2027年高考数学专项练习：导数与函数的单调性

知识点一、导数研究单调性

1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间®与内，①如果/'（力＞0,那么函数/"）在这个区间内单调递增

②如果/'（力＜（）,那么函数〃力在这个区间内单调递减

③如果ra）=。，那么函数在这个区间内为常数函数

2、求单调区间的方法：

①通过解不等式广（%）20或/'（X）W0（等号可要可不要）；

②求广（X），并可适当整理，尽量将/（x）整理成（X-N）,（》-々），…，（X-七）之积商的形式，借助

数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性.

注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号

（2）若f（x）在某个区间上单调递增,则/（1）20；若外力在某个区间上单调递减，则尸（x）W0；

⑶设内，x2G［a,b］,且不工修，那么

①/（与）-）（/）＞o0（%_x?）［/（芭）-）］＞。o/（x）在［小可是增函数o/'（X）20恒成立

②小）7⑸＜0。（用72）［/&）-/伍）］＜。。/（"在［〃，目是减函数o/'（x）W0恒成立

方法总结1：含参数单调性讨论

第一步：求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个

连续的区间）

第二步：变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需耍单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或

恒负，无需单独讨论的部分）

第三步：恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）

第四步：然后再求有效根

第五步：根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）

第六步：导数图像定区间

方法总结2:根据函数单调性求参数

1、函数/（X）在区间（“㈤内单调递增（或递减），可得/（r），0（或/（司40）在该区间恒成立，而不是

ff（x）＞0（或f（x）＜0）恒成立，不能少.必要时还需对“=”进行检验.

2、若函数/（"在内存在单调递增区间，则当xw（ab）时，/（X）＞0有解；若函数人x）在（”力）内

存在单调递减区间，则当时，广（大）＜0有解.

3

1.(2026・北京・高考真题)下列函数/(可是奇函数且在定义域上单调递增的是()

A./(x)=^—B./(x)=sinx

x~+1

c.小)=2=2，D./(x)=ln-^

J一人

2.(2023・新课标H卷•高考真题)已知函数"x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增，则〃的最小值为

().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

3.(2023・全国乙卷•高考真题)设aw(0,l),若函数/(x)="+(l+a)‘在(。,”)上单调递增，则”的取值

范围是.

4.(2023•北京•高考真题)设函数f(x)=皿％曲线)，=/(幻在点(1J⑴)处的切线方程为y=r+l.

⑴求的值；

(2)设函数g(x)=f'(x),求s(x)的单调区问；

(3)求/(x)的极值点个数.

5.(2024•全国甲卷・高考真题)已知函数/(x)=a(x-l)-lnx+1.

(I)求的单调区间；

⑵当aW2时，证明：当x>l时，/(x)ve、T恒成立.

6.(2023・全国乙卷•高考真题)已知函数/(K)=g+，)ln(1+x).

⑴当〃=—1时，求曲线在点(1J⑴)处的切线方程.

⑵若函数外力在(0,”)单调递增，求。的取值范围.

sinx

7.(2023•全国甲卷•高考真题)已知函数/(幻=公-

cos3x

(1)当4=8时，讨论/(X)的单调性;

5

⑵若f(x)<sin2x恒成立，求〃的取值范围.

8.(2022•北京•高考真题)已知函数/")=e"n(l+x).

(1)求曲线丁=fix)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/(x)，讨论函数g(x)在。+8)上的单调性：

(3)证明:对任意的s/e(0,—),有〃s+f)>〃s)+/(f).

9.(2021・全国甲卷•高考真题)设函数/。)=//+-31门+1,其中〃>0.

(1)讨论/(1)的单调性；

(2)若)，=/(》)的图象与“轴没有公共点，求。的取值范围.

10.(2021.全国甲卷.高考真题)已知。>0且函数/(外=搞“>0).

