北师大版数学 第1章 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练） 同步练习 含答案

第一章勾股定理【考点1】勾股定理解三角形【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积【考点3】勾股数（树）问题

【考点4】以弦图为背景的计算题

【考点5】勾股定理的逆定理【考点6】勾股定理的应用【考点7】勾股定理的的逆定理应用

【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题【知识点01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.【高分技巧】1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【知识02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【知识03】勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.【知识04】勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【知识05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题

【考点1】勾股定理解三角形1．如图，在△ABC中，∠C=90°,AD为BC边上的中线．若AC=8,AD=17，则△ABC的面积为（

）A．60 B．68 C．120 D．2402．如图，在△ABC中，AB=1.5,BC=1.7,AC=0.8，则BC边上的高AD为（

）A．0.6 B．1217 C．1.2 D．3．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A+∠B=90°,AB=5km,BC=4km．若把隧道A．0.1km B．0.2km C．2km4．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为．【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（

）A．100 B．48 C．52 D．762．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1,EC=2，则S正方形ABCD=A．1 B．3 C．4 D．53．如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为25和64，则最大正方形C的面积是．4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由Rt△ABC、Rt△ABP组成的图形，其中∠ABC=∠APB=90°，已知AC=13，BC=12，AP+BP=7，则△ABP的面积为5．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC=3，BC=5【考点3】勾股数（树）问题1．下列各组数中，是勾股数的一组是（

）A．6，8，9 B．5，12，13 C．8，15，16 D．10，20，262．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2025 B．2024 C．2223 D．23．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（

）A．25 B．26 C．27 D．284．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（

）A．a2−2ab+bC．a2+2ab+b5．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等.朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b−a=2，a2+bA．20 B．22 C．23 D．246．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x>y），下列四个说法：①x+y=9；②y−x=2；③2xy+4=49；④x2+yA．①② B．②④ C．③④ D．①②③7．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为．

【考点4】以弦图为背景的计算题

1．在“赵爽弦图”中，AC=5，将四个全等直角三角形中的较长直角边CA向外延长一倍（即AD=AC），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为68，则AB的长为．2．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么a+b2的值为3．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S34．新考法

如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果OA1=A15.如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形(1)如果EF=4，AH=12，那么(2)设AD=c，AE=a，①正方形EFGH的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；

②求a+b26．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是(a+b)2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a（1）由此得到等式；【探索研究】（2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，a2【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着a2（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC大于BC，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ADE（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接BD，若BC=a，AC=b，AB=c，a+b=14，△ABD的面积为50，求△ABC的面积．【考点5】勾股定理的逆定理1．如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9m，BC=12m，CD=8m

A．154m2 B．122m2 C．114m2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（

）A． B．C． D．【考点6】勾股定理的应用1．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高5m，另一棵高2m，两树相距4m

A．2m B．3m C．4m2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（）A．252 B．152 C．2543．如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，则A．9<ℎ<10 B．9≤ℎ≤10 C．5≤ℎ≤13 D．5<ℎ<134．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（

）A．x2+10C．x2+55．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算请你求旗杆的高度是．6．有一棵大树在离地面高9m处断裂，大树顶部在离其底部12m处，大树折断之前的高度是7．实践与探究八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案：课题：测量风筝的高度CE．

工具：皮尺，计算器等．

测量示意图：如图1．说明：如图1，AE表示地面水平线，AB表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且AB垂直于地面于点A，线段BC表示风筝牵引线（近似为线段），CE表示风筝到地面的垂直高度，CE⊥AE于点E，BD⊥CE于点D．测量数值：点B到CE的距离BD=9米；风筝牵引线BC的长度：BC=15米；AB的长度：AB=1.6米；(1)求风筝的垂直高度CE；(2)如图2，如果风筝沿DC方向上升28米至点F（CF=28），求风筝牵引线BF的长．8．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高，离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索OB的长度．9．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．(1)求旗杆的高度BC；(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？10．如图，已知Rt△ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm，点D为BC上一点，现将Rt△ABC沿AD折叠，使点C落在斜边(1)求BE的长；(2)求CD的长．11．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？(2)当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达A′处时，它的底端从B处滑动到B′12．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东65°方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向．13．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13(1)若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点(2)若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到14．某条道路限速60km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方5m的B处，过了1s，小汽车到达C(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？15．为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段AB上的两个路口A、B的距离分别为AC=300m,BC=400(1)求点C到路段AB的距离；(2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．16．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C，D处，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AB=2.2km，AD=1.7km，BC=0.5km．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路AB(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？(2)求∠CED的度数．【考点7】勾股定理的的逆定理应用1．如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．2．已知AB=3，BC=4，CD=13，DA=12，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．3．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．(1)求四边形ABCD的面积；(2)∠BCD是直角吗？

