北师大版数学 第2章 实数 重难点检测卷（压轴卷） 试卷 含答案

第二章实数（压轴卷）（满分120分，考试时间120分钟，共25题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：实数全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）计算的结果是（

）A． B．4 C．3 D．2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组数中，表示的数一定相同的是（

）A．4的平方根与 B．与 C．与 D．与63．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．4．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）在代数式，，，中（本题中所有字母均表示不含平方因数的正整数），最简二次根式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．6．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（

）A． B． C． D．7．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（

）A． B． C． D．8．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．9．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（）A． B． C． D．10．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（）①若a是的小数部分，则的值为1；②比较两个二次根式的大小；③计算；④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化；⑤设实数x，y满足，则；⑥若，，且，则正整数．A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥第II卷（非选择题）二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是．12．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，则（结果精确到小数点后两位）．13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为．14．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是；15．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题：（1）若，且均为正整数，则；（2）化简的正确结果为．16．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知满足，则代数式的值是．三、解答题（9小题，共72分）17．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算：(1)；(2)．18．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）设，，求的值．19．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且．(1)求；(2)求的平方根．20．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知a的算术平方根是4，b是的立方根，c是的整数部分．(1)_______，_______，_______；(2)求的立方根；(3)判断是有理数还是无理数，并说明理由．21．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？22．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”．(1)与_______是关于1的一组“两倍数”；(2)与_______是关于3的一组“两倍数”；(3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由．23．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式．运用以上方法解决问题：(1)将分母有理化．(2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______．(3)计算：．24．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读材料，完成任务．材料一数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数．材料二实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点．任务（1）材料1中，无理数是________；（2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________；（3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）25．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？【分析问题】例如：已知，求式子的最小值．解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．【解决问题】请根据上面材料回答下列问题：（1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________；【能力提升】（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．

第二章实数（压轴卷）（满分120分，考试时间120分钟，共25题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：实数全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）计算的结果是（

）A． B．4 C．3 D．【答案】A【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．根据二次根式的除法法则计算即可．【详解】解：．故选：A．2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组数中，表示的数一定相同的是（

）A．4的平方根与 B．与 C．与 D．与6【答案】D【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根的含义，把能够化简的数线化简，再进一步判断即可．【详解】A．4的平方根是，，4的平方根与不相同，故本选项不符合题意；B．，，和不相同，故本选项不符合题意；C．，与不相同，故本选项不符合题意；D．，与6相同，故本选项符合题意；故选：D．3．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，根据被开方数大于或等于0列不等式求解即可．【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，，，故选：B．4．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）在代数式，，，中（本题中所有字母均表示不含平方因数的正整数），最简二次根式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，需满足被开方数不含分母且因数不含平方数，据此求解即可；【详解】解：，，，都是最简二次根式，故选：D．5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件．首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可.【详解】解：，，故选：D．6．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键．【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数，∴输出的值为，故选：B．7．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．先对通式进行化简，然后将的各项代入计算即可．【详解】解：，，所以最接近的整数是2017，故选：C．8．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键．先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可．【详解】解：；同理，，．∵，∴．故选：A．9．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案．【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项．设，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵，∵的整数部分是，∴小数部分为，选项B是，选项C是，只有选项C最接近答案．故选：C．10．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（）①若a是的小数部分，则的值为1；②比较两个二次根式的大小；③计算；④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化；⑤设实数x，y满足，则；⑥若，，且，则正整数．A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥【答案】C【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化．①，把直接分母有理化即可判断．把和分别分母有理化比较大小即可．把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果．④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断．⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可．⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可．【详解】解：①若a是的小数部分，则，故①错误，不符合题意．②∵，，，∴，故②正确，符合题意．③．故③错误，不符合题意．④，，，∴均不能对其分母有理化，故④正确．⑤∵，∴，∴，同理，两式相加得，，∴．故⑤正确．⑥，，∴，，，，∴，∴，∴，∴，∴．故⑥正确．综上所述：正确的有②④⑤⑥．故选：C．第II卷（非选择题）二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是．【答案】【分析】本题考查了平方根的定义；先根据平方根的定义求出这个自然数，再根据平方根的定义得出答案．【详解】解：∵一个自然数的平方根为，∴这个自然数为9，∴与这个自然数相邻的下一个自然数为10，∴与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，故答案为：．12．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，则（结果精确到小数点后两位）．【答案】0.47【分析】本题考查了实数的运算，先根据条件得到，再进一步计算即可．【详解】解：∵，