(1)当〃=2时，求/(x)的单调区间：

(2)若曲线)，=/(.、)与直线y-l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

6

题型一：无参函数的单调性讨论

【典例1-1】下列区间中，函数〃同=邓加+8加单调递增的区间是（）

（八兀）（冗、

A.I0,—2；B.U—

C.卜费D.（2K,3TI）

【典例1・2】函数/（x）=f-2hu•的单调递减区间是（）

A.（0,1）B.（l，+8）C.（-1,1）D.（-co,-l）

【变式1・1】已知函数〃切=品，则/（x）的单调递增区间为（）

1

2n（一）

A.ko,e-；B.ke,xo

C.（h-Ko）D.-,1和（1,+co）

1e/

【变式1・2】函数/@）=21门+白2-3.1•的单调递增区间为（）

A.（0,1）U（2,-KO）B.y,l）52,+oo）

C.（0,1）,（2,+co）D.（2,-KC）

【变式1-3］设函数的导函数为r“），若函数/（%）在区间o上是减函数,且函数/'（”在区间。上

是增函数，称/（X）在区间。上是‘缓减函数”，区间。称为/（X）的“缓减区间”，若/"）=cos2尤+2sinx,

下列区间不是/（x）的“缓减区间”的是（）

7兀5兀5n4兀47t3兀

A.B.D.

T'7C.了'~7T,T

题型二：含参函数单调性——一次型分类讨论

【典例2・1】（2026•陕西咸阳•三模）已知函数/（"=21门+一1.

⑴付论/（"的单调性；

【典例2-2】己知函数〃］）=1-2〃瓜丫+（2-2〃八一2〃（〃三R）.

⑴讨论的单调性；

7

【变式2・1】已知函数〃x)=21nx-侬2C〃eR).求函数/(x)的单调区间;

【变式2・2】已知函数/("="一1一Inx,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

【变式2.3】已知函数〃力=小-19.

(1)当4=2时,求曲线y=〃x)在点(1J(1))处的切线方程;

⑵讨论/("的单调性.

题型三：含参函数单调性——指对结合一次型

【典例3・1】已知函数I(x)=e*+(4-34)x-l,keR.

(1)讨论函数/。)的单调性；

【典例3・2】已知函数/(x)=e'-a(x+l)+e,其中awR.

(1)讨论/(x)的单调性；

【变式3・1］已知函数/(x)=e-z+or,aeR.

8

⑴求/(X)的单调区间;

【变式3・2】已知函数〃力=4-".

(1)讨论函数/("的单调性；

【变式3・3］已知函数

(1)讨论"力的单调性;

题型四：含参函数单调性一可因式分解二次型

【典例4・1】已知函数.f(x)=2alnx+gx2-g+2)x,awR.

(1)讨论函数/(力的单调性;

【典例4-2】已知函数f(%)=o？-(a+2)x+lnx,其中aeR.

⑴讨论函数y=/3的单调性；

【变式4・1】已知函数/(x)=；Y-(a+2)x+2a\nx.

(1)当，=2时，求曲线、=/(2在点。"(1))处的切线方程；

⑵讨论/(x)的单调性；

9

【变式4・2】已知函数〃x)=(x—l)e-ga/_］(aeR)

⑴若。=e,求/(x)的极值；

⑵讨论函数/(x)的单调性；

题型五：含参函数单调性——不可因式分解二次型

【典例5-1］已知函数/(*=1-―加111

⑴求/(2026)+/(3r］的值.

V2020)

(2)讨论“力的单调性.

【典例5・2】已知函数/(力=11+含，«eR.

(1)当。=2时，求曲线y=〃x)在点(1J(1))处的切线的斜率；

(2)当。>0时，讨论函数〃力的单调性；

【变式5-1］已知函数/(x)=ar-ar+hu(«eR).

⑴当〃=2时，求〃x)的图象在x=l处的切线方程;

(2)当a>0时，讨论/(1)的单调性；

10

【变式5・2】(2026•河北张家口•三模)已知函数/(幻=工——a\nx^(x)=x3-3xln2x-3j,a>0.

xf

⑴讨论的单调性；

题型六：含参函数单调性——指对结合二次型

【典例6-1】已知函数/(X)=(工一2户+^^—以+g.

(1)当a=l时，求/")的极值；

(2)讨论函数〃力的单调性.

【典例6-2］已知函数/(x)=ae2，+(2a+l)e'+x.

⑴讨论的单调性；

【变式6・1】已知函数〃力=加，+2(1-々户-2工

(1)若a=l,求函数/("的极值；

(2)讨论/(力的单调性.

