北师大版数学 第2章 实数（举一反三单元自测·拔尖卷） 试卷 含答案

第2章实数·拔尖卷【新教材北师大版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（

）A．3.14159 B．13 C．5 D．2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（

）A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根3．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）估计28A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间4．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是2，当输入x的值是64时，输出y的值是（

）A．2 B．±2 C．32 D．5．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（

）A．16a4=4C．5a⋅10a=56．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把x−1xA．−−x B．−x C．−x 7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40cm2，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（

A．210 B．410 C．6108．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）若(2−a)2+(a−4)2=2A．a取任意实数 B．a≤2C．a≥4 D．2≤a≤49．已知a是−22的负平方根，b=−42，c=3−64，则a，A．−2 B．2 C．6 D．810．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号m表示不大于m的最大整数，称m为m的根整数，如：4=2，11=3．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，11=3→①13+②若m=2，则满足题意的整数m③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19．其中正确的说法有（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26七年级下·河南周口·期末）若式子x−3有意义，则x+1+(3−x)12．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知二次根式7−a是整数，则自然数a的所有可能结果为________．13．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知32.061≈1.273，320.61≈2.74214．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数a，b，c在数轴上的对应点，化简：15．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若a=m，b=n，则100ab=________．（用含m16．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形ABCD，A′B′C′D′的面积均为75cm2，重叠部分的小正方形为三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算：(1)24÷(2)2÷18．（8分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是3a−7和a+3，b+4的立方根为2，c是13的整数部分．(1)a=________；(2)求a−b+2c的算术平方根．19．（10分）（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题：第1个等式：2−32=第3个等式：4−74=3第5个等式：6−11(1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简）(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式．(3)利用（2）的结论计算：2026−20．（10分）（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足M⋅N=t，其中t是有理数，则称M与N互为“t相关代数式”．(1)若M与3是互为“9相关代数式”，则M=______；(2)若M=a−5(a是有理数)，N=8+25，且M与N是互为“t相关代数式”，求a(3)若含有二次根式的代数式7x2+2x+4+2x与721．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到a±mb这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简3+22，5+26【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如：∵3+2∴3+2【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务：(1)化简5+26(2)化简2−322．（12分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，23+1，13−2这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：【解决问题】(1)仿照上面的解题过程，化简：17(2)计算：12(3)已知a=13+2，23．（14分）（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料：材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为2×12，其边长材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸……，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的．将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长:宽=__________．请根据材料回答下列问题：(1)A5纸的面积是__________平方米．(2)A4纸的长:宽=__________．(3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，2≈1.414,

第2章实数·拔尖卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（

）A．3.14159 B．13 C．5 D．【答案】C【分析】根据无理数的定义，即不能用整数或整数的比（分数）表示的数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果．【详解】解：A．选项3.14159是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求；B．选项13C．选项5开平方开不尽，不能用整数或整数的比表示，是无理数，符合要求；D．选项1.2是有限小数，可化为652．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（

）A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根【答案】A【分析】设正方体的棱长为x（x>0，棱长为正数），根据正方体的体积和底面积得出x=3a，【详解】解：设正方体的棱长为x（x>0，棱长为正数），根据正方体体积公式：x3=a，因此x=3根据正方体底面积公式：x2=b，因此x=b，即棱长是b的算术平方根，B选项说“b3．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）估计28A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间【答案】A【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式28+6【详解】解：2===4+12又∵32=9，42∴3<12∴7<4+12<8即∴28+6的值在74．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是2，当输入x的值是64时，输出y的值是（

）A．2 B．±2 C．32 D．【答案】C【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果．【详解】解：当输入x的值是64时，364=4，4=2故输出y的值是325．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（

）A．16a4=4C．5a⋅10a=5【答案】B【详解】解：A、16aB、3a与2a不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意；C、由二次根式有意义的条件可知a≥0，则5a⋅D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得a>0，则a16．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把x−1xA．−−x B．−x C．−x 【答案】A【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果．【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，∴−1∴x<0，∴x−7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40cm2，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（

