2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考复习卷

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考复习卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.若x=1是关于x的方程a/—%+2=0的解，则a的值为（）

A.-1B.1C.2D.-2

2.关于抛物线y=-（x-2）2+4,下列说法正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线％=—2

C.顶点坐标是（2,4）D.x>2时，y随x增大而增大

3.关于％的一元二次方程/+—l=0的实数根的情兄是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

4.已知抛物线y=a/—2x+l与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下

平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.若打,全是一元二次方程/一2%一2026=0的两个实数根，则*一与+犯的值是

（）

A.2024B.2026C.2028D.4052

6.抛物线y=a/+力x+武。=0）经过四点：（m-1,-t）,（0,-k）,（1,t）,（2其

中two,则下列选项中，值不变的是（）

A-t~kB.k—2tC.5D.tk

7.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十

四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，

长和宽共60步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几

何解法，如图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地

的宽为工,则可列方程为（）

A.(60-2x)2=602-4x864B.x(60+x)=864

C.(60+2x)2=602-4x864D.x(60-2%)=864

8.新定义：对于二次函数A和B,若力的顶点坐标在8的顶点坐标上方，则4是8的“仰顶函数”，

例如：函数y=(x—2)2+2是函数y=2(%+3)2—1卬顶函数”.若无论7n取任何实数，函

数y=/+4%+6—几都是函数y=7+2m工一4m的“仰顶函数”，贝(九的取值范围

()

A.n<-2B.n<2C.n>2D.n>—2

9.已知抛物线y=-x2+2x+3+c(-l<x<3)与直线y=x+l有唯一的交点，贝k的取值

范围是().

A.c=­9B.c>4

4

C.04c44或c=-2D.0Vc44或c=-2

44

10.已知整式N:〃九#+即_1算八一1+…+4%+劭，其中〃为正整数，为自然数，

|aj出1,…1斯1是从1,2中任意选取的一个数,且=10nl+|味/+・••++|a0|.下列说

法：

①若几=1,则满足条件的单项式N共有3个；

②若几=2且S2=3,则使得方程N=0的所有实数根的和为5；

③若？1=3,劭=2且53=6,则满足条件的整式N共有24个.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.把方程(3x+2)(2x—3)=0化为一般形式是.

12.写一个对称轴是直线％=1且开口向下的二次函数解析式为_____.

13.若关于x的一元二次方程a/+.+2=0(aH0)有一个实数根为％=2026,则一元二

次方程a(x-I)2+bx-b+2=0必有一个实数根为.

14.如图，两条曲线关于y轴对称，y轴左侧的部分可以用y=(X十1)2。工0)表示.垂直于y轴

的直线与两条曲线依次相交于点人B,C,D.若=则4。的长为_

15,已知实数a,b,c满足Q+b—2c=10,ab-SO=2c2,则Q—b—c的值为.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=。/+6%一3过点4（一3,0）,B（l,0）,点。，〃均

在抛物线上，其中点C的横坐标为:，点〃在直线4c的下方，当4CO=45°时，点〃的坐标

是.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）

17.（6分）解方程：

（1；4x2-8x+1=0（2）3x2+5（2x+1）=0

18.（6分）已知二次函数y=/+人工+c.

⑴若c=-3,且二次函数的图象经过点（一1,-2）,求函数的顶点坐标;

⑵若b+c=—3,证明：二次函数的图象和x轴有两个交点.

19,(6分)已知关于x的一元二次方程/+2x+2k-3=0有两个不相等的实数根.

(1)求4的取值范围;

(2)设X],不是原方程的两个实数根.若左为正整数，求与小的值.

20.(8分)如图，抛物线y=一(％—1)2+c(c为常数)经过坐标原点。和点4,点4在％轴_1.

(1)求抛物线顶点8的坐标；

(2)连接AB,OB,若点C在x轴下方的抛物线上，且540n=85徵48，求点C的坐标.

21.(8分)“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平.据统计在伦敦世乒

赛造束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人.

⑴求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率；

⑵为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台.该公司规定：若购

买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，

但最低售价不得少于1000元,已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台

的台数.

22.（9分）二次函数y=—（大一//+k的图象与％轴交于点4（一3,0）,8。71,0）且小＞一3,h

—k=-5.

（1）求4,k的值.

（2）当Q—1Wx4a+1时，函数值y都小于3,求Q的取值范围.