【变式6・2】(2026•山东青岛•模拟预测)已知函数〃同=。*+(2-(aeR)

(1)当〃<()时，讨论/("的单调性；

【变式6-3］已知函数/(工)=〃©"+2(4-1圮'-2工，awR.

11

⑴讨论“6的单调性;

12

题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式

【典例7・1】（2026•广东肇庆•模拟预测）己知函数〃x）=2xsin2x,则不等式/12）i3）＜0的

解集为（）

A.（-1,3）B.（1,3）C.（-3,-1）D.（-3J）

【典例7・2】若定义在R上的函数f（x）的图象如图所示,其导函数为/'（力，且/'⑶=/'（5）=0,则不等

式/。＞/'（耳＞0的解集为（）

B.(T,3)D(4,5)

C.（3,4）u（5,+8）D.(0,3)54,5)

【变式7・1]已知函数/（力=山+（1—1”、，则〃3x-2）v/l）的解集为（）

A.(-a>,l)u(2,+ao)B.(0,1)=(2,+8)

C.停1卜(2,”)

D.(1,2)

【变式7・2】已知函数y=/（x）在定义域（-£,3]内可导，其图象如图所示，记y=/（x）的导数为

y=r（x）,则不等式外处wo的解集为（)

D.-|jM2,3)

（变式7-3]已知函数/（尤）=sirrvieve、贝IJ不等式/（6—i）+/（2—2x）＞。的解集为（）

A.(-4,2)B.(1,2)C.(-4,1)D.(-OO,-4)U(2,E)

题型八：根据单调性逆向求解参数范围

【典例8・1】设函数=已知函数"X）在区间（。。+1）上单调递减，则实数。的取值范

围是（）

A.[-6,司B.[-/g-1]C.[-2,-1]D.[-1J]

13

【典例8-2]若函数〃"=1g+凹-5在区间-,2内存在单调递增区间，则实数〃的取值范围是()

・IX12/

A.卜,|]B.卜啕

C.(F,2&]D.S，2夜)

【变式8・1]已知函数/W=xln.r-or+l在区间(l,+oo)上单调递增，则实数。的取值范围是()

A.(Y,I|B.(-oo,2]C.D.[2,+co)

【变式8・2】已知函数/⑺--以+欣在区间(；1)上单调递减，则实数”的取值范围为()

A.B.(-8,2戊)C.(3,+a>)D.[3,-KO)

【变式8・3]若函数/(力二9、jV+公+d的单调递减区间是[-1,4],贝lja=()

A.-4B.-1C.1D.4

【变式8・4】已知函数/(x)=lnx-ar在区间(L+o。)上是减函数，则。的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(y,l)C.D.

【变式8-5】已知八0,函数/(上)=(*-〃)毗在区间(l,e)上不单调，则〃的取值范围是()

A.0<a<\B.a>eC.a>4D.l<(z<2e

【变式8・6】(2026•高三•山东淄博•开学考试)已知函数/(x)=(x+l)e'+a在(见+8)单调递增，则。的

取值范围是()

A.(-oo,-2)B.(-<»,-2]C.(-2,+oo)D.[-2,+co)

【变式8・7】已知awR,设函数,f(x)=卜'：(34+l)：T"<l在R上是增函数，则。的取值范围为

x-«Inx,x>I

()

-1,1「12]一、(r

A.-JB.C.[l,+oo)D.个

JJJ\J

【变式8・8】函数/(x)=61nx+ar-4正在[id]上存在单调递增区间，则。的取值范围是()

14

1.(2026•陕西西安•模拟预测)已知函数f(x)=Q-x,若对任意的。<K<W，都有

X

丝」一组1<0,则实数。的取值范围是()

“入

A.卜如：)B.(y，e]C.：，+%D.

2.(2026•北京海淀•三模)以下困数既是偶困数又在(0,田)上单调递增的是()

A./(x)=-co&rB./(x)=x|x|C./(x)=|lg,v|D./(x)=eA+eT

3.(2026•江西九江•模拟预测)已知函数/(力二优'-9在区间(0,+s)上单调递增，则实数”的取值范

围是()

(21「2、

A.-8,-B.一，+8C.(3,0]D.

