《经济应用数学》7章

7.1随机事件7.1.1随机现象与随机事件7.1.2事件间的关系与运算7.1.1随机现象与随机事件引例1

在相同的条件下抛掷同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且事先无法肯定抛掷的结果是什么．引例2

在400m短跑比赛中，如果有多条跑道，运动员通过抽签决定自己的跑道，而且每次比赛抽签前都无法预测自己可能抽到哪条跑道．引例3

如果问“苹果从树上脱离，会往地上落吗？”，会得到肯定的回答．引例4

掷一枚骰子，问“能否出现7点？”，会得到回答“不能”．在自然界、生产实践和科学实验中，人们观察到的现象一般可分为确定性现象和随机现象两大类．概念在一定条件下，必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象（必然现象）。在一定条件下，事先不能断定会出现哪种结果的现象称为随机现象（偶然现象）。如果在相同条件下进行大量的重复试验，随机现象也会呈现其规律性．例如，在相同的条件下多次抛掷一枚均匀硬币，正、反面朝上的机会分别约占一半．这种规律称为统计规律．概率论就是研究随机现象统计规律的科学．为了寻求随机现象的内在规律性，就要对其进行大量重复观察．把一次观察称为一次随机试验，简称试验．7.1.1随机现象与随机事件1在相同的条件下可以重复进行；2试验中一切可能的结果都必须是明确的，每次试验必有且仅有一种结果出现；3每次试验的结果事前无法预知．试验具有以下3个特点：7.1.1随机现象与随机事件定义1在随机试验中，一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的试验结果，称为这些随机试验的随机事件，简称事件．随机事件通常用大写英文字母A，B，C，

表示．有时也用表示，其中大括号内用文字或式子表述事件的内容．随机事件又分为基本事件和复合事件．

作为随机事件的极端情形（特例），又有必然事件和不可能事件．

必然事件和不可能事件都属于确定性现象，但为了研究问题的方便，仍然把它们当做随机事件，视为随机事件的特殊情形．例1随机试验E：10件产品中有8件正品、2件次品，无放回地任意从中抽取2件，并且1次抽取1件，观察正品、次品出现的情况．请写出这次试验的所有基本事件，并用大写英文字母表示．解所有基本事件如下：

{正品，正品}，{正品，次品}，{次品，正品}，{次品，次品}．7.1.2事件间的关系与运算研究随机试验产生的随机事件，常常涉及许多的事件，而这些事件之间往往是有关系的．我们可以用集合的观点来讨论事件之间的关系和运算．为直观起见，有时可借助图形（文氏图）来理解事件之间的关系．随机事件实际上是一种特殊的集合，必然事件Ω相当于全集Ω，每一个事件A都是Ω的子集，不可能事件相当于空集．引例5

在检验一批圆柱形产品时，需要产品的长度和直径都合格才算合格．考察以下事件：A1={产品合格}，

A2={产品不合格}，

A3={长度合格}，A4={长度不合格}，

A5={直径合格}，

A6={直径不合格}，A7={长度合格而直径不合格}，

A8={长度不合格而直径合格}．7.1.2事件间的关系与运算1事件的包含与相等注意7.1.2事件间的关系与运算2事件的和（并）注意7.1.2事件间的关系与运算3事件的积（交）注意7.1.2事件间的关系与运算4事件的差注意事件A发生，而事件B不发生，这一事件称为事件A与事件B的差，记作A-B．它也是一个事件．A-B是由属于A但不属于B的基本事件构成的．A-B发生当且仅当A发生而B不发生．如引例5中，A7=A3-A5，即{长度合格而直径不合格}={长度合格}7.1.2事件间的关系与运算5互不相容事件（互斥事件）注意7.1.2事件间的关系与运算6对立事件（互逆事件）注意7.1.2事件间的关系与运算如同集合运算规律一样，事件间的运算同样满足下列规律：交换律：分配律：反演律：例2甲、乙两炮手同时向一架敌机炮击，各打一发炮弹，设A1={甲击中敌机}，