【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题1．如图，一个长方体工艺品的高为8cm，底面是边长为3cm的正方形．一只爬虫从底面顶点A沿该工艺品的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（

）A．15cm B．12cm C．10cm D．21cm2．如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（

）

A．10πcm B．13cm C．13πcm D．3．如下图所示，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达QA．41cm B．55cm C．134．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A．11cm B．12cm C．13cm5．一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（

）A．23 B．17 C．15 D．13

第一章勾股定理【考点1】勾股定理解三角形【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积【考点3】勾股数（树）问题

【考点4】以弦图为背景的计算题

【考点5】勾股定理的逆定理【考点6】勾股定理的应用【考点7】勾股定理的的逆定理应用

【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题【知识点01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.【高分技巧】1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【知识02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【知识03】勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.【知识04】勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【知识05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题

【考点1】勾股定理解三角形1．如图，在△ABC中，∠C=90°,AD为BC边上的中线．若AC=8,AD=17，则△ABC的面积为（

）A．60 B．68 C．120 D．240【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理及三角形的中线，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理可得CD=15，然后可得BC=30，进而问题可求解．【详解】解：∵∠C=90°，AC=8,AD=17，∴CD=A∵AD为BC边上的中线，∴BC=2CD=30，∴S△ABC故选C．2．如图，在△ABC中，AB=1.5,BC=1.7,AC=0.8，则BC边上的高AD为（

）A．0.6 B．1217 C．1.2 D．【答案】B【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的高；根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，结合S△ABC【详解】解：∵AB∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC=90°，∵AD是Rt△ABC的斜边BC∴S∴AD=AB⋅AC故选：B．3．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A+∠B=90°,AB=5km,BC=4km．若把隧道A．0.1km B．0.2km C．2km【答案】B【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确计算AC的长度．由题意知:∠A+∠B=90°则∠ACB=90°，在直角△ABC中，已知AB,BC根据勾股定理即可求AC，据此即可求得答案．【详解】解:∵∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中，AB=5km∴AC=A∴每天凿隧道的长度为3÷15=0.2km故选:B．4．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为．【答案】10或2【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．分两种情况，①当边长8为直角三角形的直角边时，②当边长8为直角三角形的斜边时，分别由勾股定理求出m的值即可．【详解】解：分两种情况：①当边长8为直角三角形的直角边时，m=6②当边长8为直角三角形的斜边时，m=8综上所述，m的值为10或27故答案为：10或27【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（