23.（9分）已知关于x的一元二次方程a/+加；+。=0有两个实数根与，不，若满足|%i-X2I=

1,则此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

（。下列是“差根方程”的是________;（填写序号）

①/—x=0；②％2—4x-5=0

⑵已知关于X的方程/+2ax=o是“差根方程”，求a的值.

（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为b，若AABC的两边AB、4C的长是一个二次项

系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”.

24.（10分）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练.如图，

在某次训练中，足球场上守门员在。处开出一高球，球从离地面1米的/处飞出（4在y轴上）,

划出一条漂亮的抛物线，足球在距。点4米的B处达到最高点，最高点C距地面的高度为k米,

球在0点落地后又一次弹起落在点E处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最

大高度减少到原来最大高度的一半.

（1）当攵=3时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式；

（2）在（1）的条件下，求足球第二次落地点E到点。的距离（结果保留根号）；

（3）在第一次落球点。的左右分别取点G,H,且OG=6,OH=9,若第一次球落在GH区域内（包

括点G,H）,求k的取值范围.

25,(10分)在平面直角坐标系中,抛物线、=0/+匕义+C(QHO)经过点(OR)和(2,0).

(1)求。的值，并用含a的式子表示加

(2)已知直线丫=-ax+2a,A(m,0)是X轴上一点，过/I作x轴的垂线，交抛物线于点帆,交

直爱y=~ax+2a于点N].

①/〃为何值时，Mi和Ni重合.

②三知B(—3,0),过4作x轴的垂线，交抛物线于点时2，交直线y=-ox+2a于点出.若对于

Q+2WmWa+6都有MINI>M2N2，求d的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.A

解：把X=1代入方程a/—X+2=0,得Q•1.2—1+2=0,即Q+1=0,

解得■〃,=-1.

2.C

解：y=-(%-2)2+4,

，顶点坐标为(2,4),对称轴为直线％=2,故B错误，C正确；

Va=-1<0,

，抛物线开口向下，故A错误,

・••当x>2时，y随x的增大而减小，故D错误.

3.A

解：•二一元二次方程/+bx-1=0中，Q=1,c=-1,

△=b2—4ac=b2—4x1x(-1)=b2+4,

Vb2>0,

Ab2+4>0,

・.•方程有两个不相等的实数根.

4.C

解：•抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，

A=(-2)2-4«a«l=4-4a<0,

解得：cz>1,

原效物线顶点横坐标为％=-白=?=二纵坐标为y="F=f==

2a2aa/4a4aa

根据平移规律，得平移后顶点坐标为弓―3,9—5),

Va>1,

?.0<-a<a1,WJ--3<1-3=-2<0,

又^~~--1——<1,则—5<1—5=—4<0,

aaa

J平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限.

5.C

解：・・21是一元二次方程/一2%一2026=0的实数根，

Xj-2X]—2026=0,

・••比=2%1+2026,

xf—/+小=2/+2026—x1+x2=(%i+%2)+2026,

•・・文1，%2是一元二次方程/-2x-2026=0的两个实数根，

工1+%2=2,

二・好一+不=2+2026=2028.

6.C

解：•.•抛物线、=Q/+bx+C(QH0)经过点(m—1,一£)和(2—m,一£),两点纵坐标相等

抛物线对称轴为直线X==号

•••点(0,—幻和点(L。在抛物线上，且到对称轴％=：的距离相等，

，两点关于抛物线对称轴对称，

，两点纵坐标相等，即一k=t,得k=—t,

依次判断选项：A.t-k=t-(-t)=2t,值随t变化，不是定值，不符合题意；

B、k-2£=-亡-2£=—3£,值随£变化，不是定值，不符合题意；

以3=工=一1，值恒为一1，是定值，符合题意；

k-t

D、=t(-t)=-t2,值随t变化，不是定值，不符合题意.

7.A

解：设矩形田地的宽为x,则长为(60—%),小正方形的边长为(60-2%),

根据小正方形面积的两种求法可列方程为(60-2x)2=602-4X864.

8.A

解：vy=%2+4x4-6—n=(x+2)24-2—n,

・•・该函数顶点纵坐标为2—九，

・.・y=x2+2mx-4m=(x4-m)2-m2-4m,

二・该函数顶点纵坐标为一〃J一4/八,

根据“仰顶函数”的定义可得2—几>一机2一4小，

整理得n<m2+4m+2,

..•无论m取任何实数，函数y=/+4x+6—几都是函数y=/+2mx—47n的“卸顶函数”,

・,・无论?n取任何实数，几V6？+4巾+2恒成立，

/.n小于Hi?+4m+2的最小值,

vm2+4m+2=(rn+2)2—2>—2,即m2+4m+2的最小值为一2,

nV—2.

