计量经济学第5章相关分析-第6章异方差模型

第五章相关分析变量相关的概念相关系数的概念和计算相关系数与回归系数、样本拟合优度的关系以及相关系数的显著性检验偏相关系数与复相关系数的概念12026/11/1§1相关的概念一、概念:相关指两个或两个以上变量间的非确定性关系。二、类型：1、按强度分完全相关：变量间存在函数关系。高度相关（强相关）：变量间近似存在函数关系.弱相关：变量间有关系但不明显。零相关：变量间不存在任何关系。高度相关零相关弱相关2026/11/122、按变量个数分:简单相关：指两个变量间相关多重相关（复相关和偏相关）：指三个或三个以上变量间的相关。3、按符号分：正相关、负相关、零相关4、按形式分：线性相关、非线性相关非线性相关

负相关2026/11/13三、相关系数：表示两个变量之间的线性相关程度。定义为：以样本方差和样本协方差估计X、Y的方差和协方差，样本相关系数为：2026/11/14

相关系数的取值范围：（1）当两个变量严格服从线性关系时，∣

∣=1；（2）当两个变量不存在线性关系时，

=0；（3）相关系数的一般取值范围是[-1，1]。当Cov(xt,yt)>0时，则

>0(正相关)；当Cov(xt,yt)<0时，则

<0(负相关)；若Cov(xt,yt)=0，则

=0(零相关)。四、相关分析与回归分析的关系1、区别：（1）回归分析强调变量间的因果关系，相关分析不关心因果关系。（2）相关分析中两变量关系具有对称性，但回归分析中两变量的关系具有指向性。（3）相关分析是对变量间不确定性依赖关系密切程度的度量，回归分析研究一个因变量对一个或多个解释变量的依赖关系，其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和预测前者的均值。2026/11/152、联系：（1）样本相关系数与回归系数的关系（一元线性回归）（2）相关系数与决定系数的关系2026/11/16五、样本相关系数的显著性检验二、样本偏相关系数的计算思路：

§2偏相关系数2026/11/17以一阶偏相关系数为例，它与相应的简单相关系数的关系为:2026/11/18复相关系数：在研究y与多个变量x1,x2,…,xk之间的相关关系时，度量其中一个变量y与其它所有变量相关程度的指标。§2复相关系数2026/11/19样本复相关系数的计算思路：2026/11/110第六章异方差模型掌握异方差的含义及产生原因理解异方差性存在的后果掌握检验异方差的方法掌握处理和消除异方差的方法112026/11/1一、异方差的含义对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。矩阵形式异方差通常有三种表现形式：（1）递增型（2）递减型（3）复杂型2026/11/112§1异方差性的含义及产生原因

2I.

二、产生异方差的原因1、解释变量的遗漏。2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。3、异常观测值的出现。4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。2026/11/113

几个异方差例子我国各省份的教育支出与GDP之间关系的回归模型；打字出错个数与打字练习时间关系的回归模型；本科毕业生毕业后的年薪和年限关系的回归模型。§2异方差性的后果一、异方差不影响线性无偏一致性以一元线性回归模型为例，对模型yt=β0+β1xi+ui

，当模型为异方差时，即Var(ui)=

i2

，有可见OLS估计量仍具无偏性。

二、对模型参数估计值有效性的影响忽略异方差，而使用同方差假定下的方差公式，方差估计结果就是有偏的，其

OLS估计量不具有有效性。2026/11/114三、对模型参数估计值显著性检验的影响在异方差情况下，随机误差项方差的估计量并非是方差的无偏估计量,且导致用估计的方差也出现偏误。而单个系数的显著性检验中，构造的t统计量会发生变化，其检验结论自然是不可靠的。而且，基于OLS估计的结果，利用有偏的方差构造的F检验统计量也是不可靠的。

所以,存在异方差干扰时,原有的t-检验和F-检验程序失效。总之忽略异方差后果：方差增大、检验失效、预测精度降低。2026/11/115§3异方差性的检验（诊断）当随机干扰项的方差未知时，首先需要解决的一个问题是方差的估计问题。在实际应用中，一般方差利用模型估计的残差平方替代，标准差利用残差替代。这样异方差检验首先需要对原先进行OLS估计，得到残差后再进行检验。检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。2026/11/116一、图示检验法1、用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进行初步判断2、用X-Y的散点图进行判断，看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）3、用残差图进行初步判断(按解释变量排序)2026/11/117二、斯皮尔曼（Spearman）等级相关检验法基本原理:通过检验随机误差项的绝对值与解释变量观测值之间的相关系数是否为零，来反映随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性的强弱，从而说明异方差性是否存在。检验方法的步骤（以一元线性回归为例）：第一步：对原模型应用OLS估计，得到模型残差第二步：将残差绝对值和解释变量观测值按解释变量值升序排序后赋予等级，等级就是顺序号（相同的取平均），然后计算的等级差第三步：计算的等级相关系数（n是样本容量）第四步：对总体相关系数进行显著性检验，对给定的显著性水平α，检验规则为：若说明样本数据异方差显著。2026/11/118