）A．100 B．48 C．52 D．76【答案】D【分析】本题考查勾股定理，求不规则图形的面积，勾股定理求出AB的长，正方形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可．【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=6∴阴影部分的面积=S故选D．2．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1,EC=2，则S正方形ABCD=A．1 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式．根据勾股定理求出BC2，根据正方形的面积公式可知BC【详解】解：由ABCD是正方形可知：∠B=90°,又∵EB=1,EC=2，∴B∴根据正方形的面积公式可知S故选：B3．如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为25和64，则最大正方形C的面积是．【答案】89【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理，将正方形A、B的面积相加，即可得最大正方形C的面积．【详解】解：25+64=89，∴最大正方形C的面积是89．故答案为：89．4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由Rt△ABC、Rt△ABP组成的图形，其中∠ABC=∠APB=90°，已知AC=13，BC=12，AP+BP=7，则△ABP的面积为【答案】6【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，先求解AB=AC2−BC【详解】解：∵∠ABC=∠APB=90°，AC=13，BC=12，∴AB=A∴AP∵AP+BP=7，∴AP∴AP⋅BP=12，∴△ABP的面积为12故答案为：6．5．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是【答案】49cm【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明SA+SB=SE【详解】解：如图所示，在Rt△PQM中，由勾股定理得P由正方形的面积计算公式可得SA∴SA同理可得SC+S∴SA故答案为：49cm6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC=3，BC=5【答案】12【分析】本题考查求阴影部分的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理．勾股定理求出AB=BC2−AC【详解】解：如图所示，∵∠BAC=90°，AC=3，BC=5，∴AB=B∴S△ABC∵BCDE是正方形，∴BC=CD，∠BCP=∠D=90°，∵∠BAC=∠CAP=90°，∴∠DCQ+∠CQD=∠DCA+∠BPC=90°，∴∠CQD=∠BPC，∴△CDQ≌△BCPASA∴S△BCP∴S△BCP−S∵AB∴阴影部分的面积=AB故答案为：12．【考点3】勾股数（树）问题1．下列各组数中，是勾股数的一组是（

）A．6，8，9 B．5，12，13 C．8，15，16 D．10，20，26【答案】B【分析】本题考查勾股数的定义，满足a2【详解】解：A、62B、52C、82D、102故选：B．2．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2025 B．2024 C．2223 D．2【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意可得一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图，∴正方形A的面积为1，由勾股定理得：正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……，∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025，故选：A．3．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（

）A．25 B．26 C．27 D．28【答案】B【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=m（m为偶数且m≥4），根据所给的二组数找规律可得结论．【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=m（m为偶数且m≥4），则另一条直角边b=m22则弦为102故选：B．4．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（

）A．a2−2ab+bC．a2+2ab+b【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4个三角形的面积【详解】解：由图可得：大正方形的面积=c大正方形的面积=4个三角形的面积+1个小正方形的面积，∴c2∴a2故选：B．5．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等.朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b−a=2，a2+bA．20 B．22 C．23 D．24【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意所求阴影部分面积为S正方形【详解】解：如图2，∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI，∴阴影部分面积=S∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，∴GD=GH=a，AB=CD=BC=b，∵青出与青入的三角形全等，∴△IJC≌△KAM，∴JC=AM=b−a，∴BM=a，∴CM=CG=a∵b−a=2，a2∴ab=a∴阴影部分面积===28−6=22，故选：B．6．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x>y），下列四个说法：①x+y=9；②y−x=2；③2xy+4=49；④x2+yA．①② B．②④ C．③④ D．①②③【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可．【详解】解：根据题意，由勾股定理得，x2+y∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意；由x−y=2得，x−y2=4，整理得∴2xy+4=x∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）；由③得，2xy=49−4=45∴x+y2∴x+y=94∴选项①错误，不符合题意；故选：C．7．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为．【答案】11,60,61【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x+1，根据勾股定理列出方程进行求解．【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x+1，由勾股定理，得：112解得：x=60，∴x+1=61；∴第⑤组勾股数为11,60,61；故答案为：11,60,61．

【考点4】以弦图为背景的计算题

1．在“赵爽弦图”中，AC=5，将四个全等直角三角形中的较长直角边CA向外延长一倍（即AD=AC），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为68，则AB的长为．【答案】69【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理可将“数学风车”的直角边求出，进而由勾股定理即可求出AB，正确识图是解题的关键．【详解】解：由题意得，AD=AC=5，CD=5×2=10，4BD+AD∴BD=12，∵∠BCD=90°，∴BC=B∴AB=B故答案为：69．2．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么a+b2的值为【答案】24【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得a+b2【详解】解：由题意得b−a2=2，∴2ab=a∴a+b2故答案为：24．3．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3【答案】675【分析】根据题意，S1,S2,S3都由直角三角形和正方形MNKT的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为x，正方形MNKT的面积为y，建立等式代入S【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为x，正方形MNKT的面积为y，∴S∵S∴8x+y+4x+y+y=2025，12x+3y=2025，4x+y=675，∴S故答案为：675．4．新考法