A2={乙击中敌机}．试用A1，A2及它们的运算表示下列各事件：（1）{敌机被击中}；

（2）{甲、乙都击中敌机}；（3）{甲、乙都未击中敌机}；

（4）{只有一人击中敌机}．解（1）；

（2）；（3）；

（4）．7.2随机事件的概率及运算7.2.4事件的独立性7.2.6全概率与贝叶斯公式7.2.3条件概率7.2.5独立试验概型7.2.1预备知识7.2.2概率的定义7.2.1预备知识加法原理1若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有n2种方法，假定A1过程与A2过程是并行的，则进行A1过程或进行A2过程的方法共有n1+n2种．这种原理称为加法原理．例如，从甲地到乙地有1条铁路、2条公路，则乘火车或汽车从甲地到乙地共有1+2=3种走法．乘法原理2若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有n2种方法，则进行A1过程后再进行A2过程共有n1×n2种方法．这种原理称为乘法原理．例如，从甲地到乙地共有2种走法，从乙地到丙地共有3种走法，则从甲地到丙地共有2×3=6种不同的走法．7.2.1预备知识排列3从含有n个元素的集合中取出r个元素进行排列，这时既要区别不同的元素又要考虑取出元素的顺序．我们称从n个元素中有放回地取出r个元素所组成的排列为有重复的排列．由于每次选取都是在全体n个元素中进行的（有n种不同的取法），同一元素可以被重复选中，故其总数共有nγ种．对于不放回的情形，这时一个元素一旦被取出便立刻从该集合中除去，因此每个元素至多被选中一次．我们称从n个元素中不放回地取出r个元素所组成的排列为选排列，其总数为特别地，当n=r时，为全排列，总数为n!（注意0!=1）．组

合4从含有n个元素的集合中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组合，其总数为7.2.2概率的定义概率的古典定义1最初的概率概念是对古典概型给出的．所谓古典概型，是指具有下述特征的随机试验：有限性试验的一切基本事件是有限个，即基本事件空间为有限集合.等可能性每个基本事件的发生是等可能的，即每个基本事件发生的可能性都一样．由于古典概型比较简单，因此它是概率论初期研究的重要对象．7.2.2概率的定义定义1对古典概型，设，即试验的基本事件空间含有n个基本事件，若事件A包含m(m≤n)个不同的基本事件，则定义事件A的概率为古典概型具有如下性质：1非负性：对于任何事件A，有

；2规范性：必然事件的概率等于1，即3可加性：如果事件A与B互斥，则．7.2.2概率的定义例1盒中有10只晶体管，其中有3只是次品，分别有放回和无放回地从中抽取2次，每次1只，试求下列事件的概率：（1）取到的两只都是正品；（2）取到的两只，一只是正品，一只是次品；（3）取到的两只至少有一只次品．解7.2.2概率的定义解7.2.2概率的定义概率的统计定义2概念如果事件A在N次重复试验中发生了n次，则称n为事件A发生的频数，称为事件A发生的频率，记作

．频率具有下列性质：1非负性：2规范性：,.3可加性：如果事件A与B互斥，则．7.2.2概率的定义定义2在相同条件下进行大量重复试验，如果随机事件A发生的频率FN(A)稳定在某一常数p附近（所谓稳定，即随着试验次数的增加，波动逐渐减小），则称p为随机事件A的概率，记作P(A)=p．7.2.2概率的定义定义3设Ω是随机试验的样本空间，对于每一随机事件A，赋予一个实数P(A)，如果实数P(A)满足如下三个条件：非负性：对任何事件A，有P(A)≥0；规范性：P(Ω)=1；可加性：对于两两互斥事件A1,A2,...，即对于，有

