大学预科数学极限与连续测试试卷及答案

大学预科数学极限与连续测试试卷及答案一、选择题（20分，每小题2分）1.设函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$\lim_{x\to1}f(x)=$（）A.0B.1C.2D.不存在答案：C解析：函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处无定义，但可以通过因式分解化简为$f(x)=x+1$（$x\neq1$）。因此，$\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2$。易错警示：直接代入会导致分母为零，需要先化简再求极限。2.下列极限计算正确的是（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1$B.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=0$C.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$D.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=1$答案：C解析：选项A中，$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$，因为$|\sinx|\leq1$，而分母趋向于无穷大。选项B中，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，这是基本极限公式。选项D中，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\infty$，因为分子趋向于0而分母趋向于0的速度更快。易错警示：混淆基本极限公式和极限的性质，特别是当自变量趋向于不同值时的极限行为。3.函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}$在点$x=0$处（）A.左极限不存在B.右极限不存在C.极限存在但不连续D.连续答案：D解析：因为$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，且$f(0)=1$，所以$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$，函数在$x=0$处连续。计算过程：$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sinx}{x}=1$，$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{\sinx}{x}=1$，左右极限相等且等于函数值。易错警示：容易忽略函数在$x=0$处的定义值，或者混淆极限存在与连续的条件。4.设$f(x)=\frac{1}{x}$，$g(x)=\frac{1}{x}$，则$\lim_{x\to0}[f(x)-g(x)]=$（）A.0B.1C.不存在D.∞答案：A解析：$f(x)-g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0$（$x\neq0$），所以$\lim_{x\to0}[f(x)-g(x)]=\lim_{x\to0}0=0$。易错警示：虽然$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$不存在，但两个相同函数的差为零，极限存在且为零。5.当$x\to0$时，下列变量中是无穷小量的是（）A.$\frac{\sinx}{x}$B.$\frac{x}{\sinx}$C.$\frac{1}{x}$D.$x^2$答案：D解析：无穷小量是指当自变量趋向于某值时，函数值趋向于0的量。选项A中，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$；选项B中，$\lim_{x\to0}\frac{x}{\sinx}=1$；选项C中，$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$不存在；选项D中，$\lim_{x\to0}x^2=0$。只有选项D满足无穷小量的定义。易错警示：混淆无穷小量和无穷大量，以及极限值为1的量不是无穷小量。6.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在点$x=2$处（）A.有定义且连续B.有定义但不连续C.无定义但有极限D.无定义且无极限答案：C解析：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$（$x\neq2$），所以在$x=2$处无定义。但是，$\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x+2)=4$，极限存在。易错警示：容易混淆函数在某点有无定义与极限是否存在的关系，函数在某点无定义但极限可能存在。7.设$\lim_{x\to\infty}\frac{ax^2+bx+c}{x^2+1}=2$，则$a=$（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：对于有理函数的极限，当$x\to\infty$时，若分子和分母的最高次幂相同，极限等于最高次项系数之比。因此，$\lim_{x\to\infty}\frac{ax^2+bx+c}{x^2+1}=\frac{a}{1}=a$，根据题意$a=2$。易错警示：在计算有理函数极限时，容易忽略最高次项系数的比较，或者错误地认为需要考虑所有系数。8.函数$f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\0,&x=0\\x-1,&x>0\end{cases}$在点$x=0$处（）A.左极限为1，右极限为-1B.左极限为-1，右极限为1C.极限存在且为0D.极限不存在答案：A解析：计算左极限：$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1$；计算右极限：$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1$。左极限和右极限不相等，所以极限不存在。易错警示：容易混淆左右极限的计算方向，或者错误地认为函数在一点的值等于极限值。9.设$f(x)=\frac{|x|}{x}$，则$\lim_{x\to0}f(x)=$（）A.0B.1C.-1D.不存在答案：D解析：函数$f(x)=\frac{|x|}{x}$可以写为$f(x)=\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\end{cases}$。计算左极限：$\lim_{x\to0^-}f(x)=-1$；计算右极限：$\lim_{x\to0^+}f(x)=1$。左极限和右极限不相等，所以极限不存在。易错警示：容易忽略绝对值函数在不同区间的不同表达式，或者混淆函数在一点的极限与函数值的关系。10.函数$f(x)=\sqrt{9-x^2}$的连续区间是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(-3,3)$C.$[-3,3]$D.$(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$答案：C解析：函数$f(x)=\sqrt{9-x^2}$是一个复合函数，由平方根函数和二次函数组成。平方根函数的定义域要求被开方数非负，即$9-x^2\geq0$，解得$-3\leqx\leq3$。在定义域内，平方根函数和二次函数都是连续的，因此它们的复合函数也是连续的。易错警示：容易忽略平方根函数的定义域限制，或者错误地认为开区间上的函数才是连续的。二、填空题（20分，每小题2分）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：3解析：利用基本极限公式$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，可以将原式变形为$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3\sin3x}{3x}=3\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\times1=3$。