《经济应用数学》8章

8.1

总体、样本、统计量8.1.1总体、个体和样本8.1.2统计量8.1.3几种常用统计量的分布8.1.1总体、个体和样本例1要了解某城市居民2002年的收入情况，一般不会花费很多人力物力去一一调

查，而是采取抽样调查方法，即抽查该城市一小部分居民的收入情况，如抽取1000个人，统计他们2002年的收入，由此推论该城市居民的年收入状况．例2测试某品牌电视机的开箱合格率，从一批产品中任意抽取3箱，进行开箱测试．例3某电器公司开发出一种使用新型灯丝的灯泡，为了解新型灯丝灯泡的使用寿命，可抽取200只新型灯丝灯泡，测试其使用寿命．定义定义1在数理统计中，所研究对象的全体称为总体，用随机变量X表示．定义2组成总体的每个基本单元称为个体，用表示．定义3从总体中抽取n个个体，称为总体的一个样本，样本所含个体的数目n称为样本容量，一个样本的n个观察值称为样本值．若样本

相互独立，且与总体X同分布，则称此样本为简单随机样本，简称样本．8.1.2统计量定义4定48.1.3几种常用统计量的分布u

统计量1定义5α分位点8.1.3几种常用统计量的分布t统计量2定义6双侧α

分位点8.1.3几种常用统计量的分布χ2

统计量3定义7双侧α

分位点8.2

点估计与区间估计8.2.2区间估计8.2.1点估计8.2.1点估计例1

某品牌冰淇淋店在某市有多家分店，为了解该品牌冰淇淋的销售情况，营销人员挑选一家具有代表性的分店，记录某月冰淇淋的售杯数，如表所示．日期12345678910111213141516售杯数x20252827303235303229282735362829日期171819202122232425262728293031售杯数x2528273837222528293035382927268.2.2区间估计区间估计以点估计值为中心加减一个被称为边际误差的值来建立一个包含上下限的区间，即点估计值边际误差，并指出区间的可信程度．这种方法称为区间估计．定义78.2.2区间估计1正态总体均值μ的区间估计（1）总体方差σ2已知时，μ的1-α置信区间8.2.2区间估计例2以例1为例，设总体服从正态分布，若根据以往销售数字总体标准差为3.5，利用点估计方法抽出一个样本，容量为31，计算出，取置信度为95%，该店每天销售杯数的区间估计为多少？解8.2.2区间估计（2）总体方差σ2未知时，μ的1-α置信区间例3例1中，若总体方差未知，求在置信度95%时，该店每天销售杯数估计为多少？8.2.2区间估计2正态总体方差σ2的区间估计8.2.2区间估计例4例1中，若总体方差未知，求在置信度95%时，该店每天销售杯数估计为多少？8.2.2区间估计单个正态总体参数的置信区间如下表所示（置信水平为α）．待估参数条件统计量服从分布置信区间均值

σ2已知均值

σ2未知方差

8.3假设检验8.3.2两类错误8.3.1假设检验概念8.3.3单个正态总体的假设检验8.3.1假设检验概念例1设计一条产品生产线用于包装洗涤剂．要求每瓶重量为500g．定期选取一部分样品称其重量，以便发现分量是否不足或超重．若样本数据表明分量不足或超重就得停产调整生产线．例2某种蜂胶产品制造商为了推销产品，声明该产品黄酮含量为每升4800mg．如何检测其声明的真实性？例3某超市要选购某品牌酒，要求酒瓶中平均酒精浓度不超过15度，若超过15度，禁止进货．该超市质检人员要如何检测？建立两个假设：零假设（以H0表示）与备假设（H1以表示）对例1来说：对例2来说：对例3来说：假设检验形式可分为以下3类：双侧检验：左侧检验：右侧检验：假设检验的原理是，小概率事件在一次随机试验中几乎是不可能发生的．8.3.2两类错误在检验中有两类错误可能发生，这两类错误为型1和型2错误．零假设和备假设是关于总体参数的两个对立的解释．要么H0真，要么H1真，两者不可能同时为真．理想的假设检验过程应当是H0为真时接受H0，H0为假时拒绝H0．但是得出的结论不可能总是正确的，因为假设检验是基于样本信息得到的，所以必须考虑发生误差的概率．下表为假设检验中可能发生的两类错误．

总体情况结论

H0为真H1为真接受H0结论正确型2错误拒绝H1型1错误结论正确8.3.3单个正态总体的假设检验1u检验例4解

某超市进一批某品牌味精，每包净重500g，假设每包味精重量服从正态分布．为检验其分量是否符合标准，抽查9包，重量分别为（单位为g）499，501，501.5，499.5，498，501，498.5，500，499.5，且根据以往经验知这批味精的标准差为σ=0.9，问能否接收这批味精？（α=0.05）8.3.3单个正态总体的假设检验1提出零假设H0:μ=μ0．总结以上过程，可以得到总体方差σ2已知的正态总体均值的u检验步骤如下：2选取样本统计量.3根据给定的显著性水平α查附表Ⅱ确定临界值点

