湖南省株洲市2026届高三一模数学试题（含答案）

湖南省株洲市2026届高三一模数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.（）A.B.C.D.2.已知全集，，，则（）A.B.C.D.3.已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（）A.B.C.D.4.已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（）A.B.C.D.5.已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.6.某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A,B两种数据更新方案可选.统计显示，凡是砸星期一选择A方案来维护训练任务节点，下星期一有20%会改用B方案；而选择B方案来维护训练任务节点，下星期一有30%会改用A方案.用分别表示第个星期的星期一选择A方案和选择B方案来维护训练任务节点的个数，若，则与的关系可以表示为（）A.B.C.D.7.已知平面直角坐标系中三个点，，，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的知不可能为（）A.B.C.D.8.有一个正方形，其四个顶点均在曲线上，则该正方形的面积为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于双曲线的说法，正确的是（）A.双曲线的焦距为2B.双曲线的两条渐近线相互垂直C.双曲线的离心率为D.存在一条直线，与双曲线有三个交点10.设等差数列的前项和为，设，，在同一坐标系中，的部分图象如图所示，则下列推断正确的是（）A.B.C.D.11.某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值.已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数.则下列命题正确的是（）....三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中，含项的系数为.13.从集合中任取两个不同的数组成一个新的数，则的取值范围为.14.棱长为1的正方体的各项点均在过点A的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数据，整理得到如下频率分布直方图.（1）求的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长；（3）若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用表示每日运动时长在50分钟以上的居民人数，求随机变量的数学期望.16.（15分）在中，角为锐角，.（1）求角的大小；（2）若点为边的中点，且，求的值.17.（15分）如图①，在平面内，正方形的边分别为两等腰直角，的腰.，分别沿折起，使两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点分别是线段的中点，如图②.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）若平面，求的值.18.（17分）已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值.19.（17分）已知函数，，.（1）若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值；（2）设，用表示函数和；（3）求证：.参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.C5.D6.A7.D8.B二、多项选择题9.BC10.BC11.ABD三、填空题12.13.14.四、解答题15.解：（1）根据题意得：，解得.（2）设样本中居民的运动时长的平均数为，，∴估计该社区全体居民的每日平均运动时长为42.5分钟.（3）从该社区居民中随机抽取一名居民，根据直方图中的信息，估计每日运动时长在50分钟以上的概率，随机变量服从二项分布，，∴.16.解：（1）∵.又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵为锐角，∴，∴.（2）∵，，∴,.在中，，∴，①在中，，∴，∴，②由①和②，得，∴，∴，∴，∴.17.解：（1）如图（Ι），设的中点为，连接，∵分别为的中点，∴，且，又∵，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）如图（Ⅱ），设为线段的中点，；以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设，则,，∴.设平面的法向量为，则，令，则.则.设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成的角的正弦值为.（3）设点到平面的距离分别为，∵，，∴，，∵，∴，∴的值为.18.解：（1）联立，得.∴抛物线与圆只有唯一交点，即抛物线与圆的交点个数为1.（2）设的方程分别为，，∵直线与圆相切，∴，整理得：，①于是为①式的两个根，∴，②∵，∴，把②代入，可化简得：，∴的取值范围为.（3）设的周长为，∵圆为的内切圆（设内切圆的半径），∴，∴，∴.令，∴，，当，即时，取等号.∴周长的最小值为16.19.解：（1）依题意知：，即.∴或，