易错警示：直接使用极限公式时容易忽略系数的变化，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=1$。2.函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$的间断点为$x=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：2解析：函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$是一个有理函数，其间断点出现在分母为零的地方，即$x-2=0$，所以$x=2$。易错警示：容易混淆间断点和函数的定义域，或者错误地认为所有分母为零的点都是间断点。3.$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：$e^2$解析：利用重要极限$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$，可以将原式变形为$\lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2=\left[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2=e^2$。易错警示：在处理复合函数的极限时，容易忽略极限的运算法则，或者错误地认为$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=e$。4.设$f(x)=\begin{cases}x^2,&x<1\\a,&x=1\\x+1,&x>1\end{cases}$，若$f(x)$在$x=1$处连续，则$a=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：2解析：函数在某点连续的条件是函数在该点的极限值等于函数值。计算左极限：$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x^2=1$；计算右极限：$\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(x+1)=2$。左极限和右极限不相等，所以极限不存在。但是，题目要求函数在$x=1$处连续，这意味着我们需要调整函数值$a$使得函数连续。实际上，这里题目有误，因为左右极限不相等，无论如何设置$a$，函数都不可能在$x=1$处连续。正确的题目应该是左右极限相等的情况。易错警示：容易忽略函数连续的严格定义，或者错误地认为只要设置函数值等于某个极限值就能保证连续。5.$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：1解析：利用重要极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$，这是自然对数函数在$x=0$处的导数定义。计算过程：令$y=\ln(1+x)$，则$e^y=1+x$，$x=e^y-1$，当$x\to0$时，$y\to0$，所以$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{y\to0}\frac{y}{e^y-1}=1$（因为$\lim_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=1$）。易错警示：容易混淆不同极限公式的应用，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=0$。6.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$的间断点为$x=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和$x=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：1，2解析：函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$是一个有理函数，其间断点出现在分母为零的地方。解方程$x^2-3x+2=0$，得到$(x-1)(x-2)=0$，所以$x=1$和$x=2$是可能的间断点。进一步分析，当$x=1$时，分子$x^2-1=0$，所以$x=1$是可去间断点；当$x=2$时，分子$x^2-1=3\neq0$，所以$x=2$是无穷间断点。易错警示：容易忽略分子分母同时为零的情况，或者错误地认为所有分母为零的点都是间断点。7.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：1解析：利用重要极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$，这是指数函数在$x=0$处的导数定义。计算过程：令$y=e^x-1$，则$e^x=y+1$，$x=\ln(y+1)$，当$x\to0$时，$y\to0$，所以$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{y\to0}\frac{y}{\ln(y+1)}=1$（因为$\lim_{y\to0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1$）。易错警示：容易混淆不同极限公式的应用，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=0$。8.设$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，且$f(0)=0$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{x}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：4解析：由已知条件$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，所以$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2f(2x)}{2x}=2\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{2x}$。令$t=2x$，当$x\to0$时，$t\to0$，所以$2\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{2x}=2\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{t}=2\times2=4$。易错警示：在变量替换时容易忽略系数的变化，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$。9.函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\k,&x=0\end{cases}$在$x=0$处连续，则$k=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：1解析：函数在某点连续的条件是函数在该点的极限值等于函数值。计算极限：$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。为了使函数在$x=0$处连续，需要$k=\lim_{x\to0}f(x)=1$。易错警示：容易混淆函数连续的定义，或者错误地认为$k$可以取任意值。10.$\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{\sin3x}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_答案：$\frac{2}{3}$解析：利用基本极限公式$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$和$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$，可以将原式变形为$\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{\sin3x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\tan2x}{2x}\cdot2x}{\frac{\sin3x}{3x}\cdot3x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\tan2x}{2x}\cdot2}{\frac{\sin3x}{3x}\cdot3}=\frac{2}{3}$。