9.D

解：①当抛物线y=—x2+2%+3+c与直线y=x+1有唯一交点时，方程一%?+2x4-34-c=

x+1有且只有一个实数根.

—X2+2x+3+c=x+1可转化为/-%—2—c=0,当△=1.—4xlx(—2-c)=4c+

.a

9=0时，c=—4,

如图所示.

②方程一/+2X+3+C=X+1,可转化为一/+2x+3=x+l—c.

由题意，可知在一1<%<3的取值范围内，抛物线y=-x2+2x+3与直线y=x+1—c有唯

一的交点.

当直线y=%+1—c过点(-1,0)时，c=0；当直线y=%+1—c过点(3,0)时，c=4,

如图所示.

由图象，可知符合条件的c的取值范围为0Vc44.

综上所述，c的取值范围为0<c44或c=一:.

4

10.B

解：逐个验证三个说法：

①当九=1时，N=a1x+a0,由题知|%|是从1,2中任意选取的一个数，即%。0,若N是单项

式，则必须的=0,%可取±1,±2,共4个满足条件的单项式，故①错误，不符合题意；

2a

②当n=2,N=a2x+aAx+Q0,S2=3时，S2=|a2l+lil+l^ol=3,

是从1,2中任意选取的一个数，的为自然数，

+%)=3,

2

(a)|%|=\a2\=1,a0=1,则N=azx+axx+1,

•:N=0,

2

a2x+arx+1=0,

情况一：aA=a2=1,则/+x+i=o,A<0,不符合条件，

情况二：Q]=。2=—1'则一/—X4-1=0,△>(),不1+%2=--~=-1,

-1

21

情况三：%=1,a2—1,则x1x11=0,A>0,x1\x2==1,

情况四：。1=-1,。2=1，则％2-x+l=0,A<0,不符合条件，

(b)\ar\=\a2\=2,a。=一1,矛盾，不符合题意；

(c)\ar\=1,\a2\=2,a0=0,则+

•；N=0,

?

/.a2x+arx=0,

情况一：。1=1,。2=2,贝」2l%2+x=0,X]+%2=一

情:兄二：Q1=则一+工=工1+外=一方=：,

1,a2=-2,-20,

情况三：的=2-=

_1,a?=2,^\2x-x=0,Xi+x2=v

=-=-

情况四：Qi=-1,。2=—2,则一2——X=0,X1+%2T1I

则。2%2+

(()El=2,\a2\=1,Qo=0,N=Q1X

•:N=0,

2

a2x+arx=0,

情况一：%=2,a2=1，则/+2x=0,Xi+%2=—：=—2,

2

情:兄二：%=2,a=-1»则一X2+2、=0,%]+g=-----=2,

2-1

情况三：〔则/-%1+%2=-彳

a=-2,a2=1,2x=0,=2,

=

情况四：Qi=-2,。2=—1，则一%2—2x=0,+%-----=-2

2一1

综上，使得方程N=0的所有实数根的和为一1+1—■|+[+：—[―2+2+2—2=0,故②错

误，不符合题意；

③当几=32S3=6时，|。3|+|。21+1。11=

3,a0=2,N=a3x+a2x+arx+2,6—2=4,

情:兄一：

\a3\=2,\a2\=1,|«il=1,

则有:(2,1,1),(2,1,—1),(2,—1,1),(2,—1,—1),(—24,1),(―(—2,—1,1),

(一2,一1,一1),共有8个满足条件的整式N,

情况二：

\a3\=1,\a2\=2,laj=1,

则有:(1,2,1),(1,2,-1),(-1,2,1),(-1,2,-1),(1,一2,1),(-1,-24),

(一1,一2,—1),共有8个满足条件的整式N,

情况三：|%1=1，l&l=1，kil-2,

则有：(1,1,2),(1,-1,2),(-1,1,2),(一1,一1,2),(1,1,-2),(1,-1,-2),,(-1,1,-2),

(-1,-1,-2),共有8个满足条件的整式N,

综上，-共有24个满足条件的整式N,

故③正确，符合题意；

综上，正确的个数只有1个.

