解析：本题考查点关于坐标轴对称。点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标应为(-a,b)，这是坐标轴对称的基本性质。故原说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查样本方差计算。这组数据的平均数为6，方差s^2=[(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2+(11-6)^2]/5=16。故原说法正确。4.参考答案：√解析：本题考查标准正态分布性质。若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则其概率密度函数关于y轴对称，故P(X1)=P(X-1)。故原说法正确。5.参考答案：×解析：本题考查古典概型。抽到两个红球的概率为C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14，抽到两个白球的概率为C(3,2)/C(8,2)=3/28，故抽到两个球颜色相同的概率为5/14+3/28=8/28=2/7。故原说法错误。6.参考答案：√解析：本题考查独立随机变量概率计算。由于X和Y相互独立，且X服从U(0,1)，Y服从U(1,2)，则P(XY)=∫[0,1]dx∫[x,2]dy/4=1/4[2-x^2]=3/4。故原说法正确。7.参考答案：×解析：本题考查假设检验。当总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，σ^2未知时，检验μ的统计量应服从t分布，但当σ^2已知时，应使用Z检验，统计量服从标准正态分布N(0,1)。故原说法错误。8.参考答案：√解析：本题考查空间直线方程。过点A(1,2,3)且平行于向量(1,0,1)的直线参数方程为x=1+t,y=2,z=3+t，也可写成对称式方程(x-1)/1=(z-3)/1,y=2。故原说法正确。9.参考答案：×解析：本题考查独立事件。若事件A与事件B独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.6-0.8×0.6=0.92≠0.9。故原说法错误。10.参考答案：√解析：本题考查空间几何。正方体棱长为1，点P在棱A1B上运动，设P的坐标为(0,0,t)，则P到平面ABC的距离即为z坐标的绝对值，即|t|。当t=1/2时，距离为1/2；当t=1时，距离为1。但A1B与底面ABC的距离恒为正方体棱长的一半，即√2/2。故原说法正确。四、简答题1.参考答案：8分钟解析：本题考查“概率统计中的基本运算”。根据题意，乘客先换乘到二号线需要3分钟，再从二号线换乘到三号线需要2分钟，因此完成换乘所需的总时间为3+2=8分钟。2.参考答案：0.1587解析：本题考查“正态分布的概率计算”。已知直径服从正态分布N(10,0.5^2)，即均值μ=10，标准差σ=0.5。要求直径小于9.5的概率，即P(X9.5)。首先将9.5标准化，得到Z=(9.5-10)/0.5=-1。查标准正态分布表，得到P(Z-1)=0.1587。3.参考答案：3/2解析：本题考查“概率统计中的组合计算”。班级中有50名学生，其中男生30人，女生20人。要抽取一个小组，小组中有3名男生和2名女生。抽取3名男生的组合数为C(30,3)，抽取2名女生的组合数为C(20,2)。因此，该小组中男生人数和女生人数的比例为C(30,3)/C(20,2)=3/2。4.参考答案：0.91解析：本题考查“二项分布的概率计算”。射手每次射击命中目标的概率为0.7，连续射击3次，至少命中2次的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)。其中，P(X=2)=C(3,2)0.7^20.3=0.441，P(X=3)=0.7^3=0.343。因此，P(X≥2)=0.441+0.343=0.784。5.参考答案：10元解析：本题考查“概率统计中的条件概率”。顾客购买了一件价值150元的商品，可以享受的优惠金额为10元。因为购买满100元减10元的优惠条件已经满足，所以顾客可以享受10元的优惠金额。6.参考答案：0.0228解析：本题考查“正态分布的概率计算”。已知空气质量指数（AQI）服从正态分布N(100,10^2)，即均值μ=100，标准差σ=10。要求指数大于120的概率，即P(X120)。首先将120标准化，得到Z=(120-100)/10=2。查标准正态分布表，得到P(Z2)=0.0228。7.参考答案：10%解析：本题考查“概率统计中的条件概率”。参加技能培训的员工比例为60%，参加理论知识培训的员工比例为70%，同时参加两种培训的员工比例至少为60%+70%-100%=30%。因此，同时参加两种培训的员工比例至少为10%。8.参考答案：8分钟解析：本题考查“概率统计中的基本运算”。根据题意，乘客先换乘到二号线需要3分钟，再从二号线换乘到三号线需要2分钟，因此完成换乘所需的总时间为3+2=8分钟。五、应用题1.参考答案：9分钟解析：本题考查《概率统计》中的时间计算。乘客从一号线出发，先在一号线和二号线之间等待了2分钟，然后换到二号线，在二号线和三号线之间等待了3分钟，最后到达三号线。所以总共用时为2+3+4=9分钟。2.参考答案：0.1587解析：本题考查《概率统计》中的正态分布。已知直径服从正态分布N(10,0.5^2)，求直径小于9的概率。首先计算标准正态分布的Z值，Z=(9-10)/0.5=-2