如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果OA1=A1【答案】8【分析】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出OAn=n是解题的关键．利用勾股定理依次求出【详解】解：∵O∴由勾股定理可得：OAOAO……可知OA∴OA8=故答案为：8．5.如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形(1)如果EF=4，AH=12，那么(2)设AD=c，AE=a，①正方形EFGH的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；

②求a+b2【答案】(1)20(2)①4，96；②196【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，全等三角形的性质，熟知勾股定理和完全平方公式是解题的关键．（1）由全等三角形的性质得到DE=AH=12，AE=DF=DE+EF=16，AB=AD，则可由勾股定理得到（2）①根据题意可得AE=a，AH=DE=b，则HE=AE−AH=a−b=2，则由正方形面积计算公式可得正方形EFGH的面积，由勾股定理可得a2+b2=【详解】（1）解：由全等三角形的性质可得DE=AH=12，AE=DF=DE+EF=16，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD=∴AB=20；（2）解：①∵AE=a，∴HE=AE−AH=a−b=2，∴正方形EFGH的面积为22在Rt△ADE中，由勾股定理得A∴a2∴a2∴4+2ab=100，∴2ab=96，∴四个直角三角形的面积和为4×1②a+b26．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是(a+b)2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a（1）由此得到等式；【探索研究】（2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，a2【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着a2（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC大于BC，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ADE（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接BD，若BC=a，AC=b，AB=c，a+b=14，△ABD的面积为50，求△ABC的面积．【答案】（1）(a+b)2【分析】此题考查了勾股定理的证明和完全平方公式的应用，数形结合是关键．（1）根据面积相等即可得到答案；（2）根据题意得到(a+b)2（3）由（2）得到a2+b2=c2，由旋转得到AB=AD=c，求出c2=100【详解】解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是(a+b)2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a∴由此得到等式：(a+b)2故答案为；(a+b)2（2）∵(a+b)a2∴a（3）∵△ABC是直角三角形，∠C=90∘，BC=a，AC=b，∴a∵△ABC绕点A顺时针旋转90∘得△ADE∴AB=AD=c，∠BAD=90∴S∴1c2∵a+b=14，∴(a+b)a2∵a∴100+2ab=196，ab=48，S△ABC

【考点5】勾股定理的逆定理

1．如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9m，BC=12m，CD=8m

A．154m2 B．122m2 C．114m【答案】C【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．【详解】解：连接AC，

∵∠B=90°,AB=9∴AC=A∵CD∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，∴S四边形故选：C．2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．【详解】解：∵72=49，152=225，20∴72+∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，故选：C【考点6】勾股定理的应用1．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高5m，另一棵高2m，两树相距4m

A．2m B．3m C．4m【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用−最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，掌握勾股定理是应用是解题的关键．【详解】解：如图，AC=5−2=3m，BC=4m，∴AB=A∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞5m故选：D．

2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（）A．252 B．152 C．254【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键．由勾股定理求解AB，由对折可得AE=BE,BD=AD=5，设BE=x,则AE=x,CE=8−x，利用勾股定理求解x，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：∵∠C=90°,BC=6,AC=8∴AB=B由折叠可得：AE=BE,BD=AD=5设BE=x,则AE=x,CE=8−x∴8−x∴x=25∴DE=故选：D．3．如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，则A．9<ℎ<10 B．9≤ℎ≤10 C．5≤ℎ≤13 D．5<ℎ<13【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为22−12=10cm将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为22−5∴h的取值范围是9≤ℎ≤10，故选：B．4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（

）A．x2+10C．x2+5【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键．如图：设芦苇的长度是x尺，即AB=AB′=x【详解】解：依题意画出图形：如图：设芦苇的长度是x尺，即AB=AB′=x∵B′∴B′在Rt△AB′∴x−12故选B．5．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算请你求旗杆的高度是．【答案】12米【分析】根据题意可得BC=5米，AC=x+1米．在直角△ABC本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．【详解】解：根据题意知：BC=5米，AC=x+1在直角△ABC中，由勾股定理得：BC故52解得x=12，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12．6．有一棵大树在离地面高9m处断裂，大树顶部在离其底部12m处，大树折断之前的高度是【答案】24【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用，由勾股定理计算出树折断部分的长度，即可求得树折断之前的高度．【详解】解：如图，由题意得AB=9m，AC=12根据勾股定理得BC=A所以大树折断之前的高度是15+9=24m故答案为：24m7．实践与探究八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案：课题：测量风筝的高度CE．