二、填空题

11.6x2—5%—6=0

解：•••(3x+2)(2x-3)

=3r•2r+3r-(—3)+2♦2*+2•(―3)

=6x2—9%+4%—6

=6x2—5x—6,

，原方程化为一般形式为6/一5%一6=0.

12.y=-(x-I)2(答案不唯一)

解：依题意，二次函数、=一口一1)2满足对称轴是直线》=1且开口向下，

故答案为：y--(x-I)2

13.%=2027

解：*/a(x—1)2+bx—b+2=0,

a(x—l)2+b(x—1)+2=0,

设m=%—1,

则方程a(x—l)2+b(x—1)4-2=0可化为am?+bm+2=0

;关于％的一元二次方程ax?+bx+2=0(aH0)有一个实数根为％=2026,

.二关于m的一元二次方程am?+bm+2=0(Q工0)有一个实数根为m=2026,

.*.2026=%-1,

Ax=2027,

・•・一元二次方程a(x-1)2+加一力+2=0必有一个实数根为x=2027.

14.3

解：设点4,B,C,。的纵坐标是a其中(aN0),

则有(％+I)2=a,

解得：Xj=-1—\[a,x2=-1+Va»

・•・点A的坐标是(一1一点B的坐标是(一1+4a,a),

,・,两条曲线关于y轴对称，

・•・点。的坐标是(1+VS,Q),点C的坐标是(1一份,。)，

AB-2y[a,BC=2—2y[a,CD=2Va,

-AB=BC=CD,

•••2\[a=2—2\fa,

解得■:Q=；,

4

•••AB-2\fa—1,

AB=BC=CD=1,

AD=AB+BC4-CD=3.

15.-5

解：*/«+/?=104-2c,ab=2c2+50,

Aa,b为方程的/-(10+2c)x+(2c2+50)=0的两实根，

.・・△=[-(10+2c)]2-4(2c2+50)=-4(c-5)2>0,

c=5,a+b=20,ab=100,

：.a(2Q-d)=100,即小—20a+100=0,解得：a±=a2=10,

a=b=10,

.\a—b—c=10—10—5=—5.

⑹W)

解：•抛物线丫=a/+bx-3过4(-3,o)、8(1,0),

•••用交点式得：y=Q(X+3)(%—1)=a(x24-2%—3),

对比常数项-3a=-3,得Q=1,

因比抛物线解析式为：y=x2+2x—3.

•・•点。横坐标为g

・•・代入抛物线得y=Q)2+2x：3=辛

过点力作AE_LCO于点反过点£作/6||不轴，过从。作4F_LFG于点凡CG_LFG于点G,

则ZAFG=ZCGF=ZAEC=90°,

，ZAEF+ZEAF=90°,ZAEF+ZCEG=90°,

JZEAF=/CEG,

ZACD=45°,

JZCAE=900-ZACD=45°,

△AEF三△ECG(AAS),

：.AF=EG,EF=CG,

设E(x,y),

则A/7=—y,EG=j-%,FF=x+3,CG=蔡一y,

.\~y=\~x

"+3=$M

解得卜飞，

(y=-$

设直线的解析式为y=THX+n,

(413

-m4-n=—

则439,

——m4-n=-------

V99

解得"(m甘=2，

・•・直线CO解析式为y=2%-^,

联立抛物线解析式得/+2x-3=2x—学

化筒得%2=辛

解得％=?(对应点C),%=

JO

代入CO解析式得y=2x(-3-=一］

\*5/XX

皿-D

三、解答题

17.(1)解：・・・4x2-8x+l=0,

X2—2%4-1=—^+1,

即，2

(x-l)=74

1.V3

X-l=±y,

1।百1百

・••的=l+—,x2=l——

(2)解：原方程整理，得，3/+10%+5=0,

•••Q=3,b=10,c=5,

・•・A=102-4x3x5=40,

-10±V40-5±-/10

••人——9

2X33

-5+V10-5-x^lO

18.(DM：由题可知.2,解得｛HE，

.*.y=%2—3,

，该二次函数的顶点坐标为(0,—3)；

(2)

证明：令y=/+力％+。=o,

则4=b2-4c,

由b+c=-3得c=-3—b,

/.J=b2-4(-3-b)=/+4b+12=(b+27+8>0,

，方程有两个不相等的实数根，

A二次函数的图象与x轴有两个交点.