易错警示：在处理三角函数的极限时，容易混淆不同三角函数的极限性质，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{\sin3x}=1$。三、判断题（10分，每小题1分）1.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，则$f(x)$在$x_0$处必有定义。（）答案：×解析：极限的存在性与函数在该点是否有定义无关。函数在某点的极限存在，只需要函数在该点的某去心邻域内有定义即可，函数在该点可以没有定义。例如，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，但函数在$x=0$处无定义。易错警示：容易混淆极限存在与函数在某点有定义的关系，或者错误地认为极限存在必须函数在该点有定义。2.若函数$f(x)$在$x_0$处连续，则$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。（）答案：√解析：这是函数在某点连续的定义。函数$f(x)$在$x_0$处连续，当且仅当$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。这意味着函数在该点的极限值等于函数值。易错警示：容易混淆连续与极限的定义，或者错误地认为连续只是函数在该点有定义。3.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，则$\lim_{x\tox_0}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)$。（）答案：×解析：极限存在的充分必要条件是左极限和右极限都存在且相等。题目中只说了极限存在，没有说明是左极限还是右极限。正确的表述应该是：若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，则$\lim_{x\tox_0}f(x)=\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)$。易错警示：容易混淆极限存在与左右极限的关系，或者错误地认为极限存在只等于其中一个单侧极限。4.若$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$，则$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$。（）答案：√解析：这是极限的同一性。如果$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$，那么$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$是显然成立的。这个判断题可能存在表述问题，因为两个表达式是完全相同的。易错警示：这个判断题的表述可能引起困惑，因为两个表达式完全相同。5.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=0$，则$f(x)$是无穷小量。（）答案：√解析：无穷小量的定义是：当自变量趋向于某值时，函数值趋向于0的量。因此，若$\lim_{x\tox_0}f(x)=0$，则$f(x)$是当$x\tox_0$时的无穷小量。易错警示：容易混淆无穷小量与无穷大量的定义，或者错误地认为只有当自变量趋向于无穷大时才有无穷小量。6.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=\infty$，则$\lim_{x\tox_0}\frac{1}{f(x)}=0$。（）答案：√解析：这是无穷小量与无穷大量之间的关系。如果$\lim_{x\tox_0}f(x)=\infty$，那么$\lim_{x\tox_0}\frac{1}{f(x)}=0$，即无穷大量的倒数是无穷小量。易错警示：容易混淆无穷小量与无穷大量的关系，或者错误地认为无穷大量的倒数也是无穷大量。7.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在其定义域内是连续的。（）答案：√解析：函数$f(x)=\frac{1}{x}$是一个有理函数，在其定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$内是连续的。虽然在$x=0$处不连续，但$x=0$不在函数的定义域内。易错警示：容易混淆函数在定义域内连续与在整个实数集上连续的区别，或者错误地认为函数在定义域内不连续。8.若函数$f(x)$在$x_0$处连续，则$f(x)$在$x_0$的某邻域内有界。（）答案：√解析：根据连续函数的局部有界性，如果函数$f(x)$在$x_0$处连续，那么存在$x_0$的一个邻域，使得函数在该邻域内有界。这是因为连续函数在某点的极限存在，而极限存在意味着函数在该点的某去心邻域内有界。易错警示：容易混淆连续函数的整体性质与局部性质，或者错误地认为连续函数在整个定义域内有界。9.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上必有最大值和最小值。（）答案：√解析：这是闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理。如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该区间上必有最大值和最小值。易错警示：容易混淆闭区间与开区间上连续函数的性质，或者错误地认为任何连续函数在任何区间上都有最大值和最小值。10.若函数$f(x)$在$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处连续。（）答案：√解析：这是可导与连续的关系。如果函数$f(x)$在$x_0$处可导，那么$f(x)$在$x_0$处连续。这是因为导数的定义涉及极限，而极限存在意味着函数在该点连续。易错警示：容易混淆可导与连续的关系，或者错误地认为连续函数一定可导。四、计算题（25分，每小题5分）1.计算$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{3x}$。答案：$\frac{5}{3}$解析：利用基本极限公式$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，可以将原式变形为$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{3x}=\lim_{x\to0}\frac{5\sin5x}{5x}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=\frac{5}{3}\times1=\frac{5}{3}$。计算过程：令$t=5x$，当$x\to0$时，$t\to0$，所以$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=\lim_{t\to0}\frac{\sint}{t}=1$。易错警示：在处理三角函数的极限时，容易忽略系数的变化，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=1$。2.计算$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^x$。答案：$e^{-2}$解析：利用重要极限$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$，可以将原式变形为$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{-\frac{x}{2}}\right)^{-\frac{x}{2}}\right]^{-2}=\left[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{x}{2}}\right)^{-\frac{x}{2}}\right]^{-2}=e^{-2}$。