工具：皮尺，计算器等．

测量示意图：如图1．说明：如图1，AE表示地面水平线，AB表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且AB垂直于地面于点A，线段BC表示风筝牵引线（近似为线段），CE表示风筝到地面的垂直高度，CE⊥AE于点E，BD⊥CE于点D．测量数值：点B到CE的距离BD=9米；风筝牵引线BC的长度：BC=15米；AB的长度：AB=1.6米；(1)求风筝的垂直高度CE；(2)如图2，如果风筝沿DC方向上升28米至点F（CF=28），求风筝牵引线BF的长．【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米(2)风筝的牵引线BF的长是41米【分析】本题考查了勾股定理的应用．（1）由勾股定理得CD=12米，再根据CE=CD+DE即可求解；（2）由勾股定理得BF=41米．【详解】（1）解：∵BD⊥CE，∴∠BDC=90°，在Rt△BDCCD=BCE=CD+DE=12+1.6=13.6，答：风筝的垂直高度为13.6米；（2）解：在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=B答：风筝的牵引线BF的长是41米．8．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高，离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索OB的长度．【答案】14.5尺【分析】本题考查勾股定理的应用，设OA=OB=x尺，则OE=OA−EA=x−4尺，在Rt△OEB中，利用勾股定理列方程求得【详解】解：设OA=OB=x尺，∵EC=BD=5尺，AC=1尺，∴EA=EC−AC=5−1=4（尺），则OE=OA−EA=x−4在Rt△OEB中，OE=x−4尺，OB=x尺，根据勾股定理，得x2解得x=14.5．答：秋千绳索OB的长度为14.5尺．9．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．(1)求旗杆的高度BC；(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？【答案】(1)12米(2)7米【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．（1）设旗杆BC的高度为x米，则绳子AB的长为x+3米，根据勾股定理BC（2）先根据勾股定理求出CD，即可得解．【详解】（1）解：设旗杆BC的高度为x米，则绳子AB的长为x+3米，由题意知：AC=9米，∠ACB=90°，在Rt△ABC∵BC∴x解得：x=12，答：旗杆的高度12米；（2）解：由（1）知，AB=x+3=15米，则BD=15+5=20米，∴CD=B∴AD=CD−AC=7米，答：珍珍应从A处向东走7米．10．如图，已知Rt△ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm，点D为BC上一点，现将Rt△ABC沿AD折叠，使点C落在斜边(1)求BE的长；(2)求CD的长．【答案】(1)4(2)3【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB（1）先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE=AC=6cm，进而即可求出BE（2）在Rt△BDB中，用勾股定理列方程即可求得CD【详解】（1）解：∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=根据翻折的性质可得AC=AE=6，则BE=10cm（2）解：设CD=xcm，由折叠可知：CD=DE=xcm，∴BD=在Rt△BDE中，∴4解得：x=3∴CD的长为3cm11．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？(2)当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达A′处时，它的底端从B处滑动到B′【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是24(2)云梯底端在水平方向滑动的距离为8m，不是【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：（1）直接利用勾股定理进行求解即可；（2）根据梯子的长度不变，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得OB=7m，AB=25m，由勾股定理，得OA=A答：这架云梯的顶端到地面的距离是24m（2）由题意，得A′B′由勾股定理，得OB∴BB故云梯底端在水平方向滑动的距离为8m，不是412．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东65°方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向．【答案】(1)“广州湾号”航行路程为24海里；“小蛮腰号”航行路程为10海里；(2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东25°．【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出△PRQ是直角三角形是解题关键．（1）根据题意直接求解即可；（2）利用勾股定理的逆定理得出△PRQ是直角三角形，进而得出答案．【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东65°方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时，∴“广州湾号”航行路程为：12×2=24海里；“小蛮腰号”航行路程为5×2=10海里；（2）由（1）得PR=24（海里），PQ=10（海里），∵两船相距26海里，∴RQ=26（海里），∵PR2+P故PR∴△PRQ是直角三角形，∴∠RPQ=90°，∴180°−65°−90°=25°，∴“小蛮腰号”的航行方向是南偏东25°．13．