\eJLe7

4.(2026•山西•模拟预测)函数/(x)=hn=2.r的单调递增区间是()

A.(0,gB.(0,2)C.；,+8)D.

5.在平面直角坐标系xOy中，将函数产/("的图象绕坐标原点逆时针方向旋转a(O°va49(r)后，所得

到的曲线仍然是某个函数的图象，则称y=/W为‘七旋转函数”.现有以下4个命题，其中所有的真命题为

().

①存在“90。旋转函数”；

②“70。旋转函数”•定是“80。旋转函数”；

③若g(x)=⑪+，为“45。旋转函数"，则a=l；

X/

Av

④若〃(力=，为"45。旋转函数”,则YWbWO.

e

A.①③④B.①②④C.①④D.①③

6.已知函数/*)=/-(a+l)lnx在区间(1,4)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(-a),e-ljB.(-oo,4ea-l]C.(-a>,e-l)D.(-«>,4e4-l)

7.(2026•高三•云南曲靖•阶段检测)已知函数/a)=sinx+F-or为增函数，则。的取值范围是

()

A.[0,+oc)B.(f。]C.(-oo,l]D.[1,+co)

8.(2026•河南•三模)己知函数/(x)=5/+x-siiu,正数〃力满足/(2〃)+/(2〃-3)=0,则的最

ab

小值为()

85

A.—B.-C.3D.4

33

15

9.若函数/（司=3/+如+1nx在（0收）是增函数，则。的取值范围是.

10.（2026•海南二亚•一模）若函数〃6=/+加1（工+1）的减区间为（一1.1）,则函数“X）的值域为

11.（2026•陕西西安•模拟预测）已知函数〃”=也e-产，对于为，9«2,2026],且当々＞斗时，恒

有，®_巫｝＞0,则实数〃的取值范围为.

x?X

12.设函数/（x）=e'-l-x-加，当工＞0时单调递增，则。的取值范围是.

13.（2026•山东济南•模拟预测）已知函数/（月=-一"2—4是R,的单调递增函数，则。的值为

14.若函数/。）=丁+以2+以在区上不单调，求。,c满足的条件为.

15.已知函数/（"=次'-曲（々＞0）.若函数/（“在x=-l处的切线与直线），=x垂直，求函数的单

调区间.

16.已知函数/（x）=e“i—".

（1）当a=l时，曲线y=f（x）的一条切线方程为y=x+A,求实数b的值;

（2）求函数“X）的单调区间.

17.已知函数〃x）=e'cob,求在0,国内的单调性.

\乙｝

18.已知函数〃力=手+1门-容，若为增函数，求实数。的取值范围.

19.（2026•安徽合肥•模拟预测）已知函数/（x）-其中a＜zR.

X

（1）讨论/（X）的单调性;

16

20.已知函数/(x)=4c"+g-2)c，-x.

(1)若。=0,求函数在xe[l,3]的最值；

(2)讨论/(力的单调性;

21.已知函数/(月=1必送("=；奴2+2工.

(I)求函数〃(工)=/(力-g(%)的单调性;

22.已知函数〃x)=—_L_]nx+竺i(aeR).

.I/

⑴当〃=-1时，求函数的最大值；

(2)当。＞0时，求/(x)的单调区间.

23.已知函数/(x)=]O¥2-(2a+l)x+21nx,〃£R.

(1)讨论"力的单调性;

17

知识点一、导数研究单调性

1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间®与内，①如果/'（力＞0,那么函数/"）在这个区间内单调递增

②如果/'（力＜（）,那么函数〃力在这个区间内单调递减

③如果ra）=。，那么函数在这个区间内为常数函数

2、求单调区间的方法：

①通过解不等式广（%）20或/'（X）W0（等号可要可不要）；

②求广（X），并可适当整理，尽量将/（x）整理成（X-N）,（》-々），…，（X-七）之积商的形式，借助

数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性.