则称P(A)为事件A的概率．7.2.2概率的定义利用定义3，可以证明概率具有如下性质：1对任一事件A，有

；2对任意事件A,B，有3若

，则

．如果一个事件的概率不易求得，而其对立事件的概率相对容易求得时，便可先求出其对立事件的概率，然后利用性质（1），求出这一事件的概率．性质（2）称为概率的加法公式，在求一些较为复杂的事件的概率时，利用它常常会使问题得以简单化．7.2.2概率的定义例2解7.2.3条件概率条件概率的定义1定义47.2.3条件概率例3解某个盒子中有4只次品晶体管和6只正品晶体管，在其中任取两只，每次取一只做不放回抽样，在发现第一只是正品的条件下，求第二只是正品的概率．7.2.3条件概率条件概率的性质2（1）将条件概率的公式以另一种形式写出，就是概率的乘法公式．即设，则有将A，B的位置对换，则得到乘法公式的另一种形式：（2）条件概率满足的3条公理：（3）条件概率满足概率的其他性质．只需将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B︱A)，即可类比套用概率的其他性质．7.2.3条件概率例4解已知某厂产品的合格率为98%，而合格品中的一等品率为75%，试求该厂产品的一等品率．定义57.2.4事件的独立性7.2.4事件的独立性例5某科研项目由3个小组独立研究，3个小组成功完成该项目的概率分别为0.25,0.3,0.4，求该项目被研究成功的概率．解7.2.5独立试验概型定义6如果在相同条件下进行一系列试验，且各次试验之间的结果相互独立，则称这一系列试验为一个独立试验序列．定义7如果在相同条件下重复进行

次试验，且满足（1）每次试验的结果相互独立；（2）每次试验中，有且仅有两个可能的结果：①事件A发生（“成功”）；②事件A不发生（“不成功”），则称上述试验为n重伯努利概型．7.2.5独立试验概型7.2.5独立试验概型例6某人看管10台同种类型的机器，根据实践经验知一台机器出故障的概率为0.06，求：（1）恰有两台机器出故障的概率；（2）至少有两台机器出故障的概率．解7.2.5独立试验概型例7一大批某型号的电子管，已知其一级品率为0.3，现从中随机抽取20只，问其中有一级品的概率是多少？由于这批电子管的总量很大，而抽取的只数（20只）相对很小，故可将抽查20只电子管近似看做有放回抽样，将“抽查1只”作为一次试验，则“抽查20只”为20重伯努利概型．设{其中有一级品}，由二项概率公式并利用互逆事件关系得在本例中，所抽20只电子管中不含一级品的概率不到万分之八．实践表明，这种“概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生”，这一事实称为小概率事件的实际不可能原理，它是数理统计中进行统计推断的主要依据．解7.2.6全概率与贝叶斯公式1全概率公式全概率公式：例8解设某厂从两个不同供应商处购买零件，该工厂有65%的零件由供应商1提供，其余35%由供应商2提供．供应商1提供零件质量保证为95%，供应商2提供零件质量保证为90%．现从中任抽一个零件，其质量保证为多少？7.2.6全概率与贝叶斯公式例9解设仓库有10箱相同规格产品，已知其中有5箱、3箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产，且甲、乙、丙工厂生产该种产品的次品率依次为，从这10箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一产品，求取得正品的概率．2贝叶斯公式7.2.6全概率与贝叶斯公式贝叶斯公式：例10解在例8中，如果从这批零件中随机抽取一件发现是合格品，求这件合格品是由供应商1提供的概率．7.3随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量及其分布7.3.1随机变量的概念7.3.3连续型随机变量及其概率密度7.3.1随机变量的概念引例1抛掷一枚硬币，可能出现{国徽朝上}和{国徽朝下}两种结果．如果记“国徽朝上”为数字“1”，记“国徽朝下”为数字“0”，用一个变量X表示抛掷硬币的结果，则X的取值是随机的．显然就是事件{国徽朝上}，就是事件{国徽朝下}，且，。引例2在10件同类型产品中，有3件是次品，现任取2件，用X表示“这2件中的次品数”，X的取值是随机的，可能的取值有0，1，2．显然就是事件{取出2件中没有次品}．由此类推，{取出2件中恰有1件次品}；{取出2件中有2件次品}．同时也可由古典概率求得上面2个引例中的变量X具有下列特征：（1）取值是随机的，事先并不知道取到哪一个值；（2）所取的每一个值都对应于某一随机事件；（3）所取的每一个值都有确定的概率．7.3.1随机变量的概念定义1对于随机试验的每一个可能的结果，都有唯一的实数X与之对应，则称X是一个随机变量．对于具体的随机变量，通常分为两大类来讨论：如果一个随机变量可能的取值是可数的，则称这样的随机变量为离散型随机变量；其他的我们称为非离散型随机变量．对于非离散型随机变量，其范围很广，其中最重要的也是实际中常常用到的是连续型随机变量．注意7.3.2离散型随机变量及其分布定义2设X是一个随机变量，如果X的所有可能取值是可数的，则称X为离散型随机变量．定义3离散型随机变量X的概率分布也可以用如下表所示的形式来表示．XP7.3.2离散型随机变量及其分布1两点分布（又称0–1分布）引例3一批产品共100件，其中有3件次品．从这批产品中任取一件，考察取出的产品是正品还是次品，试用随机变量描述试验的结果，并写出其概率分布．7.3.2离散型随机变量及其分布随机变量X的分布列如下表所示．X01P1-pp其中0＜p＜1，则称随机变量X服从以p为参数的两点分布（又称0–1分布），记作X～(0,1)．两点分布的试验情形有很多，只要其结果只有两个，就可以用两点分布来描述．例如，掷硬币的“反面”与“正面”、电路是“通路”还是“断路”等，其结果均服从两点分布．7.3.2离散型随机变量及其分布2二项分布X～B(n,p)如果设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为，在n次试验中A发生k次的概率为显然，且．如果随机变量X的概率分布为，其中，，则称X服从参数为的二项分布，记作．因为是二项式的展开式中的一般项，所以称式（7–1）为二项分布．特别地，当时的二项分布就是0–1分布．（7–1）7.3.2离散型随机变量及其分布例1解某射手射击一次，命中靶心的概率为0.7，现该射手向靶心射击5次，试求：（1）命中靶心的概率；