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13(1)若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点(2)若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到【答案】(1)此时游轮距离岸边还有26(2)工作人员手中的绳子被收上来13−41【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．（1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在Rt△ACD（2）根据题意，先求出BE，在Rt△ABC中和Rt△ACE中由勾股定理求出线段长，再由【详解】（1）解：如图所示：则BC=13m，AC=5若工作人员以1.5m/s的速度收绳，4s后船移动到点D的位置，则绳子缩短了∴CD=13−6=7m在Rt△ACD中，∠BAC=90°，AC=5m，CD=7m答：此时游轮距离岸边还有26（2）解：若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，则在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=5m，BC=13m∴AE=AB−BE=12−8=4m在Rt△ACE中，∠CAE=90°，AC=5m，AE=4m∴工作人员手中的绳子被收上来BC−CE=13−14．某条道路限速60km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方5m的B处，过了1s，小汽车到达C(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【答案】(1)12(2)未超速【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决．（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．【详解】（1）解：根据题意，得AB=5m，AC=13由勾股定理，得BC∴BC=13故BC的长为12m（2）解：12÷1=12m∵60km∴这辆小汽车未超速．15．为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段AB上的两个路口A、B的距离分别为AC=300m,BC=400(1)求点C到路段AB的距离；(2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．【答案】(1)240(2)会受到影响，时长4分钟【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，读懂题意，根据勾股定理知识解题是做题的关键；（1）过点C作CD⊥AB于D，根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据等面积法求解即可；（2）当EC=FC=260m时，正好影响C学校，根据勾股定理求出ED，再根据等腰三角形的性质求出EF【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC2∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴S∴300×400=500⋅CD，∴CD=300×400答：点C到路段AB的距离是240m（2）解：学校C会受噪声影响，理由如下：∵在260m及以内的会受到音乐的影响，学校到AB的最小距离为240m∴学校会受到影响，当EC=FC=260m时，正好影响C∵CD⊥AB，∴∠CDE=90°，EF=2ED，∴ED=260∴EF=200m∵洒水车的行驶速度为50米/分钟，∴200÷50=4（分钟），∴影响该学校持续的时间有4分钟．16．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C，D处，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AB=2.2km，AD=1.7km，BC=0.5km．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路AB(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？(2)求∠CED的度数．【答案】(1)0.5(2)90°【分析】（1）设AE=xkm，则BE=2.2−xkm，根据勾股定理将D（2）根据SSS证明△AED≌△BCE，则可得∠AED=∠BCE，由∠BCE+∠BEC=90°可得∠AED+∠BEC=90°，进而可得∠CED=90°．本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键．【详解】（1）解：在Rt△AED中，D在Rt△BEC中，C∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等，∴DE=CE．设AE=xkm∵AB=2.2km∴BE=2.2−x∵AD=1.7km，BC=0.5∴1.72解得x=0.5，∴游客服务中心应建在距点A0.5km（2）解：由（1）可知AE=0.5km，BE=2.2−0.5=1.7km，∵AD=1.7km，BC=0.5∴AE=BC，AD=BE．在△AED和△BCE中，AE=BCAD=BE∴△AED≌△BCESSS∴∠AED=∠BCE．∵∠B=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠CED=180°−∠AED+∠BEC【考点7】勾股定理的的逆定理应用1．如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．【答案】36【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．在Rt△ABD中根据勾股定理求得BD=AB2+AD2=5，从而得到【详解】解：∵在Rt△ABD中，AB=3，AD=4∴BD=A∵BC=12，DC=13，∴BD∴△BCD是直角三角形，∠DBC=90°，∴S===6+30=36．2．已知AB=3，BC=4，CD=13，DA=12，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．【答案】36【分析】本题考查了