注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号

（2）若f（x）在某个区间上单调递增,则/（1）20；若外力在某个区间上单调递减，则尸（x）W0；

⑶设内，x2G［a,b］,且不工修，那么

①/（与）-）（/）＞o0（%_x?）［/（芭）-）］＞。o/（x）在［小可是增函数o/'（X）20恒成立

②小）7⑸＜0。（用72）［/&）-/伍）］＜。。/（"在［〃，目是减函数o/'（x）W0恒成立

方法总结1：含参数单调性讨论

第一步：求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个

连续的区间）

第二步：变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需耍单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或

恒负，无需单独讨论的部分）

第三步：恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）

第四步：然后再求有效根

第五步：根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）

第六步：导数图像定区间

方法总结2:根据函数单调性求参数

1、函数/（X）在区间（“㈤内单调递增（或递减），可得/（r），0（或/（司40）在该区间恒成立，而不是

ff（x）＞0（或f（x）＜0）恒成立，不能少.必要时还需对“=”进行检验.

2、若函数/（"在内存在单调递增区间，则当xw（ab）时，/（X）＞0有解；若函数人x）在（”力）内

存在单调递减区间，则当时，广（大）＜0有解.

3

1.(2026.北京・高考真题)下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是()

A.一B./(x)=sinx

X"+1

c.f(x)=2-x-2xD.f(x)=\nS-4^-Y

J-A

【答案】D

【解析】A,在〃力=_'中，xeR,则/(r)=/L=±=/3,函数为偶函数，故错误;

B,在/(工)二3式中，xeR,函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；

方法一：

C,在/(x)=2T—2、中，xeR,则〃—刈二2、一2一、二一/(6，

r(x)=-2-Aln2-2'ln2<0,函数单调递减，故错误；

D,在/(x)=ln3中，—>0,解得-5vxv5,

5-x5-x

/(,v)=ln(5+A)-In(5-x),则〃-x)=ln(5-x)-ln(5+x)=-f(x)为奇函数,

广(力=」一+」一=匕今±=』方>0,即函数在定义域上单调递增，故正确.

法二：

C,在/(x)=2-、—2、中，xeR,则/(r)=2X-2T=—/(x),为奇函数，

2一和y・2、是减函数，

函数/("=2-*-2'单调递减，故错误；

D,/(x)=ln—+>,—>0,解得—5vxv5,

5-.r5-x

/(x)=ln(5+x)-ln(5-x),f(r)=ln(5-%)-ln(5+K)=-((x)为奇函数,

y=In(5+x)和y=-In(5-x)是增函数，则/(x)为增函数，

54-r

...函数/")=1n一单调递增，故正确.

2.(2023•新课标II卷•高考真题)已知函数/(x)=ae'-lnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为

().

A.e2B.eC.e-1D.c-2

【答案】C

【解析】依题可知，/'(力=讹'一1之()在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以xe'N一,

设g(x)=—x«l,2),所以g〈x)=(x+l)e'>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,

g(x)>g(l)=e,故ezL即即a的最小值为e，

ae

5

故选:c.

3.（2023・全国乙卷•高考真题）设"（0,1）,若函数〃x）=2+（l+a）*在（0,+oo）上单调递增,则〃的取值

范围是______.

【答案】

【解析】由函数的解析式可得（力=优Ina+（1+a）xIn（1+a”0在区间（0,y）上恒成V.,

贝ln(l+a)N-a'hi.,即＞-山；工）在区间（°，取0上恒成立，

Ina

故而a+le(l,2)，故如(l+a)>0,

ln(l+67)

ln(a+l)N-lna“〃+1)之1,故石-1

故v，即《<a<\>

0<a<l0<4/<1"2

结合题意可得实数。的取值范围是

故答案为:

4.（2023・北京•高考真题）设函数曲线y=fQ）在点。J0））处的切线方程为产T+1.

⑴求。力的值；

（2）设函数g（x）=ffM,求g（x）的单调区间;

⑶求/（幻的极值点个数.

【解析】⑴因为外0=工一丁尸,xwR,所以析（力=1-（3f+加）浮〃,

因为/（X）在。，/⑴）处的切线方程为），=--V+1,

所以/⑴=-i+i=o,/w=-i,

l-l3xea+A=Ok=-l

则l-(3+a)e"°=-l'解得/”1

所以a=T,〃=l.