三、戈特菲尔德—奎恩特（Goldfeld-Quandt,G-Q）检验法G-Q检验的前提条件：G-Q检验适用于大样本。要求观测值的数目至少是参数的两倍；随机项没有自相关且服从正态分布。G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。划分方法是：把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列，略去c个处于中心位置的观测值（通常n

30时，取c

n/4），余下的n-c个观测值自然分成容量相等，(n-c)/2的两个子样本。

{x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…,xn-1,xn}2026/11/119

n1=(n-c)/2

c=n/4

n2=(n-c)/2G—Q检验步骤：第一步：把样本按解释变量Xi观测值大小顺序排列；第二步：略去中间的c个样本，把样本分别为两边容量相同的两个子样本；第三步：提出检验假设第四步：分别对两个子样本进行OLS回归，得到两个残差平方和，即第五步：计算统计量F第六步：在给定的显著性水平下进行判断是否存在异方差。注意：（1）当模型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差；（2）对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序；（3）G—Q检验仅适用于检验递增或递减型异方差；（4）检验结果与数据剔除个数c的选取有关；（5）G—Q检验无法判定异方差的具体形式。2026/11/120四、帕克（Park）检验和格莱泽(Glejser）检验基本思想：假设方差与解释变量之间存在着某种关系。由普通最小二乘法得到残差后，取其绝对值或平方项与某个解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟合优度判断是否存在异方差。帕克检验：假定方差和解释变量存在下列关系，用样本回归并做显著性检验。格莱泽(Glejser）检验：假定方差与某一解释变量Xik有关，可以对以下形式分别做回归，并对每一种形式进行显著性检验。Glejser和Park检验的特点是：①既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。③当原模型含有多个解释变量值时，可以拟合成多变量回归形式。2026/11/121五、怀特（H.White）检验法1980年，加州大学圣地亚哥分校的经济学家赫尔伯特·怀特提出了一种最具一般性的异方差检验方法。怀特检验的思想：通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差，即检验残差平方与解释变量可能的组合的显著性。检验的前提条件是适用于大样本。怀特检验步骤（以二元线性回归模型为例）1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序列2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变量以及解释变量的平方项和交叉积项做辅助回归；3、用卡方检验来检验该方程的总体显著性。可以证明，在同方差假设下LM统计量，R2为模型的可决系数，h为模型解释变量的个数4、比较判断：若样本计算的nR2值大于给定显著性水平下的临界值（p值较小），则拒绝同方差假设，否则不拒绝。2026/11/122六、拉格朗日乘数检验（LM）1、LM检验构建：设线性模型为：

如果我们没有设定σi的具体形式，则需要估计的

σ有n个，回归系数有k个，即共有(n+k)个参数需要估计，显然，仅有n个样本数据是无法估计出(n+k)个参数的，因此我们需要对误差方差做简化假设。一般地常用的假设形式有：Breusch-Pagan-Godfrey（BPG）：Glejser：Harvey：其中，q为未知系数的数量；Z为决定异方差的比例因子，一般地，Z的全部或其中的一部分可能是模型中的变量X。为检验模型线性回归模型是否存在异方差，只需对假设的形式进行检验即可，构造原假设和备选假设为：接受原假设表明方差是不随Z的变化而变化的同方差，而拒绝原假设接受备选假设则表明存在异方差。由于无法观察到随机扰动项，假设形式中的方差用残差平方替代。2026/11/1232、LM检验步骤Step1：对原模型进行OLS估计，求得相应的估计值

和残差

ei；Step2：将估计所得的残差

ei

取平方，由于它是

的一个合理估计量，因此将它代入辅助回归方程（或将ei

取绝对值代入），求得

α

的OLS

估计值及未校正的判定系数R2；Step3：计算检验统计量LM=nR2，且

，其中n为估计辅助回归方程时使用的观测值的数量；Step4：根据LM检验的判定规则检验，即对给定的显著性水平α，LM统计值大于临界值，就拒绝原假设，否则不拒绝。此外，我们注意到对原假设

的假设检验也等价于对模型做拟合优度的F检验。说明：White检验是一种特殊的LM检验，其辅助回归方程为：2026/11/124§4异方差性的解决办法GLS是对满足普通最小二乘假定的转换变量的OLS，即先将原始变量转换成满足经典模型假定的转换变量，然后对其使用OLS程序的估计方法。相应估计量称为GLS估计量，这些估计量是满足BLUE。在异方差条件下，GLS实际上是一种加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS），该方法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模