（2）有3次命中靶心的概率．7.3.3连续型随机变量及其概率密度定义4连续型随机变量的密度函数具有下列性质：123对于任意实数a，有；47.3.3连续型随机变量及其概率密度1均匀分布7.3.3连续型随机变量及其概率密度2正态分布7.3.3连续型随机变量及其概率密度7.3.3连续型随机变量及其概率密度（1）标准正态分布的概率计算其几何意义是图7-4中阴影部分的面积．易知，如图7-5所示．图7-4图7-57.3.3连续型随机变量及其概率密度使用标准正态分布函数表时，有以下几种情况：7.3.3连续型随机变量及其概率密度例2解7.3.3连续型随机变量及其概率密度（2）一般正态分布的概率计算7.3.3连续型随机变量及其概率密度例3解已知某车间的工人完成某道工序的时间X服从正态分布N(10,32)，求：①从该车间的工人中任选一人，其完成该道工序的时间至少为7min的概率；②为了保证生产连续进行，要求以95%的概率保证工序上工人的工作时间不超过15min，这一要求能否得到保证？7.4随机变量的数字特征7.4.5常用分布的期望与方差7.4.4方差7.4.3数学期望的性质7.4.2连续型随机变量的数学期望7.4.1离散型随机变量的数学期望7.4.1离散型随机变量的数学期望引例1甲、乙两个学生10次数学考试的成绩情况如下表所示．分数

次数学生708090甲253乙325试问哪个学生的数学成绩好些？要比较两个学生数学成绩的好坏，不能单看某一次数学考试成绩，可以通过分别计算甲、乙两个学生10次考试的平均成绩进行比较．甲学生的平均成绩乙学生的平均成绩7.4.1离散型随机变量的数学期望定义1例如，观察下表中的两点分布．X01P1-pp不难得出两点分布的数学期望为同样可以算出，若X～B(n,p)，则二项分布的数学期望为E