19.(1)解：•.・关于x的一元二次方程/+2丫+2々-3=0有两个不相等的实数根,

△=22-4(2k-3)>0,

解得，k<2,

・・.k的取值范围为k<2；

(2)解：・・次1，物是原方程的两个实数根，k<2,

..Z为正整数，

/.k=1,

，方程为/+2%—1=0,

••Xj%2=-1•

20.(1)解：将点。(0,0)代入y=—(％—+c,得c=l,

，抛物线的解析式为y=-(%-I)2+1,

・•・顶点B的坐标为(1,1)；

(2)解：,・§。.=3。/1.(一九)，S48=^04

又•S&OAC=8s△048,

《。人(一儿)=8乂2，

解得yc=一8,

将y=-8代入y=—(%—I)2+1,得一(％—I)2+1=—8,

解得％=-2或%=4,

・••点C的坐标为(一2,-8)或(4,-8).

21.(1)解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x,

由题意得：3.2(1+%)2=5,

解辱Xi=0.25=25%,%2=-2.25(不符合题意，舍去)，

答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为25%；

(2)解：100x1600=160000(元)<240000元，

・•・购买的乒乓球台数超过100台.

设购买的这种乒乓球台的台独为川台，

由题意得：1600-40x>1000,

解得m<250,

又m(1600-x40)=240000,

整理得：m2-500m4-60000=0,

解得：m1=200,m2=300(不符合题意，舍去)，

答：购买的这种乒乓球台的台数为200台.

22.(1)解：根据题意，得二次函数y=—。一力7+攵的图象与％轴交于点4(一3,0),8(犯0)

且m>—3,

•••一(―3—1)4-k=0,h—m—3>—6,

*，•/>-3«

,:h-k=-5,

:、h=k-5,

**•—(-3—/c+5)2+k=0,

整理，得忆2-5攵+4=0,

解得'七=1北2=4,

当ki=1时，h=1—5=—4<—3,不满足要求，舍去；

当心=4时，h=4-5=-l>-3,满足要求；

故力=-1,k=4.

(2)解：=/=-1,k=4,

故二次函数的解析式为y=—[％+1)2+4,且抛物线开二向下，对称轴为直线％=—1,

当y=3时，得-0+1)2+4=3,

解得%1=0,x2=-2,

如图所示，此时C(0,3),。(-2,3),

••・Q-10xWa+1时，函数值y都小于3,且对称轴左侧，y随x减小而减小,

o.+1V—2,

解得a<-3；

•・,Q-1WxWQ+1时，函数值y都小于3,且对称轴右侧，y随x增大而减小,

CL-1>0,

解得Q>1；

综上所述，符合要求的Q的取值范围是QV—3或Q>1.

23.(1)解：®x2-x=0

解得:Xj=1或％2—0,

%—上1=11-。1=1，

・•,①是“差根方程”；

②文2-4%-5=0

解得：=5,=—1，

v

|%1-X2I=|5-(-1)1=61,

②不是“差根方程”；

(2)解：方程/+2。％=0

因式分解得：x(x+2a)=0,

解得：Xj=0,x2=-2a,

方程/+2ax=0是“差根方程”,

•••|0-(-2a)|=1,

\2a\=1,

・•・2a=1或2Q=-1,

解得：a=［或Q=

(3)解：设AB=/、AC=x2»

•••△ABC是直角三角形，斜边BC的长为夕，

.'.AB2+AC2=FC2,

・•・*+十孑=7,

•:打、乃是“差根方程”的两个实数根，

・•・舟-x2|=1,

2

•••(不-x2)=1,

•••xl+据一2XXX2=1,

/—2X|%2=1,

•**X1%2=3,

2

(%i+x2)=xf+%2+2%i工2=7+2x3=13,

,・•必、％2是三角形的边长，均为正数，

・・,方程二次项系数为1,

，所求差根方程为/一V13x+3=0.

24.(1)M：当攵=3时，依题意得A(0,l),C(4,3),

设抛物线解析式为y=a(x-4)2+3,

把；1(0,1)代入得，。(0-4)2+3=1,

解得Q=_"

8

，该抛物线的函数解析式为、=一：。-4)2+3；

8

(2)令y=0,则-*%-4)2+3=0,

解等=4+2V6,X2=4-2>/6(舍去)，

，足球第一次落地点。距。点的距离为(4+2通)米,

•・•弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，

・•・过点D,E所在抛物线的顶点作BC的垂直平分线，交抛物线y=—47+3于点M,N,

8

DE=MN,

二令y=.则一式