江西省南昌市2026届高三下学期四月检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省南昌市2026届高三下学期四月检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.已知复数满足，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知复数满足，所以.则的共轭复数为.2.已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】若是奇函数，根据奇函数性质：在定义域内时，必有，代入得：

解得，当时，，符合要求.当时，，是奇函数；对于AD：、对应为偶函数；对于B：​对应非奇非偶，均不符合.3.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，且，可得，所以.4.已知：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，，且，是的必要不充分条件．5.已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，当且仅当时取等号.当时，在上单调递减，此时的值域为，因为在定义域内有最小值，所以.故实数的取值范围为.6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】由及正弦定理得，，由余弦定理得，所以，又，所以.又，所以.所以.7.若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为，则底面直径为，则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为，则，所以，则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为，此时面积，可知当时，即时，面积最大，此时面积.8.某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周．为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间至少间隔2周；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周；③在第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间，则符合要求的不同安排方案有（）A.120种 B.84种 C.70种 D.56种【答案】D【解析】设之前的周数为，与之间的周数为，与之间的周数为，之后的周数为，由题目条件知，，，，，令，，，，得，，，，，由隔板法，符合要求的不同安排方案为.二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根据平均数性质，，故A正确；中位数是按大小排序后位于中间位置的数值，是线性变换，新数据排序位置与原数据一致，但中位数会随变换调整：若是原中位数，则新中位数，仅当时成立，不一定总是相等，因此B错误；极差为最大值与最小值的差，设原数据最大值为、最小值为，则，变换后，的最大值为​，最小值为​，所以​，因此C正确；是线性变换，根据方差性质，，因此D错误.10.已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为直线与抛物线交于，两点（在第一象限），与准线相交于点，过点作拋物线的切线与准线相交于，当，，下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A：过点作准线的垂线交于点.由抛物线的定义可知，.在中，，即.所以，A正确.对于B：点，设直线的方程为，，.联立，整理得，即，解得或.又在第一象限，所以，.则，所以，B正确.对于C：由B知，，，.，C错误.对于D：抛物线方程：，即，则.所以过点的切线方程为：，即.又抛物线准线方程为，联立可得.所以，又，则，所以，D正确.11.已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（）A.， B.C. D.的最大值为【答案】ABD【解析】已知

，设，，令

，解得，

在

上递减，上递增，最小值

，又

时，

，故

，，，

时

，因此

有两个不同的正零点

，要使

恒成立，开口向上的二次式必须和

同号，因此二次式的零点恰好就是

，即

.由韦达定理：，，因为

都是正数，故，，A正确；二次式有两个不同零点，判别式

，即

，B正确；因为

​

是

的根，故

​，，两式相乘得：

，即

，C错误；由

得

，代入目标式化简：

，令

，求导得

,当

时，，递增；当

时，，递减.因此

的最大值为

，D正确.三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为2，则________．【答案】1【解析】圆，圆心，半径，过点斜率为的直线方程为：，即.由点到直线距离公式得：

，由垂径定理，弦长，的面积代入得：

，两边平方整理得：，即，将代入得：，因，故.13.已知等差数列的前项和为，且，，则________．【答案】【解析】在等差数列中，，由，得，解得，由，得，解得，因此数列的公差为，所以.14.已知向量，，，，，当向量的模长取得最小值时，________．【答案】5【解析】设，，因为，所以向量，不是共线向量，所以向量与向量，是共面向量，，要想最小，只需与向量，所确定的平面垂直，即，解得：.四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知函数．（1）当时，求在上的最大值；（2）讨论在R上的单调递增区间．解：（1）当时，，，所以，，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，即最大值，为所以当时，在上的最大值为．（2），当时，令，则，即的单调递增区间为；当时，令，则，即的单调递增区间为；当时，，此时在R单调递减，无增区间．综上，当时，的单调递增区间为；当时，单调递增区间为；当时，无增区间．16.如图，在多面体中，若四边形是边长为2的正方形，，都是边长为2的等边三角形，且，，分别为，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：在四棱锥中，如图，因为是边长为2的等边三角形，所以，因为为的中点，则，因为，分别为，的中点，四边形是边长为2的正方形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：如图，连接，，同理可以证明平面平面，过点作的垂线，垂足为，所以平面，在等边中，为的中点，.因为，为的中点，所以.又，，所以，所以，取的中点，连接，因为，所以，又因为，，所以，所以与所成的角就是二面角的平面角，以为坐标原点，以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以二面角的余弦值为．17.在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含2个正样本和3个负样本，现对这个数据集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将其放回数据集（样本不变）；若抽到负样本，则以的概率通过数据增强将其转化为正样本后放回数据集，以的概率将其放回数据集（仍为负样本）．（1）求经过1次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值；（2）求经过2次操作后，数据集中正样本个数的期望值．解：（1）设第一次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为2、3．，，所以．（2）设第二次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为2，3，4．，，，所以．18.已知双曲线：（，）的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点（在双曲线的上支）且与轴相交于点，直线与轴相交于点．（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（3）是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）解：因为，所以，即，因为上顶点为，所以，则，所以双曲线的标准方程为.（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为．联立直线与双曲线方程，整理得，解得，所以，所以，设直线的方程为，因为，则有，整理得，同理可得，所以，是方程的两根，所以.（3）解：假设存在使得，所以，设直线，的倾斜角分别为，，直线的倾斜角为，当时，则，所以，又，是方程的两根，则，，所以，所以，整理得，即，解得．当时，结合对称性同理可得，，满足条件．故存在直线使得，此时．19.已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