∴，∴．故答案为：0.47．13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为．【答案】10【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故答案为：1014．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是；【答案】【分析】本题考查数字规律型，根据数阵中数字的特点总结规律求解即可．【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根，且每一行的个数分别为2、4、6、8⋯，∴前10行的总个数为，即第10行最后一个数是，∴第10行倒数第二个数是，故答案为：．15．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题：（1）若，且均为正整数，则；（2）化简的正确结果为．【答案】3/【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键．（1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可；（2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴．故答案为：3．（2）．故答案为：．16．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知满足，则代数式的值是．【答案】【分析】由二次根式的非负性得，从而得，结合条件即可求解．此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用．【详解】解：由得，而，故，解得，故时，又，，，，，故，故答案为：．三、解答题（9小题，共72分）17．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先运算乘法，然后化简二次根式即可；（2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．18．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）设，，求的值．【答案】【分析】此题考查了二次根式的混合运算，首先求出，，然后代入求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴．19．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且．(1)求；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值；（）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可；本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，，∴，∴，∴，∵，代入，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∴的平方根为．20．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知a的算术平方根是4，b是的立方根，c是的整数部分．(1)_______，_______，_______；(2)求的立方根；(3)判断是有理数还是无理数，并说明理由．【答案】(1)，，(2)(3)是有理数，理由见解析【分析】本题主要考查了无理数的估算，算术平方根和立方根，正确得出，，的值是解答本题的关键．（1）利用平方根和立方根的定义，先求出，的值，再利用，估算出，从而确定出的值；（2）由（1）知，，的值，代入，求出的值，最后利用立方根的定义求出最后结果即可；（3）由（1）知，，的值，代入，求出的值，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意得，∴；∵，∴，∴，故答案为：，，；（2）解：由（1）知，，，∴，∵，∴的立方根为；（3）解：是有理数，理由如下：由（1）知，，，∴，∴是有理数．21．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？【答案】(1)(2)【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间；（2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解．【详解】（1）解：由题意可知，，，，在中，，，台风中心经过从B点移到D点；（2）解：如图，在射线上取点E、F，使得，由得，在中，，，，市受到台风影响的时间持续．22．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”．(1)与_______是关于1的一组“两倍数”；(2)与_______是关于3的一组“两倍数”；(3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由．【答案】(1)4(2)(3)3【分析】本题考查了新概念——“两倍数”，实数的混合运算．理解新概念，熟练掌握实数的运算顺序和法则，是解题的关键．（1）根据“两倍数”的意义列式，即可求解；（2）根据“两倍数”的意义列式，即可求解；（3）根据“两倍数”的意义判断即可．【详解】（1）解：∵，∴．∴当，时，．故答案为：4．（2）解：∵，∴．∴当，时，．故答案为：．（3）解：与是关于整数3的一组“两倍数”．理由如下：∵，，∴．∴与是关于整数3的一组“两倍数”．23．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式．运用以上方法解决问题：(1)将分母有理化．(2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______．(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式的应用、二次根式乘法运算等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键．（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答；（2）先分母有理化，然后再比较大小即可；（3）先分母有理化，最后合并同类二次根式，最后算乘法即可．【详解】（1）解：．（2）解：，，∵∴．故答案为：．（3）解：．24．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读材料，完成任务．材料一数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数．材料二实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点．任务（1）材料1中，无理数是________；（2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________；（3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）【答案】（1）

（2），

（3），数轴表示见解析【分析】本题考查了图形的变换、无理