（2）由（1）得

则/（工）=-1（工2-6x+6）e-“",

令x2-6x+6=（）,解得X=3±6，不妨设司=3-6，Xj=3+73»则。＜芭＜占，

易知e-m＞0恒成立，

所以令g'（x）vO,解得Ovxv%或—＞"2；令g'（x）＞。，解得x＜0或X＜尤＜々；

所以g（x）在（04），（9,一）上单调递减，在（70,0）,G，w）上单调递增，

即g（x）的单调递减区间为（0,3-⑹和（3+5+8），单调递增区间为（—,0）和（3-6,3+6）.

（3）由（1）得/（x）=x-炉er+YxwR）,=

由⑵知/'（X）在（0小），（9,*0）上单调递减，在（-8,0）,（司,々）上单调递增，

6

当”＜o时，r（-i）=i-4e2＜o,r（o）=i＞o,即r（T）r（o）＜。

所以r（x）在（-8,o）上存在唯一零点，不妨设为王，则-1＜玉＜0,

此时,当％〈再时，，（力＜0,则F（X）单调递减;当七＜“＜。时，ra）＞。，则“X）单调递增；

所以“力在（3,0）上有一个极小值点；

当H£（0，X）时，/'（X）在（O,xJ上单调递减，

则ra）=r（3—6）＜/'⑴=1一2＜（）,故.广（。）/‘（再）＜0,

所以:（工）在（0小）上存在唯一零点，不妨设为七，则0＜%＜Z，

此时，当0＜“＜七时，r（x）＞o,则/（X）单调递增；当七＜“＜h时，r（x）＜。，则单调递减；

所以/（A-）在（0,K）上有一个极大值点；

当xe（x,/）时，/'（工）在（N，七）上单调递增，

则r（x2）=r（3+G）＞r⑶=i＞（）,故/‘（内）/（占）＜。，

所以r（x）在（%,毛）上存在唯一零点，不妨设为鼻，则玉＜/＜4,

此时，当为＜工＜/时，,r（x）＜o,则单调递减：当天＜工＜七时，/（“＜0,则f（x）单调递增:

所以/（X）在（不毛）上有一个极小值点；

当H＞毛=3+百＞3时，3X2-?=X2（3-X）＜0,

所以/'⑴=1-（3/-?）e-＞0,则/（同单调递增，

所以/（x）在（W，y）上无极值点；

综上：/（%）在（-8,。）和（4,马）上各有一个极小值点，在（0,%）上有一个极大值点，共有3个极值点.

5.（2024•全国甲卷商考真题）已知函数f（x）=a（x-l）Tnx十1.

⑴求/（x）的单调区间；

（2）当aM2时，证明：当x＞l时，/（x）＜ei恒成立.

【解析】（1）/（制定义域为（。，+8）,fXx）=a--=—

XX

当。40时，r（x）=—＜0,故/。）在（0,+oo）上单调递减；

x

当〃＞0时，时，f\x）＞0,/（x）单调递增，

当工€（0,一）时，八幻＜0,单调递减.

综上所述，当心0时，/*）的单调递减区间为（。,+8）；

。＞0时，/J）的单调递增区间为—,单调递减区间为［（），/

（2）a＜2,日X＞1时,et-,-/（x）=ev-1-a（x-i）+Inx-1＞et-1-2x+1+Inx.

令g（x）=ei-2x+l+lnx（x＞l）,下证g（x）＞0即可.

7

g'a)=e*T—2+,,再令力(x)=g'(x),则/(*nei-l，

Xx~

显然”(X)在。收)上递增,则/?'(%)>。'⑴=e°-l=O,

即g'(X)=Mx)在。,+00)上递增,

故/(幻>^(1)=6°-2+1=0,即g(x)在(L+oo)上单调递增,

故g(x)>g⑴=e°-2+1+InI=。，问题得证

6.(2023・全国乙卷•高考真题)已知函数/(力=《+。卜](1+".

(1)当〃=一1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程.

(2)若函数/")在(0,”)单调递增，求〃的取值范围.

【解析】(1)当a=T时，/3=6一1)加(工+1)(%>-1),

贝|Jf'(x)=--yXln(A+l)+(--llx—!-­,

.X\A"J)Ci\

据此可得/(l)=0,/'(l)=一】n2,

所以函数在处的切线方程为y—0=—h]2(x-l),即(ln2)x+y—ln2=0.