A．210 B．410 C．610【答案】D【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出a、b的值，并灵活运用平方差公式进行计算．先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出a、b,再利用平方差公式a2−b【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为40cm所以中间正方形的边长为40=2由图可知，最大正方形的边长a=210最小正方形的边长b=210根据平方差公式a2将a=210+1,b=210所以a2故选：D．8．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）若(2−a)2+(a−4)2=2A．a取任意实数 B．a≤2C．a≥4 D．2≤a≤4【答案】D【分析】本题利用二次根式的性质x2=|x|将原式转化为绝对值和的形式，再根据绝对值的化简规则在a的不同取值范围内讨论，即可得到【详解】解：∵根据二次根式性质，x2∴原等式可化为|2−a|+|a−4|=2．分三种情况讨论：①当a<2时，2−a>0，a−4<0，∴|2−a|+|a−4|=(2−a)+(4−a)=6−2a，令6−2a=2，解得a=2，不满足a<2，故此取值范围不成立；②当2≤a≤4时，2−a≤0，a−4≤0，∴|2−a|+|a−4|=(a−2)+(4−a)=2，等式恒成立，故此取值范围满足条件；③当a>4时，2−a<0，a−4>0，∴|2−a|+|a−4|=(a−2)+(a−4)=2a−6，令2a−6=2，解得a=4，不满足a>4，故此取值范围不成立．综上，a的取值范围是2≤a≤4，故选D．9．已知a是−22的负平方根，b=−42，c=3−64，则a，A．−2 B．2 C．6 D．8【答案】D【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出a，b和c的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可．【详解】解：a是−22∴a=−−2∵b=−42∴−4<−2<4，即c<a<b∴最大的实数是b，最小的实数是c，∴b−c=4−−410．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号m表示不大于m的最大整数，称m为m的根整数，如：4=2，11=3．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，11=3→①13+②若m=2，则满足题意的整数m③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19．其中正确的说法有（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【分析】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可．【详解】解：∵9<∴3<13∴13=3∵25=5∴25=5∴13+∵m=2∴根据定义得2≤m∴平方得4≤m<9，∵m是整数，∴m的取值为4,5,6,7,8，共5个，故②正确；由题意，只需进行2次运算得1，即第二次运算结果x满足对x运算一次得1，且第一次不能直接得到1，∵x=1∴1≤x<2，即若x=1，则m=1，只需1次运算，不符合要求，因此x可取2,3最小m满足m=2，得4≤m<9，最小正整数m=4最大m满足m=3，得9≤m<16，最大正整数m=15∴最大值与最小值的和为4+15=19，故③正确；综上，三个说法都正确．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26七年级下·河南周口·期末）若式子x−3有意义，则x+1+(3−x)【答案】2x−2【详解】解：∵x−3要有意义，∴x−3≥0，即x≥3，∴3−x≤0，∴x+1+12．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知二次根式7−a是整数，则自然数a的所有可能结果为________．【答案】3,6,7【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再结合7−a是整数，得到7−a为不超过7的非负完全平方数，计算即可得到自然数a的所有可能结果．【详解】解：∵二次根式7−a有意义，∴7−a≥0，即a≤7，∵a是自然数，7−a是整数，∴7−a为不大于7的非负完全平方数，∵不大于7的非负完全平方数为0,1,4∴当7−a=0时，a=7，符合要求；∴当7−a=1时，a=6，符合要求；∴当7−a=4时，a=3，符合要求；若7−a=9，则a=−2，不是自然数，舍去；∴自然数a的所有可能结果为3,6,7．13．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知32.061≈1.273，320.61≈2.742【答案】27.42【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可．【详解】解：∵320.61且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位，∴32061014．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数a，b，c在数轴上的对应点，化简：【答案】−2a−c/−c−2a【分析】先由实数a，b，c在数轴上的位置判断【详解】解：由图可知，a<b<0<c，则a+b<0，∴==−a−=−a−a−b−c+b=−2a−c．15．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若a=m，b=n，则100ab=________．（用含m【答案】10mn【分析】根据二次根式的性质，将100ab拆分为100·【详解】解：∵a=m，∴100ab16．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形ABCD，A′B′C′D′的面积均为75cm2，重叠部分的小正方形为【答案】2【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到BE的长度．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为75cm∴大正方形的边长BC=75∵重叠部分的小正方形A′ECF的面积为∴小正方形的边长EC=27∴BE=BC−EC=53三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算：(1)24÷(2)2÷【答案】(1)4(2)2【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：24==2=42（2）解：2===218．（8分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是3a−7和a+3，b+4的立方根为2，c是13的整数部分．(1)a=________；(2)求a−b+2c的算术平方根．【答案】(1)1(2)3【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得3a−7+a+3=0，解方程即可得到答案；（2）根据立方根的定义求出b的值，估算出13的取值范围，可得c的值，求出a−b+2c的值，再根据算术平方根的定义可得答案．【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是3a−7和a+3，∴3a−7+a+3=0，∴a=1；（2）解：∵b+4的立方根为2，∴b+4=2∴b=4；∵9<13<16，∴3<13∴13的整数部分为3，即c=3，∴a−b+2c=1−4+2×3=3，∴a−b+2c的算术平方根为3．19．（10分）（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题：第1个等式：2−32=第3个等式：4−74=3第5个等式：6−11(1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简）(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式．(3)利用（2）的结论计算：2026−【答案】(1)9−(2)n+1−(3)2026【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可；（2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可；（3）根据（2）中的规律进行计算即可．【详解】（1）解：第1个等式：2−32=第2个等式：3−53=2第3个等式：4−74=3第4个等式：5−95=4第5个等式：6−116=5……第8个等式：8+1−2×8+18+1（2）解：第n个等式为n+1−2n+1（3）解：2026−=2025×=2025+2024−2023=2026．20．（10分）（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足M⋅N=t，其中t是有理数，则称M与N互为“t相关代数式”．(1)若M与3是互为“9相关代数式”，则M=______；(2)若M=a−5(a是有理数)，N=8+25，且M与N是互为“t相关代数式”，求a(3)若含有二次根式的代数式7x2+2x+4+2x与7【答案】(1)3(2)a=4，t=22(3)x=2【分析】（1）根据“9相关代数式”的定义列式求解即可；（2）先根据“t相关代数式”的定义列式，再结合a，t都是有理数，求解即可；（3）根据“32相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可．【详解】（1）解：∵M与3是互为“9相关代数式”，∴3则M=9（2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”，∴M⋅N=t，∵M=a−5，N=8+2∴a−则8a+2a5即8a−10+2a−8∵a，t都是有理数，∴2a−8=0，解得a=4，∴t=8×4−10=22；（3）解：∵代数式7x2+2x+4+2x∴7则(7∴7x2+2x+4−2x=32则有x2=4，解得∵x≥0时二次根式有意义，∴x=2．21．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到a±mb这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简3+22，5+26【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如：∵3+2∴3+2【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务：(1)化简5+26(2)化简2−3【答案】(1)2(2)6【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可；（2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】（1）解：5+2===2（2）解：2−=====622．（12分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，23+1，13−2这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：【解决问题】(1)仿照上面的解题