．4根据样本计算u统计量并与临界值

比较．5根据

下结论：若

，拒绝H0

；若，接受H0

．8.3.3单个正态总体的假设检验例5解某妇女报报道：某地妇女每年用于购买衣物的花费为人均8020元．某研究所为检验这项报道的真实性随机调查了20名妇女，了解她们每年在这方面的花费，调查结果如下：11000，8500，7000，10200，9800，9000，7500，9500，9000，9500，5000，8800，8900，10000，9050，8020，7200，9000，13000，8040．假设根据以往经验该项花费服从正态分布，标准差为1000，请验证该报道的真实性．（α取0.01）8.3.3单个正态总体的假设检验2t检验例6解若例4中σ2未知，则所提出的问题就是一个未知方差的正态总体均值的检验问题．8.3.3单个正态总体的假设检验总体方差未知的正态总体均值的t检验步骤如下：1提出零假设H0:μ=μ0．2选取样本统计量.3根据给定的显著性水平α查附表Ⅲ确定临界值点

．4根据样本计算t统计量并与临界值

比较.5根据

下结论：若

，拒绝H0

；若，接受H0

．8.3.3单个正态总体的假设检验3χ2

检验例7解若例4中允许的标准差不能超过0.8，能否接收这批味精？8.3.3单个正态总体的假设检验正态总体方差的检验步骤如下：1提出零假设，2选取样本统计量.3根据给定的显著性水平α查附表Ⅳ确定临界值点

．4根据样本计算χ2统计量并与临界值

比较.5根据

下结论：若

，拒绝H0

；若，接受H0

．8.3.3单个正态总体的假设检验单个正态总体参数的假设检验如下表所示（显著性水平为α）．假设条件统计量服从分布拒绝区域σ2已知σ2未知8.4一元回归分析8.4.2线性相关关系的显著性检验8.4.1一元线性回归方程的建立8.4.1一元线性回归方程的建立例1商品需求量与居民人数有关．某商业部门为制定今年某种商品的采购计划，需要对这种商品的需求量进行预测．为得到预测的原始资料，随机抽取20个居民点进行调查，其商品需求量和人数之间关系如下表所示，那么如何根据这些抽样数据制订采购计划呢？居民点序号居民数需求量居民点序号居民数需求量1100501170040022001201275045033001601380049043001901480048054002401585050065002901685049075503301790055086003501895054096003601995056010600380201000610图8-4散点图8.4.1一元线性回归方程的建立1散点图设两变量x与y之间存在相关关系，为了研究它们的具体关系，其中最简单方法是通过样本观察值将这些点描述在直角坐标系中，所得图称为散点图．

例1中，设居民数为变量x，需求量为变量y，其在直角坐标系中的散点图如图8-4所示．

散点图中的每一点代表每一居民点的数据，横坐标代表居民数，纵坐标代表需求量，如最右边一点代表第20个居民点居民数为1000，需求量为610．由图可见，这些点虽不完全在一条直线上，但都在一条直线附近．因此，可用这条直线

来近似表示两变量之间的关系．这条直线就称为回归直线，这个方程称为回归方程，方程中系数b（即回归直线的斜率）和a称为回归系数．把确定的x0代入回归方程

中，得到的

称为回归值．8.4.1一元线性回归方程的建立2最小二乘法原理如何根据n组数据确定回归系数a，b值呢？所求回归直线方程应尽可能靠近每一个样本点，也就是使得对所有，观测值与回归值的偏离达到最小，即达到最小．为避免其离差（有正误差、负误差）相互抵消，采用离差平方和（也称残差平方和）来刻画观测值与直线的偏离程度．一般所说的回归直线就是使最小的直线，因此求所需回归直线的截距和斜率，就转化成求使达到最小值的a与b．由于是n个数的平方和，所以使最小方法称为最小平方和法或称最小二乘法．8.4.1一元线性回归方程的建立3回归方程8.4.1一元线性回归方程的建立现根据例1来具体说明回归直线的计算过程，这个过程可用回归方程计算，如右表所示．数据序号居民人数

商品需求量

1100501000025005000220012040000144002400033001609000025600480004300190900003610057000540024016000057600960006500290250000841001450007550330302500108900181500860035036000012250021000096003603600001296002160001060038036000014440022800011700400490000160000280000127504505625002025003375001380049064000024010039200014800480640000230400384000158505007225002500004250001685049072250024010041650017