由函数的解析式可得r(x){T}n(x+l)+&+a卜贵

(2)

满足题意时/'(x)N0在区间(0,”)上恒成立.

>。，IjIlJ-(x+l)ln(x+l)+(x4-ftr2)>0,

令g(x)="2+x—(x+[)]n(x+l),原问题等价于g(x)A0在区间(0,+co)上恒成立,

则g'(x)=2or_ln(x+l),

当〃W0时，由于2很40,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在区间(0,田)上单调递减,

此时g(x)<g(0)=0,不合题意；

令力(x)=g'(x)=2o¥-ln(x+l),则“(x)=2a...—,

当“2：,时，由于去<1，所以"(x)>0，〃(x)在区间(0,一)上单调递增，

即,3在区间(0,”)上单调递增，

所以g'(x)>g'(0)=0，g(x)在区间(0,田)上单调递增,g(x)>g(O)=。，满足题意.

当0<a<L时，由〃(x)=2a---=0nj^x=---1,

2''x+12a

当xe(0,5-l)时，/«力<0,〃(可在区间(0,(-1)上单调递减，即g'(x)单调递减,

注意到，(。)=0,故当xc((),5-1)时，屋(x)</(O)=O,8(%)单调递减，

由于g(O)=O,故当“时，x(x)<g(O)=O,不合题意.

8

综上可知：实数”得取值范围是卜匕2；».

7.（2。23・全国甲卷・高考真题）已知函数小）心一黑”同

⑴当4=8时，讨论/(X)的单调性；

⑵若/。)<sin2『恒成立，求。的取值范围.

cosACOS3x+3sinxcos2xsinx

【解析】（I）f"（x）=a-

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

="-----------1-------=&------s-

COSXCOSX

令cos2X=/,K,J/€(0,l)

at2+2t-3

则f(幻=g(t)=

当"旷a-⑺=23生3

当‘£（0’3，即

当“你"，即

所以/3)在(0,胃上单调递胤在上单调递减

(2)设g(x)=/(x)-sin2x

g\x)=/(x)-2cos2x=^(r)-2(2cos2x-l)=----；-----2(2r-l)=«+2-4/+---■设

?3

0(7)=〃+2-41+-----

tr

，八，26-4/3-2/+62(/-l)(2/2+2/+3)八

^(f)=-4--+-=---=---------------->0

所以<然1)=〃-3.

「若。e(—,3],g'(x)=*)v0

/\

即g(x)在。弓上单调递减，所以g(x)<g(0)=0.

所以当々《(9,3],/(%)<5~2%,符合题意.

2°若aw(3,+cc)

当70日-最=-3(汜)+gr-oo,所以*)->YO.

^(1)=«-3>().

所以九€(0,1),使得夕%)=0,即弓)，使得g'(A))=0.

当3(，0,1),凶)>0,即当xe(O,7,),g'(x))0,8Cv)单调递增.

所以当X£(。,$),g(x)>g(0)=。,不合题意.

9

综二，。的取值范围为(―,3].

8.(2022•北京・高考真题)已知函数/(x)=e"n(l+x).

(1)求曲线丁=/(X)在点(0.7(0))处的切线方程；

(2)设g。)=八外,讨论函数g(x)在[0,+8)上的单调性;

(3)证明:对任意的$,/£((),+8),有/($+/)>/($)+/(/).

【解析】(1)因为/(x)=e”n(l+<),所以〃0)=0,

即切点坐标为(0,0),

又r(x)=e'(】n(l+x)+」)，

.短线斜率A=八0)=1

•••比线方程为：v=x

(2)因为g(x)=r(x)=e*(ln(l+K)+7~5—),

l+x

21

所以g'3=e'(ma+幻+=一丁丁),

令力WD+/一击.

122X24-1

则h'(x)=---------------------------T>0,

1+X(l+x)'(1+X)-(1+x)3

二加外在。+8)上单调递增,

.-./?U)>/?(0)=l>0

・•.g")>0在［0,+⑹上恒成立，

・•・g⑶在上单调递增.