计算过程：令$t=-\frac{x}{2}$，当$x\to\infty$时，$t\to-\infty$，所以$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^x=\lim_{t\to-\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t}=\left[\lim_{t\to-\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{-2}=e^{-2}$。易错警示：在处理指数极限时，容易忽略负号的影响，或者错误地认为$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^x=e$。3.计算$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$。答案：$\frac{1}{2}$解析：这是一个含有根式的极限，可以通过有理化的方法来计算。将分子有理化：$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}$。计算过程：当$x\to0$时，$\sqrt{1+x}\to1$，所以分母$\sqrt{1+x}+1\to2$。易错警示：在有理化过程中容易忽略分母的变化，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=0$。4.计算$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$。答案：2解析：利用重要极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$，可以将原式变形为$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2(e^{2x}-1)}{2x}=2\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}$。令$t=2x$，当$x\to0$时，$t\to0$，所以$2\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=2\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=2\times1=2$。计算过程：利用导数的定义，$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，对于函数$f(x)=e^{2x}$，$f'(x)=2e^{2x}$，所以$f'(0)=2$，因此$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2$。易错警示：在处理指数函数的极限时，容易忽略指数上的系数，或者错误地认为$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=1$。5.计算$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{2x^2-x+3}$。答案：$\frac{3}{2}$解析：对于有理函数的极限，当$x\to\infty$时，可以分子分母同时除以最高次幂$x^2$，得到$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{2x^2-x+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}=\frac{3+0-0}{2-0+0}=\frac{3}{2}$。计算过程：当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}\to0$，$\frac{1}{x^2}\to0$，所以分子趋向于3，分母趋向于2。易错警示：在处理有理函数的极限时，容易忽略最高次幂的比较，或者错误地认为需要考虑所有项的影响。五、证明题（15分，每小题5分）1.证明$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。证明：考虑单位圆上的扇形，设圆心角为$x$（弧度），半径为1。扇形的面积为$\frac{1}{2}x$，三角形$OAB$的面积为$\frac{1}{2}\sinx$，三角形$OAC$的面积为$\frac{1}{2}\tanx$，其中$A$是单位圆上的点，$B$是$A$在$x$轴上的投影，$C$是$x$轴上的点使得$AC$与单位圆相切。由几何关系可知，三角形$OAB$的面积<扇形的面积<三角形$OAC$的面积，即$\frac{1}{2}\sinx<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tanx$，所以$\sinx<x<\tanx$。当$0<x<\frac{\pi}{2}$时，可以变形为$\cosx<\frac{\sinx}{x}<1$。当$x\to0^+$时，$\cosx\to1$，由夹逼定理可知$\lim_{x\to0^+}\frac{\sinx}{x}=1$。对于$x\to0^-$的情况，令$x=-t$，则当$x\to0^-$时，$t\to0^+$，所以$\lim_{x\to0^-}\frac{\sinx}{x}=\lim_{t\to0^+}\frac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\to0^+}\frac{-\sint}{-t}=\lim_{t\to0^+}\frac{\sint}{t}=1$。因此，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。易错警示：在证明过程中容易忽略左右极限的讨论，或者错误地认为只需要考虑$x\to0^+$的情况。2.证明函数$f(x)=x^3$在区间$(-\infty,+\infty)$上连续。证明：要证明函数$f(x)=x^3$在区间$(-\infty,+\infty)$上连续，需要证明对于任意$x_0\in(-\infty,+\infty)$，都有$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。计算极限：$\lim_{x\tox_0}f(x)=\lim_{x\tox_0}x^3$。利用极限的运算法则，$\lim_{x\tox_0}x^3=\left(\lim_{x\tox_0}x\right)^3=x_0^3$。而$f(x_0)=x_0^3$，所以$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。因此，函数$f(x)=x^3$在区间$(-\infty,+\infty)$上连续。另外，也可以使用$\epsilon-\delta$定义来证明：对于任意$\epsilon>0$，取$\delta=\sqrt[3]{\epsilon}$，则当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|=|x^3-x_0^3|=|x-x_0||x^2+xx_0+x_0^2|\leq|x-x_0|(|x|^2+|x||x_0|+|x_0|^2)$。由于$|x-x_0|<\delta$，所以$|x|<|x_0|+\delta$，因此$|f(x)-f(x_0)|<\delta((|x_0|+\delta)^2+(|x_0|+\delta)|x_0|+|x_0|^2)$。这是一个关于$\delta$的二次函数，当$\delta$足够小时，可以保证$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。因此，函数$f(x)=x^3$在区间$(-\infty,+\infty)$上连续。易错警示：在证明连续性时容易忽略对任意点的讨论，或者错误地认为只需要验证几个特殊点。3.证明方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1)$内至少有一个实根。证明：考虑函数$f(x)=x^3-3x+1$，这是一个多项式函数，在区间$[0,1]$上连续。计算$f(0)=0^3-3\times0+1=1>0$。计算$f(1)=1^3-3\times1+1=-1<0$。由于$f(0)>0$且$f(1)<0$，根据连续函数的介值定理，存在$c\in(0,1)$，使得$f(c)=0$。因此，方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1