(3)证明如卜：

原不等式等价于fG+0-/(5)>/(/)-/(0),

4-ffi(x)=f(x+r)-f(x),(x,/>0),

即证5(x)>〃?(0),

•.♦"?")=f(x+t)~/(x)=cr,/ln(l+x+/)-cvln(l+x),

〃?'(%)=e'+/ln(l+x+r)+---------elln(l+x)-——=g(x+/)-g(x),

\+x+t\+x

由(2)知g(x)=r(x)=e'(ln(l+x)+占)在［0,+co)上单调递增，

.•.g(x+r)>g(x),

ni(x)>0

.•・风曾在(0,+O0)上单调递增,又因为XJ>。，

.•.〃0)>〃?(0),所以命题得证.

9.(2021•全国甲卷•高考真题)设函数/(%)=。242+如一3后工+1,其中a>0.

(1)讨论/("的单调性；

(2)若)，=/")的图象与x轴没有公共点，求〃的取值范围.

10

【解析】（I）函数的定义域为（0，欣），

又r（x）=（2"+3）3T）,

X

因为。＞0,x＞0,故2m:+3＞0,

当0＜工＜！时，/'"）＜0；当时，f'M＞0；

aa

所以“力的减区间为（。彳），增区间为（5+8）

（2）因为/（1）=/+。+1＞0且k/3的图与1轴没有公共点，

所以）"/W的图象在X轴的上方：

由（1）中函数的单调性可得/（Mmin=/（/）=3一31ng=3+31na,

故3+31na＞O即“＞L

e

10.（2021.全国甲卷.高考真题）已知。＞0且awl,函数/（x）=J（x＞0）.

（1）当〃=2时，求/（"的单调区间：

（2）若曲线），=/（“与直线），=1有且仅有两个交点，求。的取值范围.

【解析】（1）当。=2时，〃力=歹，/（"=------2-----=-----工------，

2（2J4

令f'（x）=0得1=言，当o＜x＜焉时，r（x）＞0、当X＞高时，/（6＜0,

・•・函数/（X）在卜），击上单调递增；击，+8）上单调递减；

（2）［方法一］【最优解】：分离参数

/（x）=^-=1＜=＞a1=xu=xlna=alnx=,设函数g（工）二则，

则，（工）=野，令g［x）=0,得x=e,

X

在（0,e）内g［x）＞0,g（x）单调递增;

在3+8）上g'（x）v0.g（x）单调递减；

•••g（x）2=g（e）=;，

又晨1）=0,当％趋近于+8时，g（x）趋近于0,

所以曲线产/⑺与直线）=1有且仅有两个交点，即曲线y=g（力与直线产学有两个交点的充分必要

条件是0＜此＜L这即是0vg（a）＜g（e）、

ae

所以〃的取值范围是（l,e）u（e,+8）.

［方法二］:构造差函数

由y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点知/*）=1,即V=就在区间（0,+功内有两个解，取对数得方程

11

«lnx=xlna在区间(0,+8)内有两个解.

构造函数g(M=々Inx-xIna,xG(0,+oo),求导数得g'(x)=且一In4=".

XX

当0<a<l时，lna<0,xw(0,+8),〃-xln4>0,g(x)>0,g(x)在区间(0,+(»)内单调递增，所以，g(x)在

(0,+co)内最多只有一个零点，不符合题意;

当〃>1时，lna>0,令g'(x)=。得x='-,当xw0,--时，g'(x)>0；当xw

I11n16a7VinaJ

，⑴<。；所以,函数出)的递增区间为,递减区间为盘，+8

由于0<e)]=—l—e：lna<0

InA,

当x->田时，有alnxvxlna,即g(x)v0,由函数g(x)=alnK-xlna在(0,”)内有两个零点知

所以扁>e,即a-elsO.

构造函数〃(a)=a-elna,jjllj//(«)=1,所以函①的递减区间为(l,e),递增区间为(&田),所以

aa

M«)>/He)=O,当同仅当。=e时取等号，故力(。)>0的解为且awe.

所以，实数a的取值范围为(l,e)u(e,+oo).

［方法三］分离法：一曲一直

曲线,y=fM与丁=1有且仅有两个交点等价为2=1在区间(0,+动内有两个不相同的解.

a

因为炉=优，所以两边取对数得alnx=xlna,即皿1=迎@